基礎(chǔ)不均勻沉陷誘發(fā)車－橋耦合動力學(xué)建模與分析

朱懷亮， 方英東， 謝 嚴， 王 雪

(1.上海大學(xué) 力學(xué)系，上海 200444;2.上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072)

對于軟土性地基上的高速軌道系統(tǒng)來說，基礎(chǔ)下沉是一個普遍性的問題。由基礎(chǔ)不均勻沉陷所造成的局部沉降差直接導(dǎo)致了軌道的不平順，誘發(fā)車－橋系統(tǒng)振動加劇，嚴重影響乘車的舒適度和行車的安全性。因此，隨著高速、重載、大跨度車－橋運輸系統(tǒng)的建設(shè)，探討基礎(chǔ)不均勻沉陷對車－橋系統(tǒng)動力響應(yīng)和特性的影響已越來越引起相關(guān)研究者的高度關(guān)注［1－3］。

為了揭示基礎(chǔ)不均勻沉陷導(dǎo)致的局部沉降差對車橋耦合振動的影響，本文研究軸向力作用下連續(xù)梁橋模型當(dāng)某個支座發(fā)生沉陷而誘發(fā)的軌道不平順問題，提出了描述支座沉陷激勵的力學(xué)模型，建立基礎(chǔ)局部沉陷和橋梁軸向力作用下的車－橋系統(tǒng)耦合動力學(xué)方程，數(shù)值模擬并分析了基礎(chǔ)沉陷、行車速度、軸向力和結(jié)構(gòu)動力參數(shù)等對系統(tǒng)動力響應(yīng)和特性的影響。

1 車－橋系統(tǒng)力學(xué)模型

車－橋系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖1所示。其中車輛采用二分之一車模型，橋梁為具有彈性約束的連續(xù)梁，分別建立車輛和橋梁的動力學(xué)方程［4－7］。

圖1 車輛－橋梁基礎(chǔ)系統(tǒng)Fig.1 Vehicle-bridge system

1.1 車輛振動微分方程

在圖示坐標系下，就表示車輛的兩系彈簧－阻尼－質(zhì)量系統(tǒng)由達朗貝爾原理建立振動控制方程，其中車體可考慮沉浮(豎向)運動和點頭(旋轉(zhuǎn))運動，構(gòu)架和輪對則只考慮沉浮(豎向)運動。

1.1.1 車體沉浮運動

1.1.2 車體點頭運動

1.1.3 左轉(zhuǎn)向架沉浮運動

1.1.4 右轉(zhuǎn)向架沉浮運動

式中:mc為車體質(zhì)量;m1和m2分別為左、右構(gòu)架與輪對質(zhì)量之和;yc為車體質(zhì)心的豎向位移(沉浮);θc為車體轉(zhuǎn)角(點頭);y1和y2分別為左右轉(zhuǎn)向架質(zhì)心的豎向位移;Ic為車體的點頭剛度;k1為一系垂向剛度;c1為一系垂向阻尼系數(shù);k2為二系垂向剛度;c2為二系垂向阻尼系數(shù)。a為車輛兩輪之間的距離，yb(x，t)為橋梁的豎向位移。

1.2 橋梁振動微分方程

將橋梁模擬為由多個線性、對稱彈性支承和阻尼器作用下的連續(xù)梁，設(shè)單位長度質(zhì)量為mb，長度為l，抗彎剛度為EbIb。不考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響，車輛對橋梁的作用力為:

式中:p1(x，t)、p2(x，t)分別為左、右車輪與橋梁間的耦合作用力，η1、η2分別為兩輪處由橋面和軌道不平順引起的時變激擾函數(shù)，δj為狄里克雷函數(shù)，具體為:

式中:ν為行車速度，于是，橋梁振動微分方程表示為:

式中:Nb為橋梁的軸向力，表示了橋梁和軌道中因基礎(chǔ)沉陷、結(jié)構(gòu)變形、多余約束和溫度改變等引起的縱向作用力。對于連續(xù)梁，應(yīng)用振型分解方法［8－9］，將yb(x，t)代入式(8)，沿梁長積分并聯(lián)立式(1)～式(4)和式(8)，得到車－橋耦合系統(tǒng)的動力學(xué)控制方程為:

