最優(yōu)模糊控制在懸臂梁振動(dòng)控制系統(tǒng)中的研究

緱新科 楊宏斌

（1.蘭州理工大學(xué) 電氣工程與信息工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050;2.甘肅省工業(yè)過(guò)程先進(jìn)控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅 蘭州 730050）

0 引言

振動(dòng)的控制在大范圍運(yùn)動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)的航空、航天精密設(shè)備中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，針對(duì)這類設(shè)備系統(tǒng)所具有的固有特性，如模態(tài)頻率低且密集、阻尼小的特點(diǎn)［1］。在太空運(yùn)行中，由于太空環(huán)境空氣稀薄，沒(méi)有空氣阻尼，一旦受到某種激勵(lì)或干擾的作用就會(huì)使這些撓性結(jié)構(gòu)激烈且長(zhǎng)時(shí)間持續(xù)的振動(dòng)，并且容易引起共振。長(zhǎng)時(shí)間的結(jié)構(gòu)振動(dòng)將會(huì)影響系統(tǒng)的準(zhǔn)確性，不僅會(huì)影響內(nèi)部?jī)x器的正常工作，產(chǎn)生的噪聲還將造成工作環(huán)境污染，甚至導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)無(wú)法正常工作。針對(duì)這類系統(tǒng)中存在的這種不能忽視的問(wèn)題，近年來(lái)引起了廣泛的重視［2］。因此必須對(duì)這類系統(tǒng)所產(chǎn)生的振動(dòng)進(jìn)行控制。

1 模糊控制的基本原理

1.1 模糊控制的基本思想

模糊控制的基本思想就是把人類專家對(duì)特定的被控對(duì)象的控制策略歸納、總結(jié)成一系列以“IF….THEN”形式表示的模糊控制規(guī)則，通過(guò)模糊邏輯推理得到控制作用集，作用于被控對(duì)象?？刂谱饔眉癁橐唤M條件語(yǔ)句，狀態(tài)語(yǔ)句和控制作用均為一組被量化了的模糊語(yǔ)言集。通過(guò)搜索量化了的模糊語(yǔ)言集得到響應(yīng)的輸出。而由工業(yè)過(guò)程的要求和定性認(rèn)識(shí)出發(fā)，模糊控制比較容易建立其語(yǔ)言控制規(guī)則，因此對(duì)那些數(shù)學(xué)模型難以獲取、動(dòng)態(tài)特性不易掌握或變化非常顯著的控制對(duì)象非常適用。

1.2 傳統(tǒng)模糊控制的基本步驟

模糊控制算法的控制簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 模糊控制簡(jiǎn)圖

模糊控制系統(tǒng)的核心部分為模糊控制器，模糊控制器的控制律由計(jì)算機(jī)的程序?qū)崿F(xiàn)。實(shí)現(xiàn)模糊控制的過(guò)程基本描述如下:微機(jī)經(jīng)中斷從被控對(duì)象上采樣獲取控制量的精確值，然后將此量與設(shè)定好的給定值進(jìn)行比較得到誤差信號(hào)E，一般選誤差信號(hào)E作為模糊控制器的一個(gè)輸入量。然后把誤差信號(hào)E的精確量進(jìn)行模糊化處理使其變成模糊量。誤差信號(hào)E的模糊量可以用相應(yīng)的模糊語(yǔ)言表示，得到由誤差E的模糊語(yǔ)言集合的一個(gè)子集e，再由e和模糊關(guān)系R根據(jù)推理的合成規(guī)則進(jìn)行模糊決策和判斷，得到該被控對(duì)象模糊控制量U，即:

這時(shí)控制器的輸出仍為一個(gè)模糊矢量，為了對(duì)被控對(duì)象施加精確的控制，還需要將得到的模糊量U轉(zhuǎn)化為精確量。這一步驟在圖3稱非模糊化處理。得到精確的數(shù)字量之后，經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換為精確的模擬量送給執(zhí)行機(jī)構(gòu)。對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行下一步控制。中斷等待第二次采樣進(jìn)行第二步控制。這樣依次循環(huán)下去，就實(shí)現(xiàn)了模糊控制對(duì)被控對(duì)象的模糊控制。

