彈性地基上具有軸向載荷的充液周期管彎曲振動(dòng)帶隙研究

遲乾坤，溫激鴻，郁殿龍

(1.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 機(jī)電工程研究所，長(zhǎng)沙 410073;2.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 裝備綜合保障技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410073)

輸液管道在石油、化工、機(jī)械、航空等領(lǐng)域應(yīng)用比較廣泛，近代以來(lái)人們對(duì)于輸液管道振動(dòng)進(jìn)行了大量的研究，其研究方法和研究成果極為豐富［1］。輸液管道一般置于具有一定彈性參數(shù)的地基之上，對(duì)彈性地基上的管道振動(dòng)進(jìn)行研究，對(duì)實(shí)現(xiàn)管道減振降噪具有十分重要的工程意義。為方便研究，引入了不同的地基模型，例如單參數(shù)模型［2］和雙參數(shù)模型［3］，這些都極大地方便了對(duì)輸液管道振動(dòng)的分析，也成為了振動(dòng)控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)彈性波在周期性結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)，會(huì)產(chǎn)生帶隙特性，即特定頻率范圍內(nèi)的彈性波傳播受到抑制。這種具有彈性波帶隙的周期性復(fù)合材料或結(jié)構(gòu)人們稱之為聲子晶體［4］，聲子晶體的帶隙特性在減振降噪方面具有廣闊的應(yīng)用前景。

Koo［5］研究周期彈性支撐的管路，發(fā)現(xiàn)了彎曲振動(dòng)帶隙，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。郁殿龍等［6－7］利用聲子晶體思想對(duì)周期管路進(jìn)行了研究，并對(duì)軸向載荷作用下的周期結(jié)構(gòu)梁彎曲振動(dòng)帶隙進(jìn)行了分析。但是軸向載荷和彈性地基共同作用在充液管路上的研究尚未得到開(kāi)展。

本文基于 Winkle地基模型［2］和 Euler-Bernoulli梁理論［8］，利用傳遞矩陣法對(duì)單參數(shù)彈性地基上具有軸向載荷的充液周期管路彎曲振動(dòng)進(jìn)行研究，并分析彈性地基和軸向載荷對(duì)彎曲振動(dòng)帶隙的影響規(guī)律。

1 研究模型

圖1為彈性地基上的充液周期管路結(jié)構(gòu)示意圖，管路A和管路B沿著x軸交替排列形成周期結(jié)構(gòu)，管路A和管路B可以有不同的材料參數(shù)，也可以有不同的幾何參數(shù)，本文以材料周期管路為研究對(duì)象。圖1(a)為無(wú)限周期結(jié)構(gòu)示意圖，圖1(b)為周期管路的橫截面，其內(nèi)外半徑分別為ri和ro，圖1(c)為單個(gè)周期結(jié)構(gòu)示意圖，設(shè)管路A和管路B的長(zhǎng)度分別為a1和a2，則單個(gè)周期管路長(zhǎng)度即晶格常數(shù)a=a1+a2。

圖1 彈性地基上充液周期管路結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of periodic pipe conveying fluid on elastic foundation

對(duì)于管路的彎曲振動(dòng)，不考慮Poisson耦合的影響，假設(shè)液體中沒(méi)有空泡現(xiàn)象，同時(shí)忽略液體與管壁內(nèi)部摩擦、重力、外部壓力以及溫度變化的影響，此時(shí)管路彎曲振動(dòng)方程為［9］:

其中:w為y方向振動(dòng)位移，E為楊氏模量;I為管路的截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;mf和mp分別為單位長(zhǎng)度流體和管路質(zhì)量，u為流體平均速度，t為時(shí)間，T為軸向載荷。R為彈性地基的反作用力［3］:

其中:kf為地基剛度系數(shù)。

式(1)的解可寫成 w(x，t)=Wekxeiωt的形式，代入式(1)可得:

對(duì)于給定的ω，式(3)包括四個(gè)不同的根，分別設(shè)為 k1，k2，k3，k4。則式(1)的解為:

對(duì)于周期管路系統(tǒng)，其界面處的位移w，斜率w'，彎矩EIw″以及剪切力EIw?都是連續(xù)的。根據(jù)傳遞矩陣方法以及Bloch理論［4］，可以得到標(biāo)準(zhǔn)的矩陣特征值方程為:

其中:I為4×4單元矩陣，M為傳遞矩陣。通過(guò)求解矩陣M的特征值，即可得到波矢q與頻率ω之間的色散關(guān)系，進(jìn)而得到無(wú)限周期充液管路的能帶結(jié)構(gòu)。

2 彈性基地上彎曲波的傳播特性

為便于分析一維充液管路彎曲振動(dòng)的傳播特性，計(jì)算了彈性地基上均勻材料管彎曲波的波數(shù)。管路內(nèi)半徑 ri=0.045 m，外半徑 ro=0.05 m，地基參數(shù) kf=1×105Pa。管路材料選擇為鋁，密度 ρAL=2 730 kg/m3，楊氏模量 EAL=7.756×1010Pa。液體水的密度ρw=1 000 kg/m3，流體速度為10 m/s。圖2為彈性地基上鋁管彎曲波波數(shù)和頻率的關(guān)系曲線。圖2(a)和圖2(b)分別為k1的實(shí)部和虛部，圖2(c)和圖2(d)分別為k2的實(shí)部和虛部，圖2(e)和圖2(f)分別為k3的實(shí)部和虛部，圖2(g)和圖2(h)分別為k4的實(shí)部和虛部。

