有限元強(qiáng)度折減法計(jì)算邊坡穩(wěn)定的對(duì)比分析

程燦宇，羅富榮，戚承志，王 霆

（1. 北京建筑工程學(xué)院 工程結(jié)構(gòu)與新材料北京市高校工程研究中心，北京 100044；2. 北京市軌道交通管理公司，北京 100037）

1 引 言

我國(guó)是一個(gè)地質(zhì)災(zāi)害多發(fā)的國(guó)家，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，2010年僅四川省就因地質(zhì)災(zāi)害造成直接經(jīng)濟(jì)損失90多億元[1]，而且滑坡泥石流等地質(zhì)災(zāi)害每年都給人民群眾的生命和財(cái)產(chǎn)安全帶來(lái)巨大的損失。我國(guó)西高東低的地勢(shì)導(dǎo)致我國(guó)西部地區(qū)地質(zhì)災(zāi)害問(wèn)題更加嚴(yán)重，伴隨著西部大開(kāi)發(fā)的推進(jìn)和大型工程項(xiàng)目的快速上馬，在我國(guó)西南和黃土高原地區(qū)以及西北部新疆地區(qū)地質(zhì)災(zāi)害問(wèn)題變得更加嚴(yán)重，涌現(xiàn)出一系列亟待解決的邊坡穩(wěn)定問(wèn)題。因此，在我國(guó)邊坡穩(wěn)定分析現(xiàn)階段仍是一個(gè)很大的課題。

在邊坡穩(wěn)定分析領(lǐng)域一種常用的方法是有限元強(qiáng)度折減法，早在1975年該方法就被Zienkiewice[2]用來(lái)求解邊坡穩(wěn)定問(wèn)題，只是當(dāng)時(shí)由于需要花費(fèi)大量的機(jī)時(shí)而在具體應(yīng)用領(lǐng)域受到限制。Wong[3]給出了用有限元方法分析邊坡穩(wěn)定時(shí)誤差產(chǎn)生的原因?，F(xiàn)在，隨著計(jì)算機(jī)硬件技術(shù)和有限元軟件技術(shù)的飛速發(fā)展，運(yùn)用有限元強(qiáng)度折減法分析邊坡穩(wěn)定已經(jīng)成為新的趨勢(shì)[4]。Ugai[5]、Matsui和 San[6]、Ugai和Leshchinsky[7]、Griffiths 和 Lane[8－9]、Manzari 和Nour[10]等都對(duì)此做了進(jìn)一步的研究，研究結(jié)果均表明：有限元強(qiáng)度折減法能得到比較穩(wěn)定的與極限平衡法接近的安全系數(shù)和臨界滑動(dòng)面。應(yīng)用于巖土工程的分析軟件也都可以采用強(qiáng)度折減法計(jì)算邊坡穩(wěn)定問(wèn)題，但目前還沒(méi)人研究針對(duì)具體的工況條件各軟件計(jì)算邊坡穩(wěn)定時(shí)的偏差以及各軟件計(jì)算特點(diǎn)問(wèn)題。

本文研究了FLAC3D、MIDAS/GTS和ANSYS在分析邊坡穩(wěn)定時(shí)各自的特點(diǎn)；配合D-P屈服準(zhǔn)則和M-C屈服準(zhǔn)則，計(jì)算了軟黏土、弱膨脹土、硬黏土3種工況下不同坡度邊坡的安全系數(shù)；研究了3種工況條件下M-C屈服準(zhǔn)則和D-P屈服準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果的偏差；分析了3種工況下滑動(dòng)面的規(guī)律以及各軟件得到的滑動(dòng)面特征；總結(jié)了軟件計(jì)算時(shí)的注意事項(xiàng)。本文的研究可以為進(jìn)行邊坡穩(wěn)定分析的研究人員提供參考。

2 有限元強(qiáng)度折減法計(jì)算原理

Duncan[11]指出，邊坡安全系數(shù)可以定義為使邊坡剛好達(dá)到臨界破壞狀態(tài)時(shí)對(duì)土的剪切強(qiáng)度進(jìn)行折減的程度。通過(guò)逐步減小抗剪強(qiáng)度指標(biāo)，將黏聚力c、內(nèi)摩擦角φ值同時(shí)除以折減系數(shù)K，從而得到一組新的強(qiáng)度指標(biāo)c′、φ′，反復(fù)計(jì)算直至邊坡達(dá)到臨界破壞狀態(tài)，此時(shí)的強(qiáng)度折減系數(shù)即為該邊坡的安全系數(shù)。