2 最優(yōu)控制的基本原理

最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的核心，在研究和工程領(lǐng)域有這十分重要的意義。它研究的主要問(wèn)題是:在滿足一定約束條件下，尋求最優(yōu)控制策略，使得性能指標(biāo)取極大值或極小值。也可以表述為:在運(yùn)動(dòng)方程和允許控制范圍的約束下，對(duì)以控制函數(shù)和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為變量的性能指標(biāo)函數(shù)求取其極值。

最優(yōu)控制是使控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化的基本條件和綜合方法。它可概括為:對(duì)一個(gè)受控的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)或運(yùn)動(dòng)過(guò)程，從一類允許的控制范圍或控制方案中找出一個(gè)最優(yōu)的控制方案，使系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)在由某個(gè)初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到指定的目標(biāo)狀態(tài)或位置的同時(shí)，其性能指標(biāo)值為最優(yōu)。

線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題簡(jiǎn)稱為L(zhǎng)Q問(wèn)題，在LQ問(wèn)題中，受控系統(tǒng)為:

其中，x為狀態(tài)向量，u為系統(tǒng)輸入，A和B為系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣，性能指標(biāo)為關(guān)于狀態(tài)和輸入的一個(gè)二次型性能函數(shù):

Q為半正定對(duì)稱陣，R為正定對(duì)稱陣，加權(quán)陣S為半正定對(duì)稱陣?？刂坪瘮?shù)和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的性能指標(biāo)J（u）是以函數(shù)u為變量的一個(gè)函數(shù)，J（u）是函數(shù)u的泛函。

所謂的LQ最優(yōu)控制問(wèn)題，其本質(zhì)就是尋找一個(gè)控制輸入u*，使得系統(tǒng)性能指標(biāo)滿足關(guān)系式

控制函數(shù)u*為L(zhǎng)Q問(wèn)題的最優(yōu)控制，x*為相應(yīng)的最優(yōu)軌線，J（u*）為最優(yōu)性能值。從數(shù)學(xué)上看，LQ最優(yōu)控制就歸結(jié)為，對(duì)J（u）在系統(tǒng)狀態(tài)方程的約束下，相對(duì)于u求條件極值的問(wèn)題。

3 最優(yōu)模糊控制

3.1 最優(yōu)模糊控制的基本原理

為了取得較合適的工程控制方法，提高系統(tǒng)的品質(zhì)。離線測(cè)量系統(tǒng)系統(tǒng)的振動(dòng)情況，并將采集到的信號(hào)通過(guò)處理進(jìn)行LQ最優(yōu)化計(jì)算，得到系統(tǒng)控制的最優(yōu)解，通過(guò)利用離線計(jì)算出來(lái)的最優(yōu)解建立所對(duì)應(yīng)的模糊控制表，得到IF（條件）THEN（作用）的模糊控制規(guī)則，進(jìn)行在線控制，采集系統(tǒng)狀態(tài)量，通過(guò)模糊控制規(guī)則表，得到與之對(duì)應(yīng)一個(gè)系統(tǒng)所應(yīng)有的最優(yōu)控制量。這樣將大大提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，并能輸出系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)控制解。為工程實(shí)踐提供了較好的控制方法。

圖2 最優(yōu)模糊控制的基本框圖

3.2 最優(yōu)模糊控制振動(dòng)控制控制的步驟

（1）最優(yōu)控制模塊離線計(jì)算

壓電柔性懸臂梁的狀態(tài)空間表達(dá)式為:

系統(tǒng)狀態(tài)空間的原理框圖，如圖3所示:

為了能夠得到柔性梁末端位移狀況，這里增加一個(gè)柔性梁自由端位移:

以末端位移為輸出的壓電柔性梁狀態(tài)空間表達(dá)式可表示為:

為了研究反饋控制增益以及輸入對(duì)柔性梁振動(dòng)主動(dòng)控制的影響，這里引入系統(tǒng)狀態(tài)向量和控制向量的二次型性能指標(biāo)，因?yàn)橄到y(tǒng)平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，所以該式中不考慮系統(tǒng)最終狀態(tài)的二次項(xiàng)，這樣，LQ問(wèn)題的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)簡(jiǎn)化為:

式中Q和R為狀態(tài)變量x和輸入變量的加權(quán)矩陣，且Q為半正定對(duì)稱矩陣，R為正定對(duì)稱矩陣。

二次型最優(yōu)控制問(wèn)題就是對(duì)于壓電柔性梁系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式，確定最優(yōu)控制的輸入規(guī)律:

