應用于類球體細胞電旋轉分析中的介電參數(shù)求解算法

張 麗 朱曉璐 倪中華

(東南大學機械工程學院，南京 211189)

應用于類球體細胞電旋轉分析中的介電參數(shù)求解算法

張 麗 朱曉璐 倪中華

(東南大學機械工程學院，南京 211189)

根據(jù)薄膜理論建立了一種面向類球體細胞的單殼介電模型，分析了細胞在電旋轉靜流場中的受力，并由旋轉力矩和斯托克斯流體阻力矩平衡原理，推導得到細胞各層介電參數(shù)方程組.利用引入壓縮因子的粒子群優(yōu)化算法求解細胞的介電參數(shù)，并討論了壓縮因子的變化對求解結果的影響.以Granulocytes白細胞為例進行算法驗證，得到細胞膜的電導率和相對介電常數(shù)分別為7.25 μS/m和10.3，細胞質的電導率和相對介電常數(shù)分別為0.487 S/m和136，且壓縮因子的變化僅影響各組解的搜索概率，加速系數(shù)為2.015時所需解的搜索概率達到最高值.算法結果與白細胞介電參數(shù)的經(jīng)驗數(shù)據(jù)相吻合，表明該算法具有較高的精確性和穩(wěn)定性.

介電參數(shù);粒子群優(yōu)化;電旋轉;白細胞

電動旋轉介電泳簡稱電旋轉［1］，其基本原理是粒子在旋轉電場中被極化產(chǎn)生偶極矩，并與電場相互作用而產(chǎn)生旋轉運動.使用電旋轉技術操縱、辨識和表征生物粒子的理論及應用已成為研究熱點［2－4］.電旋轉技術易于集成和控制，因而適用于紅細胞、白細胞、酵母細胞等生物粒子的辨識、偵測和分離.已知細胞的介電參數(shù)是識別和操控細胞的前提［5］，有利于研究和分析細胞成分［6－7］.細胞在旋轉電場中的旋轉角速度與細胞的介電參數(shù)有關，因此，若已知細胞的電旋轉定量運動規(guī)律，則可根據(jù)旋轉角速度與介電參數(shù)的數(shù)值關系，得到細胞的介電參數(shù)值.國內(nèi)外關于生物粒子的電旋轉特性和介電參數(shù)估計的研究很多.Takashima［8］利用內(nèi)部電極法和間隙法直接測量出較大生物細胞的介電性質;Asami等［9］提出應用微小吸管法來測定膜電容和膜電導;Mishima 等［6－7］發(fā)現(xiàn)相對介電常數(shù)增量與細胞內(nèi)部包含的物質成正比，以此估計細胞內(nèi)的生物質;Gascoyne等［5］采用靈敏度分析法和參數(shù)最優(yōu)化法來分析電旋轉數(shù)據(jù)，得到介電參數(shù).

研究電旋轉特性并間接估計細胞介電參數(shù)的工作，目前僅停留在細胞模型的建立［10］、公式推導［5，10］、測量裝置的改進［11－12］等方面，對采用特定的數(shù)學方法進行參數(shù)求解的研究甚少.本文針對類球體生物細胞的電旋轉數(shù)據(jù)特征，將粒子群優(yōu)化方法引入到類球體細胞介電參數(shù)的求解過程中，提出了一種以改進的粒子群優(yōu)化算法原理為基礎的介電參數(shù)求解算法，并以Granulocytes白細胞為例，分析了計算結果.本文算法充分運用了粒子群優(yōu)化的優(yōu)勢，大大提高了求解效率，同時降低了求解介電參數(shù)非線性方程組的難度.

1 類球體細胞模型與參數(shù)

生物細胞主要由細胞膜及內(nèi)部介質(簡稱細胞質)構成.假設細胞質內(nèi)部結構均勻，且類球體細胞的2層結構同心(見圖1(a)).根據(jù)Jones的薄膜理論［10］，可將其等效為一個連續(xù)球形粒子(見圖1(b)).等效后的細胞復介電常數(shù)為［10］

圖1 類球體細胞的等效模型

式中，R1和R2分別為細胞和細胞質的半徑;ε*1，ε*2，ε*3分別為流體介質、細胞膜、細胞質的復介電常數(shù)，且 ε*1= ε1－ jσ1/ω，ε*2= ε2－ jσ2/ω，ε*3=ε3－ jσ3/ω，其中 ε1，ε2，ε3分別為流體介質、細胞膜和細胞質的介電常數(shù)，σ1，σ2，σ3分別為流體介質、細胞膜和細胞質的電導率，ω為信號的角頻率.