用這種方法分析邊坡穩(wěn)定性時(shí)，在彈塑性有限元數(shù)值分析中，先將折減系數(shù)K取的小一些，以保證開(kāi)始時(shí)是一個(gè)近乎彈性問(wèn)題，然后不斷增加折減系數(shù)K，反復(fù)分析邊坡直至K增加至某一值時(shí)邊坡達(dá)到臨界狀態(tài)。有限元強(qiáng)度折減法的優(yōu)點(diǎn)是安全系數(shù)可以直接求出，滑裂面的形狀和位置都不需要事先求出，而且從計(jì)算過(guò)程中可以看到土坡逐步破壞的過(guò)程。

3 強(qiáng)度準(zhǔn)則及失穩(wěn)判據(jù)

巖土材料具有復(fù)雜的本構(gòu)特性，而邊坡的穩(wěn)定性分析主要關(guān)心的是力和強(qiáng)度問(wèn)題，而不是位移和變形問(wèn)題，因此，可在有限元強(qiáng)度折減法中采用理想彈塑性本構(gòu)模型[12]。

對(duì)于巖石、混凝土和土壤等顆粒狀材料其受壓屈服強(qiáng)度遠(yuǎn)大于受拉屈服強(qiáng)度，且材料受剪時(shí)顆粒會(huì)膨脹，常用的Mises屈服條件不適用于這類材料，巖土工程中常采用M-C屈服準(zhǔn)則和D-P準(zhǔn)則[13]。其表達(dá)式如下：

式（4）中的α、k與（3）中的常數(shù)c、φ關(guān)系為

此時(shí)D-P準(zhǔn)則屈服面在π平面上的投影為M-C屈服準(zhǔn)則在π平面上投影的六邊形的外角點(diǎn)外接圓[14]。

邊坡失穩(wěn)判據(jù)目前有3種比較主流的觀點(diǎn)：①有限元數(shù)值迭代不收斂判據(jù)[15－17]；②特征部位位移突變判據(jù)[18－20]；③等效塑性應(yīng)變區(qū)貫通判據(jù)[21－22]。前人大量的研究成果表明，這3種有限元強(qiáng)度折減法邊坡失穩(wěn)判據(jù)具有統(tǒng)一性[23]，因此，本文根據(jù)實(shí)際情況綜合考慮判據(jù)1和判據(jù)3作為本文計(jì)算中判定邊坡失穩(wěn)的依據(jù)。

4 不同軟件計(jì)算結(jié)果的對(duì)比分析

FLAC3D、MIDAS/GTS和ANSYS這3款軟件中除了ANSYS都既提供了D-P模型又提供了M-C模型，所以在對(duì)比不同軟件的計(jì)算結(jié)果的同時(shí)，本文同時(shí)對(duì)比了不同軟件不同模型下計(jì)算結(jié)果的差異。嚴(yán)格地說(shuō)，這4款軟件中FLAC3D應(yīng)用的是有限差分程序，不是嚴(yán)格意義上的有限元程序，在FLAC3D中對(duì)控制偏微分方程進(jìn)行的是直接逼近來(lái)推導(dǎo)方程[24]，這與有限元法不同。因此，通過(guò)本文對(duì)FLAC3D計(jì)算結(jié)果和其他軟件計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，在一定程度上也可以看到在邊坡分析中有限元法和有限差分法的差別。

本文計(jì)算中選用3種材料參數(shù)，分別為：工況1、軟黏土；工況2、硬黏土；工況3、弱膨脹土[25]。材料參數(shù)如表1所示。

表1 材料參數(shù)Table 1 Material parameters

4.1 算例

針對(duì)研究的問(wèn)題：不同軟件計(jì)算結(jié)果的對(duì)比分析，本算例采用在許多論文中都得到印證的一個(gè)算例[8,23－25]作為對(duì)比的參照：坡高為20 m，邊坡傾角為 45°。