式中:{q}為廣義位移向量，{q}=［yc，θc，y1，y2，q1，q2，…，qn］T;［M］為廣義質(zhì)量矩陣;［C］為阻尼矩陣;［K］為剛度矩陣;{P}為廣義力向量。

2 基礎(chǔ)沉陷模型

當(dāng)支承發(fā)生下沉?xí)r，會導(dǎo)致橋梁局部坍陷或形成沉降三角坑，從而引起軌道嚴重的幾何不平順，如圖2(a)所示，其中下沉量為Ω。一般情形下，軌道幾何不平順可以用某個簡諧波近似描述為:

圖2 橋梁支承沉陷引起的三角坑和軌道不平順Fig.2 Rail irregularity with local subsidence of foundation

如圖2(b)，其中λi為不平順波長，ei為波深。對圖2(a)所示的橋梁沉降三角坑，利用傅里葉級數(shù)展開。設(shè)l1=l2=l/2，在圖示坐標系下橋梁的沉陷方程為:

左半段:

右半段:

在其定義域內(nèi)進行偶延拓，并將其表示成一系列的諧波激擾函數(shù)，其中各系數(shù)分別為:

將式(10)、式(11)代入式(12)得:

整理得:

不平順激擾函數(shù)表示為:

3 算例分析

3.1 參數(shù)選擇

對于圖示車－橋耦合系統(tǒng)，采用Newmark－β法迭代求解系統(tǒng)的動力響應(yīng)，不平順函數(shù)取6階傅里葉級數(shù)即可獲得穩(wěn)定的激勵效果［10－11］。文獻［12］反映了不同基礎(chǔ)沉陷、橋梁軸向力、車輛剛度和阻尼等系統(tǒng)特性對動力響應(yīng)的影響和變化規(guī)律，其中車輛參數(shù)為:車體質(zhì)量 mc=3.85×104kg，前、后轉(zhuǎn)向架與車輪的質(zhì)量和均為 m1=m2=4.33 ×103kg，轉(zhuǎn)動慣量 Ic=2.446 ×106kg·m2，車輛前后輪間的距離均為a=8.4 m，剛度系數(shù) k1=k2=2.535×106N/m，阻尼系數(shù) c1=c2=1.920 8×106N·s/m，車輛速度分別取v=20 m/s、40 m/s和60 m/s。橋梁參數(shù)為:取雙跨連續(xù)梁，跨度l=100 m，單位梁長質(zhì)量mb=1.08×104kg/m，抗彎剛度 EbIb=5.18×1010N·m2，cd=3.21×105N·s/m，kd=2.535×106N/m。橋梁的軸向預(yù)拉力 Nb=5×107N。

3.2 算例分析

3.2.1 基礎(chǔ)沉陷對系統(tǒng)耦合振動的影響

圖3～圖6分別表示了橋梁和車輛各動力響應(yīng)與基礎(chǔ)沉陷量之間的關(guān)系，可以看出基礎(chǔ)局部沉陷對車－橋系統(tǒng)振動位移和加速度的影響。無論對車體和橋梁來說，隨著支承沉陷量的增加，其動態(tài)響應(yīng)的各幅值都明顯增大，由系統(tǒng)的振動加速度變化曲線還可表明，過大的局部沉陷量伴隨著明顯的動力沖擊，這不僅直接關(guān)系到車輛運行的舒適度和安全性，而且還會嚴重影響橋梁的使用壽命。

3.2.2 車速對耦合振動的影響

圖7～圖10分別表示了速度對車－橋系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響，可以看出行車速度顯著改變了系統(tǒng)的振動形態(tài)。在一定條件下，隨著車輛速度的增加，橋梁和車體的振動響應(yīng)以及車橋之間相互作用力的幅值都隨之增大，同時使得振蕩加劇、高階模態(tài)振動被激發(fā)，特別是當(dāng)車輛高速通過發(fā)生基礎(chǔ)局部沉陷的橋梁時，車－橋之間的動反力顯著增大，同樣伴隨著明顯的振動沖擊。

3.2.3 軸向力對耦合振動的影響

圖11和圖12分別給出了支承沉陷條件下不同軸向力作用所引起的車－橋動力響應(yīng)，比較可以看出，當(dāng)基礎(chǔ)發(fā)生一定沉陷時(下沉量Ω=0.05 m)，不同的軸向力作用會對系統(tǒng)的動力響應(yīng)產(chǎn)生不同程度的影響。一般說來，隨著橋梁的軸向拉力加大，橋梁中點的振動位移和車體重心處的振動位移幅值都會相應(yīng)減小，施加合理的軸向力能在一定程度上控制因支承沉陷而引起的振動響應(yīng)。