對(duì)關(guān)于u的J（u）求極小值問(wèn)題，則建立如下漢密爾頓（Hamilton）函數(shù)進(jìn)行求解:

要使的二次型性能指標(biāo)達(dá)到最小值，則最優(yōu)控制信號(hào)u可以由求解漢密爾頓方程H對(duì)u的導(dǎo)數(shù)所構(gòu)成的方程求出，即滿足:

可以得出最優(yōu)控制信號(hào)，并記之為u*，這里得到:

整理得出

由（8）、（11）得出:

反饋增益矩陣G為:

（2）模糊在線控制

得到最優(yōu)控制量，并建立響應(yīng)的控制規(guī)則表:

采集系統(tǒng)狀態(tài)量，通過(guò)這個(gè)模糊控制規(guī)則表，得到與之對(duì)應(yīng)一個(gè)系統(tǒng)所應(yīng)有的最優(yōu)控制量。并輸出到執(zhí)行器，作用到被控對(duì)象上。

4 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)及仿真分析

系統(tǒng)閉環(huán)控制器設(shè)計(jì)如圖4所示。

表1 控制規(guī)則表

圖4 閉環(huán)控制系統(tǒng)原理圖

當(dāng)撓性構(gòu)建懸臂梁受到擾動(dòng)時(shí)，控制系統(tǒng)的工作過(guò)程如下:壓電片作為傳感器，電橋電路輸出與振動(dòng)速度成比例的感應(yīng)電壓Us，經(jīng)過(guò)最優(yōu)模糊控制器處理后，輸出控制電壓Uja反饋到壓電片的電極上;作為執(zhí)行器，當(dāng)受到反饋電壓Uja的控制，壓電片會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的執(zhí)行力來(lái)抑制梁的擾動(dòng)變形，從而達(dá)到振動(dòng)控制的目的。

這里不計(jì)壓電片對(duì)懸臂梁的影響，基 梁的幾何尺寸和材料屬性:長(zhǎng)度L=800mm、寬度bb=10mm、厚度tb=3mm、密度 ρ=2.7×103Kg/m3。驅(qū)動(dòng)器和傳感器采用壓電陶瓷長(zhǎng)度lp=30mm、寬度bp=10mm、厚度tp=1mm。根據(jù)驅(qū)動(dòng)器位置優(yōu)化理論［5］，將驅(qū)動(dòng)器布置于梁的根部。對(duì)不施加控制電壓的振動(dòng)曲線、施加控制電壓時(shí)的振動(dòng)曲線和施加控制電壓曲線進(jìn)行觀測(cè)，從直觀的角度去具體分析控制量對(duì)振動(dòng)擬制的作用。從而得到對(duì)振動(dòng)進(jìn)行控制的目的。

使用MATLAB進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖5、圖6和圖 7所示。

從圖5、圖6和圖7中的振幅曲線可以看出，采用本文設(shè)計(jì)的控制器對(duì)懸臂梁進(jìn)行控制之后，由于控制器輸出控制電壓使壓電片產(chǎn)生抑制力，懸臂梁的振動(dòng)衰減明顯加快，經(jīng)過(guò)幾次震蕩后很快就到達(dá)了穩(wěn)態(tài)。

圖7 施加控制電壓曲線

5 結(jié)束語(yǔ)

本文選取撓性構(gòu)建的懸臂梁作為研究對(duì)象，并采用智能結(jié)構(gòu)為材料作為自感知執(zhí)行器，設(shè)計(jì)了撓性懸臂梁振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)。系統(tǒng)中采用了電橋電路法分離出感知信號(hào)。利用智能材料作為致動(dòng)器對(duì)懸臂梁振動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)控制。通過(guò)理論分析、數(shù)值仿真，仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)能夠很好的抑制了柔性懸臂梁振動(dòng)。

［1］顧仲權(quán)，馬扣根，陳衛(wèi)東.振動(dòng)主動(dòng)控制［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，1998.

［2］蔣麗忠，鐘偉芳，李美之，等.大運(yùn)動(dòng)柔性梁非線性動(dòng)力響應(yīng)分析［J］.振動(dòng)與沖擊，2005，24（1）:1 －4.

［3］董維杰，孫寶元，崔玉國(guó)，等.基于壓電自感知執(zhí)行器懸臂梁振動(dòng)控制［J］.大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，41（1）:77 －80.

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