若細胞為哺乳動物細胞，且細胞膜的厚度遠小于細胞半徑，則其復介電常數(shù)可等效為［5］

式中，C*m為細胞膜的膜電容，且C*m=ε2/Δ －jσ2/(Δω)，其中Δ為細胞膜厚度.

本文中，介電參數(shù)特指細胞膜電導率σ2、細胞膜介電常數(shù)ε2、細胞質電導率σ3和細胞質介電常數(shù) ε3.

2 求解原理及方法

2.1 介電參數(shù)方程組的建立

將細胞放置于四相旋轉電極之間，通過向4個電極分別施加相位相差90°、幅值和頻率相等的信號，使細胞在偶極矩和旋轉電場的相互作用下發(fā)生旋轉(見圖2).

圖2 電旋轉電極示意圖

在介電泳引起的旋轉力矩及流體阻力矩的作用下，細胞勻速旋轉且保持平衡.旋轉力矩可表示為［10］

式中，K(ω)為克勞修斯-莫索提因子，且;E為電場強度均方根值.

由流體介質黏度產(chǎn)生的斯托克斯阻力矩為［5］

式中，η為流體的黏度;Ω為旋轉角速度.

根據(jù)力矩平衡原理可得TDEP=TStoke.假定細胞介電參數(shù)在靜流場環(huán)境中為定值，在實驗中測得細胞旋轉角速度Ω的頻率譜，已知流體介電參數(shù)及電場規(guī)律，可建立如下的n(n＞4)維方程組:

式中，ω1，ω2，…，ωn為信號角頻率;Ω1，Ω2，…，Ωn為相應的角速度.通過解此方程組，可獲得細胞的介電參數(shù).

將式(1)代入式(5)，可得超定非線性方程組，應用Matlab軟件對其進行直接求解難度高且精度低.本文采用一種基于迭代的進化算法——粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization，PSO)算法［13］來求解方程組的數(shù)值解.與通用性較高的遺傳算法相比，PSO算法具有更強的全局優(yōu)化能力，能較快收斂，不需要考慮方程的具體組成形式，且對迭代初始點和目標函數(shù)導數(shù)的依賴性不大，適用于求解范圍未知的細胞介電參數(shù).

2.2 粒子群優(yōu)化算法

PSO算法是基于群體的演化算法，源于對鳥群捕食行為的研究［13］.用PSO算法求解時，方程組介電參數(shù)的迭代解對應于鳥的位置，鳥被稱為粒子.每個粒子都具有位置和速度.速度決定粒子下一次迭代的方向和前進大小.粒子位置的好壞用適應度來判定，例如對于鳥群而言，可將鳥本身與食物的距離作為捕食行動的適應度，當某一適應度為0或達到一定極限值時則捕食成功.

假設在一個D維搜索空間中，維數(shù)即為方程組未知數(shù)的個數(shù)，隨機產(chǎn)生n個粒子(n也稱為群體規(guī)模)，記第i個粒子的位置為 Xi={xi1，xi2，…，xiD}，速度為 Vi={vi1，vi2，…，viD}，其中i=1，2，…，n.將第i個粒子所經(jīng)歷的最佳位置稱為個體極值，記為Pi={pi1，pi2，…，piD};群體中所有粒子經(jīng)歷的最佳位置稱為全局極值，記為Gi={g1，g2，…，gD}.粒子的速度和位置可根據(jù)以下方程迭代獲得［13］:

式中為第k次迭代前粒子的速度與位置;為第k次迭代后粒子的速度與位置;c1，c2為加速系數(shù)，取值范圍為［0，2］;r1，r2為隨機數(shù)，取值范圍為［0，1］.

引入壓縮因子［13］可有效地搜索不同區(qū)域，從而解決各介電參數(shù)取值范圍數(shù)量級跨度大的問題，以確保PSO算法能以較快的速度收斂且得到高質量的解.相應的速度及位置迭代公式分別為

式中，χ為壓縮因子，且

令欲求解的非線性方程組的一般形式為

根據(jù)PSO算法的通常處理辦法［14］，定義第i個粒子的適應度函數(shù)為

式中，qj(Xi)為第j個方程代入第i個粒子后得到的實值函數(shù).由此便可將非線性方程組的求解問題轉化為minF(Xi)的最優(yōu)化問題.

將PSO壓縮因子法應用于求解方程組(5)，令搜索粒子的位置 Xi={σi2，εi2，σi3，εi3}，飛行速度 Vi={γi1，γi2，γi3，γi4}.根據(jù)式(7)可知，第i個粒子所對應的細胞膜電導率σi2和速度γi1的第k次迭代公式為將方程組(5)代入式(8)，得到PSO算法求解類球體細胞介電參數(shù)方程組的適應度函數(shù)，即

采用PSO算法求解類球體細胞介電參數(shù)的非線性方程組的步驟如下:

①確定所求介電參數(shù)的個數(shù)(即粒子維數(shù))、粒子個數(shù)及各介電參數(shù)的數(shù)值范圍.

