基于有限元分析的復(fù)雜結(jié)構(gòu)彈性振動(dòng)傳遞函數(shù)建模

武新峰，雷勇軍，李家文

(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天與材料工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073)

隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展和進(jìn)步，航天器結(jié)構(gòu)(如大型捆綁火箭、高超聲速飛行器、大型空間組合體和天基動(dòng)能武器等)日趨復(fù)雜化和功能化，其外形特征、內(nèi)部結(jié)構(gòu)及載荷邊界都發(fā)生了較大的變化，產(chǎn)生了許多新的力學(xué)問(wèn)題。航天器在運(yùn)行過(guò)程中受到各種擾動(dòng)(如發(fā)動(dòng)機(jī)頻繁開(kāi)關(guān)機(jī)產(chǎn)生的沖擊、碰撞、溫度沖擊等)的作用會(huì)發(fā)生彈性振動(dòng)，如果這種彈性振動(dòng)不能迅速衰減或者發(fā)生放大，不僅會(huì)對(duì)控制系統(tǒng)產(chǎn)生重要影響，而且可能造成結(jié)構(gòu)的破壞。因此在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程中，都必須考慮彈性振動(dòng)的影響，才能夠準(zhǔn)確建立彈性振動(dòng)的力學(xué)模型。

結(jié)構(gòu)的彈性振動(dòng)需要采用三維偏微分方程來(lái)描述，板殼結(jié)構(gòu)的彈性振動(dòng)可以簡(jiǎn)化為二維偏微分方程的初邊值問(wèn)題，而梁和桿的彈性振動(dòng)則可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為常微分方程的初邊值問(wèn)題［1］。工程實(shí)踐中，采用兩端自由的空間一維梁模型來(lái)建立串聯(lián)火箭和大細(xì)長(zhǎng)比導(dǎo)彈的彈性振動(dòng)方程［2］，但該方法應(yīng)用于復(fù)雜航天器的難度較大，原因在于:① 多數(shù)航天器(如衛(wèi)星、天基動(dòng)能武器等)結(jié)構(gòu)長(zhǎng)細(xì)比較小，不能采用二維或一維的簡(jiǎn)化模型，而建立三維偏微分方程的難度大;② 航天器內(nèi)部結(jié)構(gòu)錯(cuò)綜復(fù)雜，振動(dòng)傳遞特性難以準(zhǔn)確模擬;③ 航天器結(jié)構(gòu)中廣泛采用新型材料和特殊結(jié)構(gòu)，而這些材料和結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性及邊界條件難以準(zhǔn)確模擬［3］。

另外，可以采用實(shí)驗(yàn)法進(jìn)行彈性振動(dòng)建模，即將系統(tǒng)看作一個(gè)“黑箱”，根據(jù)輸入輸出數(shù)據(jù)辨識(shí)出系統(tǒng)的力學(xué)模型。該方法由實(shí)驗(yàn)和參數(shù)辨識(shí)兩部分組成，辨識(shí)算法比較成熟［4－5］，在工程領(lǐng)域中實(shí)驗(yàn)法得到廣泛應(yīng)用［6－8］。但實(shí)驗(yàn)法也存在一些不足之處，主要體現(xiàn)在:① 航天器的載荷邊界條件無(wú)法準(zhǔn)確模擬，尤其是失重、在軌運(yùn)行、在軌機(jī)動(dòng)等空間環(huán)境;② 輸出信號(hào)采集過(guò)程中不可避免地會(huì)受到噪聲等隨機(jī)信號(hào)的影響，給辨識(shí)精度造成較大影響;③ 航天器實(shí)驗(yàn)耗資較大，周期較長(zhǎng)，很難通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)來(lái)提高彈性振動(dòng)模型的精度。

為了降低彈性振動(dòng)建模的難度，綜合分析以上兩種建模方法的優(yōu)缺點(diǎn)，提出了一種基于有限元分析的彈性振動(dòng)傳遞函數(shù)建模方法。首先采用有限元軟件將航天器結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元離散建模，從而降低結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)目，降低建模難度;然后基于有限元模型模擬航天器的各種實(shí)驗(yàn)工況，進(jìn)行線性動(dòng)力學(xué)分析或非線性動(dòng)力學(xué)分析，得到響應(yīng)數(shù)據(jù);最后采用參數(shù)辨識(shí)算法，建立能夠準(zhǔn)確反映彈性振動(dòng)的傳遞函數(shù)模型。本文根據(jù)參數(shù)辨識(shí)類型的不同，從時(shí)域和頻域兩個(gè)方面進(jìn)行彈性振動(dòng)傳遞函數(shù)建模。首先給出了基于有限元分析彈性振動(dòng)建模的流程;然后通過(guò)懸臂梁、某運(yùn)載火箭和某彈體局部結(jié)構(gòu)的算例驗(yàn)證了本文方法的可行性和有效性，為工程應(yīng)用提供參考。

1 彈性振動(dòng)傳遞函數(shù)建模

在彈性振動(dòng)眾多的描述方法當(dāng)中，傳遞函數(shù)模型能夠直接反映激勵(lì)和響應(yīng)之間的關(guān)系，建模簡(jiǎn)單、應(yīng)用方便，因此作為本文的首選。傳遞函數(shù)是描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的一種數(shù)學(xué)表達(dá)式，只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，一般為復(fù)變量的有理真分式函數(shù)，其分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)均為實(shí)數(shù)，都是由系統(tǒng)的物理參數(shù)決定的。

一個(gè)初始條件為零的多自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為:

