二次曲面方程的化簡

張海濤

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

二次曲面方程的化簡

張海濤

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

二次曲面的化簡是解析幾何中的重點(diǎn)內(nèi)容，介紹了幾種化簡二次曲面方程的方法，并通過具體實(shí)例作出說明，最后比較各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

二次曲面；化簡；標(biāo)準(zhǔn)

在解析幾何中，二次曲面方程的形式比較復(fù)雜，這給我們解決問題帶來了很大的不便，這時(shí)候就需要將方程先進(jìn)行化簡。許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究［1-7］。在文獻(xiàn)［3］中，利用矩陣運(yùn)算，結(jié)合向量的數(shù)量積和外積對(duì)二次曲面進(jìn)行化簡；在文獻(xiàn)［5］中，利用主徑面建立新的坐標(biāo)平面進(jìn)行化簡。根據(jù)不同的條件給出了4種二次曲面方程化簡的方法：配方法、坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)變換、主徑面、不變量，并總結(jié)了各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

定理1 適當(dāng)選取坐標(biāo)系，二次曲面方程總可化為下列五個(gè)簡化方程中的一個(gè)：

（I）a11x2＋a22y2＋a33z2＋a0＝0，a11a22a33≠0；

（II）a11x2＋a22y2＋a3z＝0，a11a22a33≠0；

（III）a11x2＋a22y2＋a0＝0，a11a22≠0；

（IV）a11x2＋a2y＝0，a11a22≠0；

（V）a11x2＋a0＝0，a11≠0。

1 利用配方法化簡

如果方程中含有x（y，z）的平方項(xiàng)，則先把含有x（y，z）的各項(xiàng)集中，按x（y，z）配成完全平方，然后按照此法對(duì)其它變量配方，直至都配成平方項(xiàng)。

例1 化簡方程：4xy-2zx-2yz＋3z2＝0。

解 4xy-2zx-2yz＋3z2＝

相應(yīng)的線性變換由

求得

優(yōu)點(diǎn)：該方法簡單易懂，易掌握，計(jì)算量??；

缺點(diǎn)：簡化出的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一。

2 利用坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)變換化簡

定理2 任意二次曲面方程至多經(jīng)過三次平面上的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)變換和一次空間坐標(biāo)軸平移變換總能化為二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程。

例2 化簡方程

解 因?yàn)閍12≠0，則根據(jù)

則上式化為：

y′2＋2x′z′-9＝0，

作變換

則方程化簡為：

x″2＋y″2-z″2-9＝0。

優(yōu)點(diǎn)：方法簡單易懂；

缺點(diǎn)：計(jì)算過程復(fù)雜，化出的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一。

3 利用主徑面化簡

利用主徑面將一個(gè)二次曲面化為標(biāo)準(zhǔn)形，首先根據(jù)二次曲面的主徑面得出二次曲面的特征根，再根據(jù)特征根求出其主方向，進(jìn)而得出它的共軛主徑面，取主徑面為新坐標(biāo)作坐標(biāo)變換，代入原方程得出二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)形式。

例3 化簡方程

x2＋y2＋5z2-6xy＋2yz-2xz-6x＋6y-6z＋10＝0。

解 因?yàn)镮1＝7，I2＝0，I3＝-36，

所以曲面的特征方程為-λ3＋7λ2-36＝0，

即（λ-6）（λ-3）（λ+2）＝0，

所以二次曲面的特征根有三個(gè)λ＝6，3，-2。

特征根λ＝6的主方向由方程組

所以λ＝6的主方向?yàn)?/p>

則與它共軛的主徑面為

-x＋y＋2z＝0。

同理，求得另外的主徑面為：

x-y＋z＝0和x＋y＝0，

則其變換公式是：

解得

解得二次曲面的方程為

優(yōu)點(diǎn)：該方法劃出的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的，且計(jì)算過程中方程的特征根，主徑面，及主方向的性質(zhì)都容易求得；

缺點(diǎn)：計(jì)算量大，過程復(fù)雜，不容易掌握。

4 利用不變量化簡

利用不變量化簡二次曲面方程，即應(yīng)用二次曲面（1）的四個(gè)不變量I1，I2，I3，I4與半不變量K1，K1來化簡二次曲面（1）的方程，其方法與平面上的二次曲線的方程化簡相似。

定理3 二次曲面（1）當(dāng)且僅當(dāng)

1°I3≠0，表示第I類曲面，簡化方程為

2°I3＝0，I4≠0，表示第II類曲面，簡化方程為

3°I3＝I4＝0，I2≠0，表示第III類曲面，簡化方程為

4°I3＝I4＝I2＝0，K2≠0，表示第IV類曲面，簡化方程為

5°I3＝I4＝I2＝K2＝0，表示第V類曲面，簡化方程為

這里的λ1，λ2，λ3分別為二次曲面（1）的非零特征根。

例4 化簡方程

x2＋y2＋z2-6x＋8y＋10z＋1＝0。

解 因?yàn)槎吻?/p>

I1＝3，I2＝3，I3＝1，I4＝-49，I1I3＝3，

所以二次曲面為橢球面曲面的特征方程為

-λ3＋3λ2-3λ＋1＝0，

即（λ-1）3＝0，特征根為λ＝1，1，1，

所以橢球面的簡化方程為

x2＋y2＋z2-49＝0。

優(yōu)點(diǎn)：該方法簡單易懂，計(jì)算容易，化簡出的標(biāo)準(zhǔn)形唯一；

缺點(diǎn)：易混淆，用的時(shí)候必須熟記公式。

所介紹的二次曲面方程的化簡方法各有條件、各具特色，因此各種類型所采用的技巧方法都不盡相同，我們必須根據(jù)其條件來判斷方程化簡所用的方法，進(jìn)而找到解決問題的方法。當(dāng)然，有些題目可以用多種方法來解決，此時(shí)，我們不可以死搬硬套，要從復(fù)雜中找簡單，想要做到這一點(diǎn)，就必須在做題中不斷總結(jié)、摸索、領(lǐng)悟各種方法的精髓，這樣才能熟練而又靈活的掌握與運(yùn)用各種化簡二次曲面的方法。

［1］黃梅英.二次曲面的等差數(shù)列性質(zhì)［J］.龍巖學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，24（3）：105-106.

［2］李永利，桑改連.二次曲面與等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)通訊，2005，13：17-18.

［3］劉軾波.化簡二次曲面方程的矩正陣方法［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2012，15（2）：22-24.

［4］席高文.二次曲面方程分類與化簡［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)報(bào)，2005，21（5）：133-134.

［5］鄭文晶.二次曲面的化簡［J］.呼倫貝爾學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，17（21）：156-160.

［6］王理凡.化簡二次曲面方程的探究［J］.和田師范學(xué)報(bào)，2009，28（4）：201-202.

［7］宋述立.化二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程［J］.棗莊師專學(xué)報(bào)，2000，17（2）：15-16.

Key uords：quadric surface；reduction；standard

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>

On Quadric Surface Equation of Reduction

ZHANG Hai-tao
（School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Datong university，Datong Shanxi，037009）

Quadric surface is important in analytic geometry.In this paper，the reduction method is given.The example explains the advantages and disadvantages of various methods.

O182.2

A

1674-0874（2012）05-0012-03

2012-03-15

張海濤（1974-），女，山西陽高人，碩士，副教授，研究方向：常微分方程。