4.1.1 M-C屈服準(zhǔn)則下計(jì)算結(jié)果的對(duì)比

3種工況下利用FLAC3D和MIDAS計(jì)算，利用其中內(nèi)置的強(qiáng)度折減計(jì)算模塊調(diào)整相同的收斂參數(shù)得到的安全系數(shù)如表2所示。

表2 不同工況下求得的穩(wěn)定安全系數(shù)Table 2 Safety factors by different conditions

從表2可以看出，3種工況下MIDAS的計(jì)算結(jié)果都要比FLAC3D的計(jì)算結(jié)果大，其中硬黏土工況下二者偏差最大，達(dá)到10.81% 。

為了得到進(jìn)一步的規(guī)律，調(diào)整邊坡坡度利用MIDAS和FLAC3D分別進(jìn)行3種工況下邊坡安全系數(shù)的計(jì)算，計(jì)算發(fā)現(xiàn)MIDAS和FLAC3D的計(jì)算結(jié)果差異不僅與工況有關(guān)而且還與邊坡的坡角有關(guān)，計(jì)算結(jié)果如圖1所示。

從圖1中可以看出，當(dāng)邊坡土體為軟黏土?xí)r，F(xiàn)LAC3D和MIDAS的計(jì)算結(jié)果吻合得比較好，經(jīng)計(jì)算結(jié)果最大偏差不超過(guò) 3%，而且隨著坡度的增加二者計(jì)算結(jié)果的差別在 45°坡時(shí)趨于最小。與此相對(duì)，當(dāng)邊坡土體為硬黏土或弱膨脹土?xí)r，F(xiàn)LAC3D和MIDAS的計(jì)算結(jié)果偏差相對(duì)較大，最大偏差發(fā)生在45°的硬黏土坡，最大偏差為10.81%。當(dāng)坡度較小時(shí)FLAC3D的計(jì)算結(jié)果要明顯大于MIDAS的計(jì)算結(jié)果，當(dāng)坡度達(dá)到 30°時(shí)二者計(jì)算結(jié)果趨于吻合，且MIDAS的計(jì)算結(jié)果略大于FLAC3D的計(jì)算結(jié)果。而當(dāng)坡度繼續(xù)增加時(shí)二者的計(jì)算結(jié)果偏差也在增大，而且這時(shí)MIDAS的計(jì)算結(jié)果大于FLAC3D的計(jì)算結(jié)果，與軟黏土工況不同的是：在工況2、3下邊坡坡度達(dá)到 45°時(shí)二者偏差達(dá)到最大，隨著坡度的繼續(xù)增加，相對(duì)偏差趨于減小。

圖1 3種工況下MIDAS和FLAC計(jì)算的安全系數(shù)對(duì)比Fig.1 Comparison of safety factors for three conditions calculated by MIDAS and FLAC

4.1.2 D-P屈服準(zhǔn)則下計(jì)算結(jié)果的對(duì)比

選擇同樣的3種工況在ANSYS和MIDAS中選擇D-P準(zhǔn)則進(jìn)行手動(dòng)折減，分別計(jì)算15°、30°、45°、60°時(shí)邊坡的穩(wěn)定安全系數(shù)。手動(dòng)折減時(shí)設(shè)置和上面M-C準(zhǔn)則下相同的收斂容差值。得到典型的45°坡時(shí)的安全系數(shù)如圖2所示。

圖2 45°坡不同工況下安全系數(shù)對(duì)比（D-P準(zhǔn)則）Fig.2 Safety factors for 45 degrees slope under different conditions (D-P criterion)

從圖2中可以看出當(dāng)坡體材料為軟黏土和硬黏土?xí)r，MIDAS計(jì)算的安全系數(shù)比ANSYS計(jì)算得到的結(jié)果大，最大相差5.73%，邊坡土體為弱膨脹土?xí)rANSYS計(jì)算得到的安全系數(shù)比MIDAS計(jì)算得到的結(jié)果大1.69%?？梢?jiàn)45°坡時(shí)MIDAS和ANSYS采用D-P準(zhǔn)則計(jì)算時(shí)得到的安全系數(shù)具有較高的吻合度。

表3 改變坡角時(shí)3種工況下邊坡的安全系數(shù)Table3 Slope safety factors under different slope angles and conditions

