擺動(dòng)電機(jī)的迭代預(yù)測及PID控制分析與比較

，

（北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191）

1 引言

擺動(dòng)電機(jī)是近20年來迅速發(fā)展起來的一種特殊電動(dòng)機(jī)，在給定的電壓下只能在有限轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)具有直流電機(jī)、無刷電機(jī)、力矩電機(jī)的優(yōu)點(diǎn)。在有限轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)，電機(jī)的機(jī)械特性和調(diào)節(jié)特性的線性度好，結(jié)構(gòu)緊湊、效率高、壽命長，能在低速和長期堵轉(zhuǎn)下正常工作。擺動(dòng)電機(jī)主要應(yīng)用于小轉(zhuǎn)角的高精度控制系統(tǒng)中，如陀螺儀穩(wěn)定平臺(tái)、紅外成像、瞄準(zhǔn)具等，本課題應(yīng)用于紅外掃描系統(tǒng)來驅(qū)動(dòng)平面鏡。

傳統(tǒng)的伺服控制系統(tǒng)一般由位置環(huán)、轉(zhuǎn)速環(huán)、電流環(huán)等組成，PID控制器不能很好的兼顧動(dòng)態(tài)響應(yīng)和抗干擾能力的要求，其中積分環(huán)節(jié)易產(chǎn)生超調(diào)，微分環(huán)節(jié)容易引入噪聲，使系統(tǒng)震蕩或者失去穩(wěn)定。而近年來提出的一些新的控制方法如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等，算法較復(fù)雜，不利于工程實(shí)現(xiàn)。

本文提出并分析一種基于迭代預(yù)測算法的位置控制器，特別適用于周期性掃描運(yùn)動(dòng)，大大提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和跟蹤性能。并且控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，易于工程實(shí)現(xiàn)，提高了位置控制性能，是一種較為理想的伺服控制方案。

2 有限轉(zhuǎn)角電機(jī)模型

有限轉(zhuǎn)角電機(jī)采用直流電壓控制，磁場由永磁體建立，加電壓后定子繞組通過電流產(chǎn)生磁場，與永磁體激磁建立磁場聯(lián)合勵(lì)磁使原磁場產(chǎn)生畸變，外磁路磁阻最小位置發(fā)生改變［1］。本系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)電路部分采用電流控制型，等效為一個(gè)一階延遲環(huán)節(jié)，在這里只關(guān)心電機(jī)在有限轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)的情況，其驅(qū)動(dòng)特性遵循如下方程：

式中：J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ω為機(jī)械轉(zhuǎn)速（角速度）；Tem為電磁轉(zhuǎn)矩；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；I為電樞電流。

式（1）～式（4）做拉普拉斯變換，用Simulink建立電機(jī)模型如圖1所示［2］。

圖1 有限轉(zhuǎn)角電機(jī)模型Fig.1 The model of limited angle motor

3 狀態(tài)反饋位置控制器

由式（1）～式（4）得到狀態(tài)方程為

狀態(tài)方程寫為矩陣形式：

把負(fù)載轉(zhuǎn)矩看作擾動(dòng)，可證明系統(tǒng)可控，觀測器輸出轉(zhuǎn)子位置可以證明系統(tǒng)可觀，輸出轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速也可以證明系統(tǒng)可觀，原控制對象的極點(diǎn)分別為s1＝－1.02e4，s2，3＝－102±231i，為了獲得良好的快速性以及平穩(wěn)性，將全狀態(tài)反饋之后的閉環(huán)極點(diǎn)設(shè)在s1＝－1.19e4，s2，3＝－1.98e3±1.54e3i。

設(shè)狀態(tài)反饋控制規(guī)律為

按需求設(shè)置極點(diǎn)，通過對比特征多項(xiàng)式系數(shù)得出：

認(rèn)為負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化較慢，導(dǎo)數(shù)dTL／dt＝0，以轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，位置，電樞電流，負(fù)載轉(zhuǎn)矩為狀態(tài)變量寫出狀態(tài)方程為［3］

在系統(tǒng)中θ直接由位置傳感器給出，故可以降維處理觀測器得：

狀態(tài)觀測器方程為

其中以h＝［h1h2h3］T為配置極點(diǎn)，決定狀態(tài)向量估計(jì)誤差衰減的速度，將狀態(tài)觀測器極點(diǎn)設(shè)置在相比于狀態(tài)反饋系統(tǒng)極點(diǎn)距離虛軸更遠(yuǎn)一些的位置，使得觀測器響應(yīng)速度比狀態(tài)反饋系統(tǒng)響應(yīng)速度更快。極點(diǎn)設(shè)置在s1＝－1.2e4，s2，3＝－2e3±1.6e3i，通過特征多項(xiàng)式系數(shù)解出：

