基于主成分分析的艦船裝備維修費組合預(yù)測

謝 力 楊懷寧 尹相平 孫玉華

1海軍工程大學(xué)裝備經(jīng)濟(jì)管理系，湖北武漢430033 2海軍裝備部裝備采購中心，北京100071 3海軍裝備部裝備招標(biāo)中心，北京100071 4中國人民解放軍92493部隊，遼寧葫蘆島125001

0 引 言

艦船裝備維修費是保障艦船裝備持續(xù)良好運行、發(fā)揮戰(zhàn)斗力的關(guān)鍵所在。實現(xiàn)艦船裝備維修費科學(xué)準(zhǔn)確的預(yù)測，對提高海軍裝備經(jīng)費的使用效益，進(jìn)而提高海軍裝備的戰(zhàn)斗力具有重要意義。但由于艦船裝備的維修活動受內(nèi)部和外部各種復(fù)雜因素的影響，如艦船造價、使用強(qiáng)度、維修技術(shù)、物價變化、維修制度等，再加上我國相關(guān)數(shù)據(jù)的收集工作起步較晚［1-2］，單一預(yù)測模型難以準(zhǔn)確反映其變化規(guī)律。在實際應(yīng)用中，費用分析人員一般根據(jù)不同來源的資料構(gòu)建多種預(yù)測模型，對艦船裝備維修費進(jìn)行組合預(yù)測［3-4］，以提高預(yù)測的適應(yīng)性和穩(wěn)定性。

Granger和 Wei等［5-6］在回歸框架中對多種組合方法進(jìn)行了討論，證明帶有常數(shù)項且不受約束（限制權(quán)重為非負(fù)且權(quán)重和為1）的回歸組合模型更具優(yōu)勢。但由于艦船裝備維修費預(yù)測是典型的小樣本問題，因此多種預(yù)測方法都可對其進(jìn)行預(yù)測。運用基于回歸的組合預(yù)測模型對其進(jìn)行研究時，容易出現(xiàn)預(yù)測模型比用于組合預(yù)測的樣本數(shù)量多，導(dǎo)致回歸系數(shù)無法估計的情況。同時，Timmerman［7］發(fā)現(xiàn)在單項預(yù)測數(shù)量過多時，增加模型的代價（增加參數(shù)估計誤差）與相應(yīng)的收益（精度的提高）不匹配，故主張從組合中剔除那些只增加少量信息的預(yù)測模型以解決該問題。但是根據(jù)Granger和 Aiolfi等［8-9］的研究顯示，對單一預(yù)測模型的修剪一般不存在一個普適的最優(yōu)數(shù)量，且Aiolfi等［10］還發(fā)現(xiàn)，先前最好的模型在后來會變得最差，先前最差的模型在后來會變得較好。因此，通過剔除部分模型的方法并不能很好地解決該問題。并且，單項預(yù)測方法之間通常容易出現(xiàn)信息重疊的現(xiàn)象，即基于回歸組合預(yù)測模型中的多重共線性問題，也將影響組合預(yù)測模型的性能。

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）［11］通過Karhunen-Loève變換，產(chǎn)生一組稱為主成分的新變量，所有主成分互相獨立，其間不存在冗余，并通過保留前面含信息量最大的幾個主成分來實現(xiàn)降維。本文嘗試在建立基于回歸的艦船裝備維修費組合預(yù)測模型之前，先采用主成分分析對單項預(yù)測模型進(jìn)行降維處理，以解決預(yù)測模型多于用于組合預(yù)測的樣本數(shù)量以及單項預(yù)測模型之間的線性相關(guān)問題，并結(jié)合實際問題進(jìn)行應(yīng)用分析。

1 主成分分析的基本原理

主成分分析由英國生物統(tǒng)計學(xué)家Pearson［12］于1901年在對非隨機(jī)變量進(jìn)行討論時引入，隨后數(shù)學(xué)家Hotelling［13］將其推廣至隨機(jī)變量。該方法將原來指標(biāo)的信息重新組合成了一組相互獨立的少數(shù)幾個綜合指標(biāo)，這些綜合指標(biāo)可以盡可能保留原有指標(biāo)所含有的信息，且各指標(biāo)所含信息互不重疊。