在研究坡角對(duì)軟件計(jì)算偏差的影響時(shí)，為了減少采用塑性區(qū)貫通作為判別準(zhǔn)則產(chǎn)生的人為誤差，計(jì)算中設(shè)定相同的收斂容差后統(tǒng)一以計(jì)算不收斂作為邊坡破壞的依據(jù)。從表3中可以得到比較一致的結(jié)論：采用D-P模型時(shí)，MIDAS計(jì)算的安全系數(shù)大于ANSYS計(jì)算的安全系數(shù)。對(duì)硬黏土進(jìn)行分析時(shí)偏差最明顯，最大相差14.58%，最小相差1.83%，且呈現(xiàn)出偏差隨邊坡坡度的增加而增大的趨勢(shì)。在對(duì)軟黏土邊坡進(jìn)行分析時(shí)也呈現(xiàn)出這種趨勢(shì)。但對(duì)弱膨脹土邊坡進(jìn)行分析時(shí)，偏差隨邊坡坡度變化的規(guī)律沒(méi)有硬黏土?xí)r那么明顯，大約都在5%左右。

4.1.3 不同軟件在D-P、M-C準(zhǔn)則下計(jì)算結(jié)果的對(duì)比

在MIDAS和ANSYS中調(diào)用的D-P屈服準(zhǔn)則的屈服面在π平面上的投影為 M-C屈服準(zhǔn)則的屈服面在π平面上投影的外接圓（見(jiàn)圖3），因此，從理論上說(shuō)采用 M-C屈服準(zhǔn)則得到的邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)小于采用D-P準(zhǔn)則得到的邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)，本例通過(guò)計(jì)算印證了這一推導(dǎo)，并且綜合各軟件計(jì)算結(jié)果得到了針對(duì)具體問(wèn)題時(shí)，兩個(gè)準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果的偏差大小（見(jiàn)圖4）。

圖3 各屈服準(zhǔn)則在π 平面的投影Fig.3 Yield surfaces on the π plane

圖4 3種工況下4種計(jì)算方式的結(jié)果對(duì)比Fig.4 Comparison of results by using four calculation methods for three conditions

從圖中可以看到利用MIDAS（D-P）的計(jì)算結(jié)果和MIDAS（M-C）的計(jì)算結(jié)果有較好的一致性，同時(shí)ANSYS（D-P）的計(jì)算結(jié)果和FLAC（M-C）的計(jì)算結(jié)果有較好的一致性。因此，我們進(jìn)行如下的偏差統(tǒng)計(jì)，如表4所示。

表4 4種計(jì)算模式的相對(duì)偏差統(tǒng)計(jì)Table 4 Statistics of relative deviation of four calculated modes

從表4可以看出，D-P準(zhǔn)則和M-C準(zhǔn)則同時(shí)用于軟黏土工況和弱膨脹土工況時(shí)計(jì)算結(jié)果的偏差一致且相對(duì)較小，而當(dāng)D-P準(zhǔn)則和M-C準(zhǔn)則分別被用來(lái)計(jì)算硬黏土邊坡時(shí)，計(jì)算結(jié)果的偏差明顯變大。由于D-P準(zhǔn)則計(jì)算得到的安全系數(shù)偏大，因此，當(dāng)D-P準(zhǔn)則被用于硬黏土邊坡分析時(shí)應(yīng)該特別小心。

4.2 計(jì)算分析

4.2.1 關(guān)于折減系數(shù)的選取

采用手動(dòng)折減安全系數(shù)進(jìn)行邊坡穩(wěn)定分析時(shí)，最初一定要選取較小的折減系數(shù)。比如，采用ANSYS進(jìn)行分析時(shí)，當(dāng)邊坡坡角較小時(shí)，計(jì)算中先出現(xiàn)塑性區(qū)貫通，然后出現(xiàn)計(jì)算不收斂，而隨著邊坡坡度的增大，計(jì)算不收斂和塑性區(qū)貫通可能會(huì)同時(shí)發(fā)生，甚至計(jì)算不收斂時(shí)塑性區(qū)仍未貫通，而且在計(jì)算不收斂的情況下會(huì)出現(xiàn)塑性區(qū)貫通后又不貫通的情況。圖 5～7反映了 ANSYS（D-P）分析45°軟黏土邊坡時(shí)塑性區(qū)隨安全系數(shù)變化的關(guān)系。

