H?lder型矩陣不等式及改進(jìn)

黃 燦

(重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400044)

H?lder不等式在數(shù)學(xué)定理的證明過程中起著重要的作用［1－2］。王松桂［3］給出了半正定Hermite矩陣跡的H?lder不等式成立的充要條件。設(shè)A，B為n×n階半正定Hermite矩陣，A≠0，B≠0，p＞1，1/p+1/q=1，則 trA1/pB1/q≤(trA)1/p(trB)1/q，等號(hào)成立??k ＞0，使得 B=kA。本文利用 Fuad［1］給 Young 不等式加細(xì)的技巧對(duì)該結(jié)論進(jìn)行改進(jìn)，得到了實(shí)對(duì)稱矩陣跡加細(xì)的H?lder不等式成立的充要條件。Young不等式、H?lder不等式及Minkowski不等式是幾個(gè)重要的不等式。本文在文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［3］的基礎(chǔ)上進(jìn)一步將它們推廣。

1 預(yù)備知識(shí)

Young不等式:若 a，b＞0，p＞1，1/p+1/q=1，則有

H?lder不等式:若 p＞1，1/p+1/q=1，則有

2 主要結(jié)果

定理1 加細(xì)的H?lder不等式為

兩邊同時(shí)乘X1/pY1/q。即得結(jié)論。

定理2 加細(xì)的矩陣H?lder不等式:設(shè)A，B為n×n階實(shí)對(duì)稱正定矩陣，p＞1，1/p+1/q=1，則

等號(hào)成立??k＞0，使得B=kA。

［1］Fuad Kittaneh，Yousef Manasrah.Improved Young and Heinz inequalities for matrices［J］.Math Anal Appl，2010，361:262－269.

［2］劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義:上［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［3］王松桂，吳密霞，賈忠貞.矩陣不等式［M］.北京:科學(xué)出版社，2006.

［4］Horn R A，Johnson C R .Matrix Analysis［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1985.

［5］魏佳麗，郭輝.利用凸函數(shù)證明H?lder不等式［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009(6):540－542.