設(shè)有m個指標(biāo)組成的m維隨機(jī)向量Y=(y1，y2，…，ym)′，作指標(biāo)的線性組合：

為便于討論，主成分分析將問題限制在單位圓中進(jìn)行，即方程組（1）中的系數(shù)uij滿足。根據(jù)信息理論的觀點，一個系統(tǒng)所包含的信息量體現(xiàn)為其不確定性的大小。在統(tǒng)計分析中，一組數(shù)據(jù)的方差可以反映其不確定性，故數(shù)據(jù)中所含的信息量可通過其方差大小來度量。在方程組（1）中，Z1是 y1，y2，…，ym線性組合中方差最大的，因而含有最大的信息量，稱為第一主成分。為保證各指標(biāo)所含信息互不重疊，Z1，Z2，…，Zm互不相關(guān)，依次類推得到各主成分。

根據(jù)不同的數(shù)據(jù)特征和分析的需要，目前在傳統(tǒng)PCA的基礎(chǔ)上還產(chǎn)生了非線性PCA［14］、概率PCA［15］和核 PCA［16］等多種主成分分析方法。

2 基于主成分分析的組合預(yù)測模型

設(shè) yt1，yt2，…，ytm是t時刻分別來自m個不同艦船裝備維修費預(yù)測模型的擬合結(jié)果，艦船裝備維修費實際值為 yt(t=1，2，…，n)，則基于回歸的艦船裝備維修費組合預(yù)測模型可以表示為：

式中，ytc表示組合預(yù)測；w0為常數(shù)項；wi（i=1，2，…，m）為相應(yīng)單項預(yù)測方法的權(quán)系數(shù)；εt為隨機(jī)擾動。

在我國裝備發(fā)展采用“多研制、少生產(chǎn)”策略的背景下，同型號艦船都是小批量甚至單件生產(chǎn)，艦船裝備維修費預(yù)測可參考的裝備較少。再加上我國艦船裝備修理實際發(fā)生費用數(shù)據(jù)長期統(tǒng)計不規(guī)范、裝備修理部門或工廠的信息封閉等原因，導(dǎo)致艦船裝備維修費預(yù)測時可利用的樣本量小。因此，在采用式（2）構(gòu)建艦船裝備維修費組合預(yù)測模型時，經(jīng)常會出現(xiàn)預(yù)測模型的數(shù)量比用于組合預(yù)測的樣本數(shù)量多的情況，直接導(dǎo)致回歸系數(shù)無法確定。針對這一問題，下面將采用主成分分析對單項預(yù)測模型進(jìn)行降維處理，以滿足方程（2）求解的需要。

設(shè)各預(yù)測方法擬合值組成的矩陣為：

由于艦船裝備維修費各預(yù)測方法的擬合值并不存在量綱或數(shù)量級的差異，因此不需要對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，可以直接進(jìn)行主成分分析，具體計算步驟如下。

步驟1：計算擬合值Y的相關(guān)系數(shù)矩陣 R=(rij)mm，其中rij是第i種預(yù)測方法與第 j種預(yù)測方法的相關(guān)系數(shù)。

步驟2：計算相關(guān)矩陣 R的特征值 λ1≥λ2≥…≥λm＞0 ，及其相應(yīng)的特征向量 u1，u2，…，um。其中 ui=(ui1，ui2，…，uim)(i=1，2，…，m)，從而得到m 個主成分 Z1，Z2，…，Zm。

步驟3：根據(jù)上面得到的m個主成分，對第一主成分Z1作線性回歸：

將不同時刻 t=1，2，…，n的 y和 Z1的值代入方程（5），求回歸系數(shù) α0和 α1，進(jìn)行顯著性檢驗，并計算回歸方程的AIC（Akaike's Information Criterion）值［17］，記為 AIC1。

步驟4：在方程（5）中增加主成分 Z2，并分別建立線性回歸模型：

求解回歸系數(shù)，進(jìn)行顯著性檢驗，并計算回歸方程的AIC值，記為 AIC2。如果 AIC2＞AIC1，則表示方程（5）為最佳組合預(yù)測模型，可以用其對艦船裝備維修費進(jìn)行預(yù)測；如果 AIC2＜AIC1且回歸方程統(tǒng)計上顯著，則在回歸方程中繼續(xù)逐個增加主成分，直到后一個統(tǒng)計上顯著的回歸方程的AIC大于前一個統(tǒng)計上顯著的回歸方程的AIC，否則，將所有主成分加入其中。最后，使用得到的最佳組合預(yù)測模型對艦船裝備維修費進(jìn)行預(yù)測。