圖5 K=1.43（計(jì)算不收斂，塑形區(qū)恰好貫通）Fig.5 K =1.43(without convergence of calculation, the plastic zone just run through)

圖6 K =1.45（計(jì)算不收斂，塑性區(qū)未貫通）Fig.6 K =1.45(without convergence of calculation,and without breakthrough of plastic zone)

圖7 K =1.46（計(jì)算不收斂，塑性區(qū)貫通）Fig.7 K =1.46 (without convergence of calculation, but with breakthrough of plastic zone)

4.2.2 工況對(duì)滑動(dòng)面的影響

上面算例定義了3種典型工況：軟黏土、硬黏土、弱膨脹土。以45°坡為例，3種工況下ANSYS（D-P）計(jì)算的滑動(dòng)面如圖8所示。

圖8 45°坡角的各邊坡滑動(dòng)面Fig.8 Sliding surfaces of slopes with 45 degrees

從圖中可以看出，硬黏土的滑動(dòng)面最淺，軟黏土和弱膨脹土的滑動(dòng)面都較深，而且模擬結(jié)果顯示邊坡破壞時(shí)軟黏土的位移量最大，弱膨脹土次之，硬黏土最小。改變坡角可以得到同樣的規(guī)律。

不同軟件得到的關(guān)于工況影響的規(guī)律是相同的，但是不同軟件計(jì)算得到的滑動(dòng)面的位置卻是有差異的，以30°軟黏土邊坡為例，ANSYS和MIDAS計(jì)算的安全系數(shù)分別為1.70和1.78。而且ANSYS計(jì)算得到的滑動(dòng)面較深切，變換坡度和工況后仍能發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律。

圖9 30°軟黏土坡的屈服面Fig.9 The yield faces of 30 degrees slope

5 結(jié) 論

（1）采用 ANSYS(D-P)、MIDAS(D-P)、MIDAS(M-C)、FLAC(M-C)共 4種分析方法，在軟黏土、硬黏土和弱膨脹土 3種工況下的計(jì)算表明：FLAC(M-C)最保守，MIDAS(D-P)的結(jié)果最大。

（2）采用M-C屈服準(zhǔn)則時(shí)當(dāng)邊坡坡度較小（15°左右）時(shí)MIDAS/GTS的計(jì)算結(jié)果小于FLAC，計(jì)算中顯示30°及以上邊坡FLAC得到的安全系數(shù)均小于由MIDAS/GTS得到的。

（3）邊坡的滑動(dòng)面位置與土體材料和坡角大小有關(guān)，軟黏土邊坡的滑動(dòng)面較深，硬黏土滑動(dòng)面較淺。

（4）計(jì)算軟件的選取也會(huì)影響對(duì)滑動(dòng)面深淺的判斷，MIDAS計(jì)算得到的滑動(dòng)面比ANSYS計(jì)算得到的滑動(dòng)面淺。

（5）對(duì)軟黏土邊坡分析時(shí)，D-P準(zhǔn)則的計(jì)算結(jié)果和M-C準(zhǔn)則的計(jì)算結(jié)果偏差較?。?2%～25%）；對(duì)硬黏土邊坡進(jìn)行分析時(shí)，D-P準(zhǔn)則的計(jì)算結(jié)果與M-C準(zhǔn)則的計(jì)算結(jié)果偏差較大（12%～42%）；弱膨脹土工況的情況和軟黏土工況類似。工況條件對(duì)分析結(jié)果的影響規(guī)律通過(guò)不同軟件分析印證是一致的。

綜上所述，當(dāng)邊坡土體為軟黏土或弱膨脹土?xí)r采用M-C屈服準(zhǔn)則和D-P屈服準(zhǔn)則分析均可；當(dāng)邊坡土體為硬黏土?xí)rD-P準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果和M-C準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果偏大較大，從安全考慮本文推薦硬黏土邊坡盡量采用M-C屈服準(zhǔn)則進(jìn)行分析；當(dāng)邊坡支護(hù)時(shí)，如果參照 MIDAS的分析結(jié)果，設(shè)計(jì)者應(yīng)考慮MIDAS計(jì)算得到的滑動(dòng)面較其他軟件得到的淺。

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