不同維度下Laplace 方程解的性質(zhì)研究

任 磊，段光爽

(信陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 信陽(yáng) 464000)

在Newton的萬有引力理論中［1］，在固定時(shí)間，萬有引力加速度向量場(chǎng)(單位質(zhì)量的力)為-▽u，其中▽u=uxi+uyj+uzk是函數(shù)u(x，y，z)的梯度，稱為萬有引力位勢(shì).函數(shù)u(x，y，z)服從二階偏微分方程［2－3］

其中:ρ= ρ(x，y，z)為物體在(x，y，z)處的密度，G是萬有引力常數(shù)，G≈6.668×10-11m3·s－2·kg-1.方程(1)稱為 Poisson 方程，當(dāng) ρ=0時(shí)稱為L(zhǎng)aplace方程.

1 解的形式和性質(zhì)

尋求 Laplace方程一個(gè)球?qū)ΨQ的解 u(x，y，z)，即u(x，y，z)只依賴于到原點(diǎn)的距離

定理1 在n維空間中，Laplace方程有球?qū)ΨQ解，其解具有如下形式:

從而

于是

解得:

其他維度下類似可證.

特別地，當(dāng)n=3時(shí)，仿照以上手法，可得u(x，y，z)=

若C≠0時(shí)，則此解在(0，0，0)無定義.因此，唯一處處有定義的球?qū)ΨQ解是u=K，產(chǎn)生零萬有引力(-▽K=0).當(dāng)C≠0時(shí)，得到定義在不包含(0，0，0)的任意區(qū)域D上的解.

取D為某個(gè)外部孤立的行星，r＞r0.假設(shè)萬有引力加速度的大小▽u=Cr-2等于行星表面的g(于地球而言g≈9.8 m·s-2)，則有或.于是其中，er是由 (0，0，0)指向外部的向量場(chǎng).當(dāng)r＜r0時(shí)，因?yàn)槭切行莾?nèi)部ρ＞0，此時(shí)公式不可用.從(3)式中可以看到，▽u與r-2成正比，所以從Laplace方程推出了萬有引力反比律.

注(逃逸速度):位勢(shì)差u(∞)-u(r0)=gr0是將一單位質(zhì)量物體從行星表面移動(dòng)到空間任意遠(yuǎn)處所需的能量.因此，不計(jì)空氣阻力，單位質(zhì)量物體的動(dòng)能作為發(fā)射物完全脫離行星所需的動(dòng)能gr0.換句話說，逃逸速度的大小為對(duì)地球而言這個(gè)速度大約為11.2 km/s.

2 解的物理應(yīng)用

一質(zhì)量為m的行星以極坐標(biāo)系在(r(t)，θ(t))處的角動(dòng)量為mr2(其中)，它為某個(gè)常數(shù)，記為A，作為中心力.因此則行星的動(dòng)能

其中

假設(shè)行星軌道對(duì)r至少有兩個(gè)相鄰的局部極值，設(shè)其為r1和r2(r1＜r2).當(dāng)n=3時(shí)，這個(gè)假設(shè)是可能的，因?yàn)檫@時(shí)有橢圓軌道.

引理1 f(t)必在r1和r2之間的某點(diǎn)r0有嚴(yán)格小于E的局部極小.

證明在軌道的極值點(diǎn)處，有˙r=0.因此由(4)得

由于行星在這兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)之間運(yùn)行時(shí)，

所以必有

f(r)＜E，r1＜r＜r2.

引理2 n=4時(shí)，不存在r0使得f'(r0)=0;除非f(t)≡E=0.

證明 當(dāng)n=4時(shí)，

若存在r0使得f'(r0)=0，則必有

即有f(t)≡E=0.

引理3 n＞4時(shí)，存在唯一的正數(shù)r0，使f'(r0)=0，且該值是局部最大值.

證明 當(dāng)n＞4時(shí)，

令f'=0，解得

易得當(dāng)r∈(0，r0)時(shí)，f'＞ 0;當(dāng)r∈(r0，+∞)時(shí)，f'＜0.所以該值是局部最大值.

由上述引理可知，當(dāng)n＞3時(shí)，行星軌道對(duì)r沒有兩個(gè)相鄰局部極值.這時(shí)圓形軌道是有可能的，但這樣的軌道是不穩(wěn)定的，因?yàn)榉浅］p微的碰撞就會(huì)使行星偏離運(yùn)行軌跡，從而有如下結(jié)論:

定理2 維數(shù)大于3的行星軌道是不穩(wěn)定的.

［1］李俊杰.基礎(chǔ)偏微分方程［M］.北京:高等教育出版社，2006:22－39.

［2］張潔，祝家麟，張凱.Laplace方程的 Galerkin邊界元解法［J］.重慶大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，26(10):39 －41.

［3］馬榮.Laplace方程在靜電場(chǎng)中的意義［J］.商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，19(2):131 －132.