依據(jù)方程(3)圖2中的拐點(diǎn)可以通過(guò)下式給出:

通過(guò)上式可以發(fā)現(xiàn)，該頻率點(diǎn)僅與管路線密度和地基剛度系數(shù)有關(guān)，與管路的振動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)。分析可知當(dāng)f＜f0時(shí)，k1和k2都有實(shí)部和虛部，在其他頻率范圍內(nèi)，它們只有虛部。表明當(dāng)f＜f0時(shí)彎曲波ek1x和ek2x為衰減波，當(dāng)f＞f0時(shí)為行波。對(duì)于k3和k4，在整個(gè)頻率范圍內(nèi)都有實(shí)部，表明彎曲波ek3x和ek4x為近場(chǎng)衰減波。

圖2 彈性地基上鋁管彎曲波波數(shù)Fig.2 Wavenumbers of the flexural wave in aluminium pipe on elastic foundation

3 彈性地基對(duì)帶隙的影響

在圖1所示的周期管路中，取管路A的材料為鋁，管路B為環(huán)氧樹(shù)脂。計(jì)算用參數(shù)管路內(nèi)外半徑分別為ri=0.045 m，ro=0.05 m。鋁密度 ρA=2 730 kg/m3，楊氏模量EA=7.756×1010Pa;環(huán)氧樹(shù)脂密度ρB=1 180 kg/m3，楊氏模量EB=4.35×109Pa。液體水的密度 ρw=1 000 kg/m3，流體速度為10 m/s。取周期管路的晶格常數(shù)a=1 m，其中a1=a2=0.5 m。

首先計(jì)算了沒(méi)有彈性地基時(shí)周期管路和鋁質(zhì)均勻管路的能帶結(jié)構(gòu)，即kf=0 Pa時(shí)。圖3為無(wú)彈性地基時(shí)周期管路和鋁質(zhì)均勻管路彎曲振動(dòng)能帶結(jié)構(gòu)，可發(fā)現(xiàn)鋁質(zhì)均勻管不存在彎曲振動(dòng)帶隙，周期管路在0～1 000 Hz的頻率范圍內(nèi)，存在三個(gè)布拉格帶隙，分別為50.6 ～89.6 Hz，243 ～401.9 Hz，667 ～822.2 Hz。

圖4給出了當(dāng)kf=1×105Pa時(shí)周期管路和鋁質(zhì)均勻管路彎曲振動(dòng)能帶結(jié)構(gòu)，同樣鋁質(zhì)均勻管路不存在彎曲振動(dòng)帶隙，周期管路的前三個(gè)帶隙頻率范圍分別為 53.5 ～90.8 Hz，244 ～402.7 Hz，668 ～822.4 Hz。與圖3中的帶隙相比較，可發(fā)現(xiàn)彈性地基作用使得周期管路的帶隙頻率升高。

圖4中在0～16.6 Hz之間，能帶結(jié)構(gòu)不存在色散曲線，這是因?yàn)楫?dāng) f＜f0時(shí)，彎曲波的傳遞始終是衰減的。由于關(guān)鍵頻率點(diǎn)僅與管路線密度和地基剛度系數(shù)有關(guān)，因而可將周期管路的線密度進(jìn)行等效處理，進(jìn)而通過(guò)方程(6)計(jì)算出周期管路的關(guān)鍵頻率。此時(shí)方程(6)中周期管路的等效線密度SA和SB分別為鋁管和環(huán)氧樹(shù)脂管的橫截面積。等效后由方程(6)得到的周期管路關(guān)鍵頻率值為16.5 Hz，而圖4中色散曲線中的關(guān)鍵頻率值為16.6 Hz，兩者相吻合，說(shuō)明對(duì)于周期管路的關(guān)鍵頻率，利用等效密度通過(guò)方程(6)計(jì)算是合理的。

4 軸向載荷對(duì)帶隙的影響

軸向載荷在管路系統(tǒng)中是普遍存在的，其對(duì)管路振動(dòng)的影響規(guī)律有詳細(xì)的研究［10］。圖5為軸向載荷T=±104N時(shí)的周期管路彎曲振動(dòng)能帶結(jié)構(gòu)，由于頻率變化較小，為方便分析，只截取了100 Hz以下的能帶結(jié)構(gòu)。