②根據(jù)這些變量的范圍，對每個粒子的介電參數(shù)(即位置)及速度進行初始化，并將每個粒子的初始介電參數(shù)作為該個體的個體極值.

③計算第i個粒子的適應度F(Xi)，并與歷史最佳個體適應度以及全局最佳適應度進行比較.若F(Xi)小于歷史最佳個體適應度，則將第i個粒子的介電參數(shù)作為該粒子的個體極值.同理，與全局最佳適應度比較，若F(Xi)較小，則將當前的介電參數(shù)作為全局極值.

④根據(jù)式(9)，更新粒子的介電參數(shù)和速度.

⑤如果滿足結束要求，則停止迭代;否則，返回步驟③.

利用PSO算法求解非線性方程組的原理表明，當適應度越趨近于0時，得到的解越精確.為了提高算法的精確性，改進了適應度計算公式，對公式中的每一項進行1/10乘方，以避免計算時的舍入誤差對適應度值產(chǎn)生影響.假設原適應度計算式處理后為F(X).圖 3 為迭代次數(shù)N=1 000時的全局極值適應度曲線.由圖可知，N＜50時適應度值下降幅度較大，N＞50時下降幅度逐漸減小，且N＞300時適應度值基本穩(wěn)定不變.根據(jù)迭代法收斂性的定義，可判斷該算法的收斂性:對于任意ξ＞0，該算法存在一個迭代次數(shù)K，使得對于任意大于K的迭代次數(shù)h，滿足故由全局極值適應度構成的序列收斂.綜上可知，采用PSO求解類球體細胞介電參數(shù)方程組的算法收斂，且收斂速度滿足高效率計算的要求.

圖3 全局極值適應度曲線

3 計算結果與分析

以類球體細胞Granulocytes白細胞為例，測試基于PSO的介電參數(shù)求解算法.電極形式為旋轉電極;流體黏度為 0.85 mPa·s，電導率為56 mS/m，介電常數(shù)為80.2;類球體細胞的細胞半徑為4.7 μm，細胞膜厚度為7.5 nm.Granulocytes白細胞的旋轉角速度與頻率的實驗數(shù)據(jù)見圖4.

設定迭代次數(shù)為1 000，粒子群體規(guī)模為20.運行算法50次，分別統(tǒng)計細胞膜電導率σ2、細胞膜介電常數(shù)ε2、細胞質電導率σ3以及細胞質介電常數(shù)ε3的計算結果.需要說明的是，以下統(tǒng)計的介電常數(shù)為相對介電常數(shù)，且各介電參數(shù)為平均值.壓縮因子的取值直接影響了搜索解的能力.試湊法得到的計算結果表明，當加速系數(shù)c1，c2在2.00～2.02內(nèi)取值時，方程組能獲得質量較高的解.表1為算法運算50次后介電參數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù).由表可知，運用本文算法可搜索到2組解，且壓縮因子的取值變化僅影響搜到解的概率，不影響解的數(shù)值.

圖4 Granulocytes白細胞的旋轉角速度-頻率實驗曲線［4］

表1 介電參數(shù)的統(tǒng)計結果

對于單殼模型而言，典型的生物粒子介電參數(shù)范圍為［5］:5 mF/m2＜Cm＜35 mF/m2，20 S/m2＜Gm＜2 000 S/m2，0.1 S/m ＜σ3＜1.3 S/m，50ε0＜ε3＜150ε0，其中Cm= ε2/Δ 為膜電容，Gm= σ2/Δ為膜電導，ε0為真空介電系數(shù).表1所列2組解均滿足上述范圍.

為了進一步驗證本文算法的穩(wěn)定性，考察了c1，c2取值不同時算法運算50次2組解的分布情況(見圖5).由圖5(a)可知，細胞膜電導率主要分布在4～10 μS/m范圍內(nèi)，σ2的2組解范圍有交集;細胞膜介電常數(shù)及細胞質電導率分布較聚集，且基本不存在交叉的現(xiàn)象;細胞質介電常數(shù)的第1組解分布集中，第2組解分布跨度較大，但2組數(shù)值沒有交叉.比較4個介電參數(shù)發(fā)現(xiàn)，細胞膜電導率和細胞質介電常數(shù)的分布跨度較大，由此可推測，實驗中這2個參數(shù)的取值在一定范圍內(nèi)對類球體細胞的速度影響不大.相比之下，細胞膜介電常數(shù)和細胞質電導率更能體現(xiàn)細胞的介電特性.對比圖5(b)和(c)發(fā)現(xiàn)，壓縮因子的取值僅影響各組解的聚集情況及搜索解的概率.