這時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)方程寫為

假設(shè)在轉(zhuǎn)矩觀測器收斂后，觀測轉(zhuǎn)矩等于實(shí)際的負(fù)載轉(zhuǎn)矩，為了消除負(fù)載轉(zhuǎn)矩的影響，讓上式中后兩項(xiàng)與轉(zhuǎn)矩有關(guān)的量之和為0，可以選擇：

于是得到Kv的值，在負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測準(zhǔn)確時(shí)，前饋項(xiàng)可以消除負(fù)載變化帶給系統(tǒng)的影響，當(dāng)負(fù)載觀測存在誤差時(shí)，誤差部分可由比例調(diào)節(jié)器來補(bǔ)償［4］。

4 引入迭代預(yù)測算法的控制器

本文要解決的是跟蹤問題，控制任務(wù)是尋找控制u（t）使得輸出y（t）在有限的時(shí)間區(qū)間［0，T］上沿整個(gè)期望軌跡實(shí)現(xiàn)零誤差跟蹤，即e（t）＝0，t∈［0，T］，稱其為有限時(shí)間區(qū)間上的完全跟蹤問題［5］。

對于重復(fù)運(yùn)行性質(zhì)的工業(yè)過程，具有重復(fù)性或者周期性的被控對象，迭代預(yù)測算法利用先前的控制經(jīng)驗(yàn)和測量得到的跟蹤誤差信號，通過學(xué)習(xí)率對下一次的控制量進(jìn)行前饋修正，從而找到一個(gè)理想的控制輸入，改善控制系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)補(bǔ)償，抑制系統(tǒng)的確定性干擾?；咀龇ㄊ窃诜答伩刂骗h(huán)的基礎(chǔ)上，增加一個(gè)迭代預(yù)測控制環(huán)。迭代預(yù)測控制和反饋控制相結(jié)合的方式有兩種，串聯(lián)和并聯(lián)。串聯(lián)接法中反饋控制器的參考點(diǎn)不斷的改變，當(dāng)該被控系統(tǒng)的模型已知但不精確時(shí)，這種接法比較有效。而并聯(lián)接法中迭代預(yù)測控制信號和反饋信號相互疊加到被控對象，又可以分開獨(dú)立作用于被控對象，且反饋控制對迭代預(yù)測控制的收斂性影響不大。另外，迭代預(yù)測不依賴于被控系統(tǒng)的詳細(xì)模型，對于解決非線性問題具有良好的適應(yīng)性［6］。圖2為并聯(lián)接法迭代學(xué)習(xí)控制框圖。

圖2 并聯(lián)接法迭代學(xué)習(xí)控制框圖Fig.2 The parallel connection of iterative predictive control algorithm

迭代算法的基本形式為uk＋1＝uk＋hek。為了減小控制量的劇烈變化，使得系統(tǒng)輸出θ到給定值θref，描述t＋d時(shí)刻系統(tǒng)輸出和期望軌跡之間的接近程度，設(shè)性能指標(biāo)為

式中，h是迭代矯正系數(shù)，h＞0 ，ek（t＋d｜t）＝∑αiek－1（t＋i）＋ek（t）代表未來時(shí)刻的未知項(xiàng)，等于前一周期的預(yù)測偏差加權(quán)濾波項(xiàng)與當(dāng)前周期偏差的和，起到在迭代學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上預(yù)測控制的作用，本質(zhì)上是使系統(tǒng)提前動(dòng)作，提高系統(tǒng)跟隨性能［5］。

若對于任意的k，ek＋1滿足不等式

那么ek＋1將會(huì)收斂于一個(gè)平衡點(diǎn)，即為迭代學(xué)習(xí)算法的收斂條件。

根據(jù)迭代收斂定理：受控系統(tǒng)和迭代學(xué)習(xí)算法分別為

若ρ＝‖I－CBh‖＜1

則有

收斂的充分條件為迭代初始值在每次迭代開始時(shí)相同，這個(gè)條件可以在編寫程序時(shí)，設(shè)置每周期開始時(shí)的初始值，從而得到滿足。然后就是選擇合適的h值使得迭代收斂，具體到本系統(tǒng)采用的迭代公式，由約束條件

可得：

可知h1＝2h，設(shè)計(jì)得h＝22.5，以及約束條件來設(shè)計(jì)αi，以達(dá)到比較理想的效果。

5 系統(tǒng)仿真結(jié)果

在仿真軟件Matlab／Simulink平臺(tái)上進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，按照基于狀態(tài)反饋復(fù)合迭代預(yù)測控制方法搭建控制部分仿真模型見圖3，ILPC為迭代預(yù)測控制器，用M函數(shù)編程實(shí)現(xiàn)。