圖12 橋梁第一跨中點豎向位移Fig.12 Displacement at midpoint of first span

4 結(jié)論

(1)橋梁基礎(chǔ)的不均勻沉陷會對車－橋耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng)產(chǎn)生明顯的不利影響。一般說來，沉陷量越大，系統(tǒng)各響應(yīng)的振動幅值也越大，過大的局部沉陷量還伴隨著明顯的動力沖擊。因此控制橋梁基礎(chǔ)的不均勻沉陷，特別是在沿海軟土地區(qū)，對減小車－橋耦合系統(tǒng)的振動響應(yīng)、提高車輛運行的平順性和安全性具有積極而重要的意義。

(2)系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)會隨著車速的提高而明顯加大，特別是當(dāng)車輛高速通過橋梁時，會引起結(jié)構(gòu)較大幅值的橫向振動，車－橋間的動反力也急劇增大，并對車輛和橋梁造成較大的沖擊。

(3)在考慮基礎(chǔ)不均勻沉陷的情況下，橋梁軸向力會對系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)產(chǎn)生明顯的影響。隨著軸向拉力的加大，橋梁和車體的振動響應(yīng)都會不同程度地減小，特別是對于大跨度和輕柔型橋梁系統(tǒng)來說，軸向力和軸向約束對系統(tǒng)橫向振動的影響也是不可忽略的因素。

［1］ 高建敏，翟婉明.車輛－軌道耦合動力學(xué)在軌道下沉研究中的應(yīng)用［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報，2007，42(4):431－435.

［2］ 韓義濤，姚 力.基礎(chǔ)沉降對土路上板式軌道動力性能影響分析［J］.鐵道工程學(xué)報，2007(10):28－31.

［3］ 王學(xué)軍.基礎(chǔ)沉降對加寬橋梁上部構(gòu)造的影響分析［J］.中國港灣建設(shè)，2006(6):11－13.

［4］ 肖新標，沈火明.3種車橋耦合振動分析模型的比較研究［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報，2004，39(2):1－4.

［5］ Ju S H，Lin H T.A finite model of vehicle-bridge interavtion considering braking and acceleration［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，303:46－57.

［6］ 丁南宏，錢永久，林麗霞，等.雙鏈式懸索橋在單車荷載下的振動特征［J］.振動與沖擊，2010，29(7):216－220.

［7］ 林 海，肖盛燮，橋梁車輛振動分析理論評述［J］.重慶交通學(xué)院學(xué)報，1998，17(3):1－9.

［8］ Zheng D Y，Cheung Y K，Au F T K，et al.Vibration of multi-span non-uniform beams under moving loads by using modified beam vibration functions［J］.Journal of Sound and Vibration［J］.1998，212(3):455－467.

［9］ 沈火明，肖新標.插值振型函數(shù)法求解移動荷載作用下等截面連續(xù)梁的動態(tài)響應(yīng)［J］.振動與沖擊，2005，24(3):27－30.

［10］ Michaltsos G，Sophianopoulos D K，Ounadis A N.The effect of a moving mass and other parameters on the dynamic response of a simply supported beam［J］.Journal of Sound and Vibration，1996，191(3):357－362.

［11］ 崔圣愛，祝 兵，白峰濤，等.瓊州海峽跨海斜拉橋方案車橋系統(tǒng)耦合振動仿真分析［J］.振動與沖擊，2011，30(5):106－110.

［12］ 朱懷亮，謝 嚴，胡開封，等.考慮軸向力作用下車－橋耦合系統(tǒng)的動力學(xué)建模與分析［J］.南昌大學(xué)學(xué)報(工科版)，2008，30(4):389－393.

［13］ Cai C W，Cheung Y K，Chan H C.Dynamic response of infinite continuous beams subjected to a moving force-an exact method［J］.Journal of Sound and Vibration，1998，123(3):461－472.

［14］ 劉 富，練松良.軌道縱向剛度變化對快速列車輪軌受力的影響［J］.同濟大學(xué)學(xué)報，2001，29(11):1276－1281.