根據(jù)數(shù)值分析的理論定義，一個算法的輸入數(shù)據(jù)有擾動，但計算過程中誤差不增長，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的.在本文算法中，c1，c2取值變化時計算結果基本不變.因此，運用 PSO求解 Granulocytes白細胞介電參數(shù)的算法是數(shù)值穩(wěn)定的.

圖5 2組解的分布情況

文獻［4］列出了Granulocytes白細胞介電參數(shù)的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，即細胞半徑為(4.71±0.23)μm，膜電容為(11.0±3.2)mF/m2，細胞質電導率為(0.60±0.13)S/m，細胞質介電常數(shù)為150.9±39.3.將這些數(shù)據(jù)作為判定本文算法正確性的依據(jù).經(jīng)計算可得ε2為9.32±2.71，比較計算結果可知，第1組解符合經(jīng)驗數(shù)據(jù)的取值范圍，第2組解中細胞質的介電常數(shù)低于經(jīng)驗數(shù)據(jù).第1組解的波動范圍較小，取值較為集中，若以序列來表征50次計算的結果，則第1組解的方差顯然小于第2組解，故第1組解更精密.綜上可知，基于PSO的介電參數(shù)求解算法解得Granulocytes白細胞介電參數(shù)的最優(yōu)解為第1組解.當c1=c2=2.015時，取搜索概率較高的第1組解，則細胞膜電導率為7.25 μS/m，細胞膜相對介電常數(shù)為10.3，細胞質電導率為0.487 S/m，細胞質相對介電常數(shù)為136，符合經(jīng)驗數(shù)據(jù).因此，運用PSO求解Granulocytes白細胞介電參數(shù)的算法是精確的.

4 結語

本文描述一種基于PSO的類球體細胞介電參數(shù)求解算法.研究結果表明，引入壓縮因子的PSO介電參數(shù)求解算法具有較好的收斂性，計算效率高，不依賴介電參數(shù)方程組形式且靈活性大，通過選擇合適的壓縮因子可獲得高質量的解.以類球體細胞Granulocytes白細胞為例，在電旋轉電極形式下，采用PSO算法求解介電參數(shù)方程組，可成功得到符合白細胞經(jīng)驗數(shù)據(jù)的計算解，即細胞膜電導率為7.25 μS/m，細胞膜相對介電常數(shù)為10.3，細胞質電導率為0.487 S/m，細胞質相對介電常數(shù)為136.因此，基于PSO的介電參數(shù)求解算法可有效地估算出類球體細胞的介電參數(shù)，這對研究未知生物粒子的性能具有重要意義.如何改進算法以及將其應用于橢球體等其他形狀的生物細胞是進一步研究的重點之一.

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Dielectric parameter solving algorithm in electrorotation analysis of spherical cells

Zhang Li Zhu Xiaolu Ni Zhonghua
(School of Mechanical Engineering，Southeast University，Nanjing 211189，China)

A dielectric model with single concentric shell of spherical cells is established based on film theory.The forces of the cells in a static flow field under the action of electrorotation are analyzed，and the force equilibrium equations are derived to obtain dielectric parameters of each shell by the balance of the rotating torque and the Stokes fluid drag torque.Then，the particle swarm optimization algorithm improved with the constriction factor is used to solve the equations.The influence of the change in the constriction factor on the solution results is also discussed.This algorithm is validated with Granulocytes as an example.The calculated membrane conductivity，membrane relative permittivity，cytoplasm conductivity and cytoplasm relative permittivity are 7.25 μS/m，10.3，0.487 S/m and 136，respectively.Besides，the change in the constriction factor just affects the search probability of each solution，and the search probability needed gets the highest value with the acceleration factor of 2.015.The calculated results are consistent with the empirical data，showing that the proposed algorithm can obtain high accuracy and stability.

dielectric parameter;particle swarm optimization;electrorotation;leukocyte

TP391

A

1001－0505(2012)02－0280－06

10.3969/j.issn.1001－0505.2012.02.017

2011－09－25.

張麗(1987—)，女，碩士生;倪中華(聯(lián)系人)，男，博士，教授，博士生導師，nzh2003@seu.edu.cn.

國家自然科學基金重大研究計劃(培育)資助項目(91023024)、教育部博士研究生學術新人獎資助項目、江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃資助項目(CX10B_062Z)、東南大學優(yōu)秀博士學位論文基金資助項目.

張麗，朱曉璐，倪中華.應用于類球體細胞電旋轉分析中的介電參數(shù)求解算法［J］.東南大學學報:自然科學版，2012，42(2):280－285.［doi:10.3969/j.issn.1001－0505.2012.02.017］