圖5中虛線為T=104N時(shí)的周期管路彎曲振動(dòng)能帶結(jié)構(gòu)，實(shí)線為T=－104N時(shí)的能帶結(jié)構(gòu)。通過(guò)計(jì)算可發(fā)現(xiàn)在0～1 000 Hz內(nèi)軸向載荷T=104N時(shí)存在三個(gè)帶隙:47.6 ～87.9 Hz，241.2 ～400.5 Hz和 665.4 ～820.3 Hz;軸向載荷T=－104N時(shí)，帶隙變?yōu)?3.5～91 Hz，246.3 ～403.7 Hz和 670.3 ～824 Hz。與圖 3 中的數(shù)據(jù)相比較知軸向壓力載荷可以使帶隙頻率降低，軸向拉力載荷則可提高帶隙頻率。

5 彈性地基和軸向載荷共同作用對(duì)帶隙的影響

通過(guò)上述研究可知彈性地基使周期管路帶隙頻率升高，而軸向壓力載荷則能降低帶隙頻率，為方便分析這兩種因素對(duì)帶隙頻率的影響比重，下面分析彈性地基和軸向載荷共同作用下周期管路的第一帶隙頻率變化情況。圖6描述了彈性地基和軸向載荷對(duì)周期管路彎曲振動(dòng)第一帶隙頻率的影響變化曲線。其中方框代表第一帶隙的起始頻率，圓圈代表第一帶隙的截止頻率。

圖中虛線為地基參數(shù)kf=0 Pa時(shí)，軸向載荷T對(duì)周期管路彎曲振動(dòng)第一帶隙頻率的影響曲線。由曲線可知隨著T的增大，周期管路彎曲振動(dòng)的第一帶隙起始和截止頻率均減小。

一維聲子晶體梁彎曲振動(dòng)的第一帶隙起始頻率與其單個(gè)對(duì)稱型原胞的固有振動(dòng)模式完全一致［11］，從而對(duì)一維聲子晶體帶隙特性的分析可以簡(jiǎn)化為對(duì)其單個(gè)對(duì)稱性原胞固有模式的分析。

其中B為鋁，A為環(huán)氧樹(shù)脂。當(dāng)?shù)谝粠兜钠鹗碱l率w=0時(shí)，可得到所需軸向載荷T1=8.4×104N。對(duì)于圖7(c)通過(guò)計(jì)算可得其屈曲臨界載荷［12］T2為7.8×104N。當(dāng)軸向載荷為T1時(shí)，第一帶隙的起始頻率變?yōu)?，此時(shí)軸向載荷已超過(guò)周期管路的屈曲臨界載荷值，結(jié)構(gòu)發(fā)生失穩(wěn)。

圖6中點(diǎn)劃線為軸向載荷T為0時(shí)，地基參數(shù)kf對(duì)周期管路彎曲振動(dòng)第一帶隙頻率的影響曲線。由曲線可知隨著kf的增大，周期管路彎曲振動(dòng)的第一帶隙起始和截止頻率均升高，不過(guò)變化幅度較小，近似一條直線。

圖6中實(shí)線為軸向載荷和彈性地基共同作用下，周期管路彎曲振動(dòng)第一帶隙的頻率變化曲線。計(jì)算中軸向載荷和地基參數(shù)變化范圍相同，均為104到105?？砂l(fā)現(xiàn)隨著軸向載荷和地基參數(shù)的同步增大，周期管路彎曲振動(dòng)的第一帶隙起始和截止頻率均減小，且變化趨勢(shì)與虛線相近。當(dāng)kf=0 Pa，T=105N時(shí)周期管路屈曲失穩(wěn)，當(dāng)kf變?yōu)?05Pa周期管路失穩(wěn)現(xiàn)象消除，這表明彈性地基可以提高管路系統(tǒng)的穩(wěn)定性。可以通過(guò)調(diào)節(jié)軸向載荷和地基參數(shù)，獲得所需的帶隙范圍，實(shí)現(xiàn)低頻范圍內(nèi)的減振降噪，提高帶隙的適應(yīng)性。

6 結(jié)論

本文利用傳遞矩陣法研究了彈性地基上具有外力載荷的一維充液管路彎曲振動(dòng)的帶隙特性，對(duì)彈性地基和軸向載荷共同作用下彎曲振動(dòng)的帶隙變化規(guī)律進(jìn)行了分析。結(jié)論如下:

(1)彈性地基上的一維充液周期管路存在彎曲振動(dòng)帶隙，且彈性地基作用使得彎曲振動(dòng)帶隙頻率升高。

(2)彈性地基上的管路系統(tǒng)存在一個(gè)關(guān)鍵頻率，在關(guān)鍵頻率以下振動(dòng)不能傳遞，但不是帶隙的原因。

(3)軸向載荷為拉力時(shí)，帶隙頻率升高;軸向載荷為壓力時(shí)，帶隙頻率降低。

(4)彈性地基和外力載荷均可以影響充液周期管路的帶隙頻率，且軸向載荷對(duì)周期管路彎曲振動(dòng)帶隙影響更大，而彈性地基則可以明顯提高具有軸向載荷管路系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

因此在工程應(yīng)用中，可以根據(jù)實(shí)際需要對(duì)地基參數(shù)和軸向載荷進(jìn)行適當(dāng)調(diào)節(jié)，實(shí)現(xiàn)帶隙頻率的可調(diào)控性，這為充液管路的振動(dòng)控制提供了新的技術(shù)思路。

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