3 例證分析

以文獻(xiàn)［18］中某單位艦船裝備維修費的后7組數(shù)據(jù)為樣本，另外增加幾種預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果作為本文提出方法例證分析的基礎(chǔ)。其中，以前面6組數(shù)據(jù)為校準(zhǔn)樣本，第7組數(shù)據(jù)為檢驗樣本。艦船裝備維修費及各單項預(yù)測模型預(yù)測數(shù)據(jù)樣本如表1所示（單位為萬元）。

表1 某單位艦船裝備維修費及其預(yù)測Tab.1 Ship equipm entm aintenance cost and its budget

在表1中，因為用于組合預(yù)測的樣本僅6個，而用于組合的預(yù)測模型有7個，顯然直接采用基于回歸的組合預(yù)測無法求解，所以下面將采用本文給出的方法進(jìn)行例證分析。

1）取前6組數(shù)據(jù)，計算各預(yù)測方法之間的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如表2所示。

從表2中可看出，各單項預(yù)測方法數(shù)據(jù)之間的相關(guān)系數(shù)都在0.97以上，即各單項預(yù)測方法之間高度線性相關(guān)。這在預(yù)期之中，因為各種預(yù)測方法的擬合值都與艦船裝備維修費實際值高度線性相關(guān)，因此它們之間自然也高度線性相關(guān)，即各單項預(yù)測方法存在多重相關(guān)性。

表2 各單項預(yù)測方法之間的相關(guān)系數(shù)Tab.2 Correlation coefficients between individual forecastm ethods

2）根據(jù)前6組數(shù)據(jù)，運用Matlab 7.1中的princomp（）函數(shù)計算各預(yù)測方法的主成分系數(shù)和新坐標(biāo)下各主成分的值，分別如表3和表4所示。

表3 主成分系數(shù)Tab.3 Principal com ponen t coefficien ts

表4 新坐標(biāo)下各主成分的值Tab.4 Principal com ponent values in new coord inate

從表4中可以看出，在新坐標(biāo)下，最后2個主成分不包含任何信息，原數(shù)據(jù)維數(shù)得到降低。

3）運用Eviews6根據(jù)式（5）建立回歸模型為：

將第2個主成分加入回歸方程，再次計算回歸模型，得到 AIC2≈7.891＞7.780，即帶有一個主成分的回歸模型即為最佳組合預(yù)測模型。

4）將第7組數(shù)據(jù)中各方法的預(yù)測值轉(zhuǎn)化為主成分值，并將第一主成分值（計算過程見表5）代入上面的回歸方程：

同時，還采用算術(shù)平均法、誤差平方和倒數(shù)法、均方誤差倒數(shù)法、簡單加權(quán)平均法等常用組合預(yù)測［19-21］對本例進(jìn)行了計算，結(jié)果如表6所示。

可見，通過本文提出的組合預(yù)測模型選擇方法能有效改善組合預(yù)測的性能。

4 結(jié) 論

1）在建立基于回歸的組合預(yù)測模型前，采用主成分分析對單項預(yù)測模型進(jìn)行降維處理，可以有效解決預(yù)測模型多于用于組合預(yù)測的樣本數(shù)量的問題。

2）主成分分析可以有效解決艦船裝備維修費組合預(yù)測模型中的共線性問題。

表5 檢驗樣本新坐標(biāo)下第一主成分的值過程Tab.5 Calcu lating p rocess of the first p rincipal com ponent values of testing sam p le in new coordinate

表6 各組合模型預(yù)測值與預(yù)測誤差比較Tab.6 Com parison of the forecast value and forecasterror am ong various com bination m odels

3）由于各種預(yù)測方法的擬合值都與實際值高度線性相關(guān)，因而艦船裝備維修費各單項預(yù)測方法之間也高度線性相關(guān)。

4）采用AIC確定主成分的數(shù)量客觀可行，可為在主成分分析中引入各種信息準(zhǔn)則提供參考。

5）實例表明，基于主成分分析的艦船裝備維修費組合預(yù)測模型具有良好的預(yù)測精度，且明顯優(yōu)于常用的組合預(yù)測模型。

此外，盡管本文給出的方法實現(xiàn)簡單、應(yīng)用方便，但由于PCA是以線性假設(shè)為前提，當(dāng)各單項預(yù)測方法之間出現(xiàn)復(fù)雜的非線性關(guān)系時，本文的方法不能準(zhǔn)確描述其關(guān)系，從而約束了本文方法的有效性。此時，必須結(jié)合非線性降維方法來建模組合預(yù)測模型。

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