參考曲線按照項(xiàng)目要求的斜率以及數(shù)值設(shè)置，周期T＝0.02，正反向掃描比例17∶3，采樣時(shí)間Ts＝64e－6s，仿真算法選擇可變步長，ode45?？刂茖ο蟛糠职凑者B續(xù)模型搭建，控制器部分仿照DSP程序過程按照離散模型搭建。傳感器以及DA部分按照理想化搭建，等效為恒定系數(shù)［7］。所采用的電機(jī)參數(shù)為：電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1＝4.55e－7kg·m2；Kem＝0.034 26；N＝0.029 1；M＝9.282e－5V／rad／min；T＝9.8e－5，k＝2.51。

圖3 控制系統(tǒng)模型圖Fig.3 The model of control system

圖4a為傳統(tǒng)PID加前饋控制器的仿真結(jié)果，可以看出，對于給定軌跡的跟蹤效果，電機(jī)轉(zhuǎn)子在正向掃描開始處出現(xiàn)小幅的震蕩，而且通過調(diào)節(jié)PID參數(shù)無法消除，這對于掃描線性度以及之后的紅外成像部分都有較大的影響，這是本系統(tǒng)在精確度要求上所不能容許的，因此傳統(tǒng)PID復(fù)合前饋控制不能滿足系統(tǒng)要求。

圖4 PID控制與迭代預(yù)測的波形對比Fig.4 The waveforms of PID and iterative predictive control

圖4b中，與傳統(tǒng)控制器相比，基于狀態(tài)反饋以及狀態(tài)觀測器的控制器，正向掃描過程跟隨性已經(jīng)良好，但是，與之前控制策略相同的問題也呈現(xiàn)出來，反向快速回掃階段接收后，正向掃描過程開始時(shí)（即軌跡轉(zhuǎn)折點(diǎn)附近），跟隨性能極差，滯后嚴(yán)重，對掃描線性度破壞嚴(yán)重。這個(gè)問題是通過調(diào)整控制器參數(shù)所無法完全解決的。圖4c引入前饋補(bǔ)償?shù)乃悸?，用迭代預(yù)測控制器來補(bǔ)償系統(tǒng)在這一段的性能，可以看到，這時(shí)系統(tǒng)在轉(zhuǎn)折點(diǎn)附近的跟隨性上升很大，大大提高了掃描線性度區(qū)間，達(dá)到系統(tǒng)精確度要求。

圖5是狀態(tài)反饋位置控制器加入迭代預(yù)測算法前后的仿真對比，可以清楚地看到跟蹤軌跡的迭代過程，電機(jī)轉(zhuǎn)角在4～5個(gè)周期之后達(dá)到對預(yù)定軌跡的完全跟蹤。

圖5 迭代過程仿真波形Fig.5 The waveforms of iterative process

6 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

將控制算法寫入DSP中，然后在掃描系統(tǒng)中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)并通過測量位置傳感器電壓得到電機(jī)轉(zhuǎn)子的角度，波形記錄見圖6，波形1即為位置傳感器電壓，可見電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的角度與預(yù)定軌跡相符合，且精度較高，電機(jī)轉(zhuǎn)子做周期性掃描運(yùn)動(dòng)，正向掃描以及反向快速回?cái)[過程都比較穩(wěn)定，波動(dòng)極小，達(dá)到了系統(tǒng)要求。波形2是實(shí)測電機(jī)電壓，從波形可知電壓與電機(jī)工作過程相符合。由此可知，控制系統(tǒng)在實(shí)物實(shí)驗(yàn)中能夠正常工作，且具有較高精度。

圖6 位置傳感器及電機(jī)電壓實(shí)驗(yàn)波形Fig.6 The Experiment waveforms of position sensor and motor voltage

7 結(jié)論

基于迭代預(yù)測算法的位置控制器，控制結(jié)構(gòu)簡單，通過仿真及實(shí)物實(shí)驗(yàn)，可以看到控制器在經(jīng)過幾個(gè)周期的迭代過程之后，使得電機(jī)轉(zhuǎn)子實(shí)現(xiàn)對給定軌跡的零相位跟蹤，相比于傳統(tǒng)的PID控制器，解決了正向掃描開始處的小幅震蕩問題，提高了位置控制精度，且控制器具有更好的抗系統(tǒng)擾動(dòng)能力，對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響較小，非常適合于掃描伺服系統(tǒng)。

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