式中{F(s)}和{X(s)}分別為{f(t)}和{x}的Laplace變換。由式(2)得:

式中Hd(s)為結(jié)構(gòu)的位移傳遞函數(shù)矩陣。下文不區(qū)分傳遞函數(shù)類型(位移、速度或加速度)，統(tǒng)一用H(s)表示。將傳遞函數(shù)寫(xiě)成有理真分式的形式為:

式中:N 為模態(tài)階數(shù)，ak和 bk(k=0，1，2，…，2N)為待定系數(shù)。

對(duì)式(5)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)確定各個(gè)系數(shù)，能夠得到傳遞函數(shù)模型。本文根據(jù)參數(shù)辨識(shí)的3個(gè)基本要素(即模型、數(shù)據(jù)和準(zhǔn)則)設(shè)計(jì)了基于有限元分析的彈性振動(dòng)建模流程，如圖1所示。整體建模分為兩個(gè)模塊:有限元分析模塊和參數(shù)辨識(shí)模塊。有限元分析模塊主要作用是建立結(jié)構(gòu)的有限元模型，模擬各種動(dòng)力學(xué)環(huán)境，通過(guò)各種動(dòng)力學(xué)分析得到參數(shù)辨識(shí)所需的數(shù)據(jù)。參數(shù)辨識(shí)模塊需要根據(jù)數(shù)據(jù)類型，選擇辨識(shí)的數(shù)學(xué)模型和準(zhǔn)則進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。有限元分析得到的數(shù)據(jù)可以為時(shí)域響應(yīng)，也可以為頻域響應(yīng)，因此參數(shù)辨識(shí)方法也要相應(yīng)地選擇時(shí)域辨識(shí)法或頻域辨識(shí)法。需要說(shuō)明的是:有限元模型的精度需要采用模態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行校核，通過(guò)修改模型來(lái)提高有限元模型的仿真精度。而在傳遞函數(shù)模型的正確性驗(yàn)證過(guò)程中，同樣需要實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，但是工程中往往很難得到這種實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，因此這里采用有限元仿真結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。當(dāng)然，這樣處理的前提是有限元模型足夠準(zhǔn)確。下面分別給出兩種方法的實(shí)施方案。

圖1 彈性振動(dòng)建模流程Fig.1 Elastic vibration modeling flow chart

1.1 時(shí)域辨識(shí)建模法

(1)有限元模型建立及修正

有限元模型是本文方法的基礎(chǔ)，使用MSC.PATRAN建立有限元模型后，通過(guò)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性分析得到固有頻率和振型，與設(shè)計(jì)值或試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比后修正有限元模型。

(2)時(shí)域數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

時(shí)域數(shù)據(jù)由MSC.NASTRAN的瞬態(tài)響應(yīng)分析得到，內(nèi)容包括:激勵(lì)的施加、邊界條件的模擬、瞬態(tài)響應(yīng)分析類型的選取、響應(yīng)輸出位置和數(shù)據(jù)類型的選取等。激勵(lì)施加主要以實(shí)際激勵(lì)為主，但在實(shí)際激勵(lì)未知的情況下，可以選取PRBS信號(hào)［9］(偽隨機(jī)二進(jìn)制序列)。這是因?yàn)镻RBS信號(hào)具有近似白噪聲的性質(zhì)，能夠保證良好的辨識(shí)精度。瞬態(tài)響應(yīng)分析包括直接積分法和模態(tài)疊加法，為了便于控制辨識(shí)的頻段，選用模態(tài)疊加法。

(3)模型參數(shù)辨識(shí)

時(shí)域參數(shù)辨識(shí)法是在時(shí)間域內(nèi)識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的方法，所采用的原始數(shù)據(jù)通常是結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)，包括結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)響應(yīng)、沖擊響應(yīng)和強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)。主要有STD法、最小二乘復(fù)指數(shù)法、ARMA時(shí)序法等。其中ARMA模型的表達(dá)式為:

其中，fk=f(kΔt)，(k=0，1，2，…)是激勵(lì)的離散值，xk=x(kΔt)(Δt為采樣時(shí)間間隔)是響應(yīng)的離散值，al(l=1，2，…，p)、bl(l=1，2，…，q)是待辨識(shí)參數(shù)，p、q為ARMA模型的階次，且p≥q。對(duì)式(6)進(jìn)行Z變換就可以得到與傳遞函數(shù)等價(jià)的形式，即:

(4)模型驗(yàn)證

模型驗(yàn)證采用“時(shí)域建模頻域驗(yàn)證”的方法，即先求得傳遞函數(shù)的頻域特性(幅值與相位角)，然后與MSC.NASTRAN分析得到的頻響函數(shù)曲線進(jìn)行對(duì)比，如果頻域特性一致，則認(rèn)為傳遞函數(shù)模型滿足精度要求。

1.2 頻域辨識(shí)建模法

(1)有限元模型建立及修正

(2)頻域數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

頻域數(shù)據(jù)由MSC.NASTRAN的頻率響應(yīng)分析得到，計(jì)算時(shí)以幅值為1的平直譜曲線為激勵(lì)，可以直接得到結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)曲線。

(3)模型參數(shù)辨識(shí)

頻域參數(shù)辨識(shí)法是指在頻域內(nèi)對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)的方法。主要利用線性參數(shù)或非線性參數(shù)最小二乘法進(jìn)行曲線擬合的多種頻域參數(shù)辨識(shí)法，例如導(dǎo)納圓擬合法、頻域最小二乘法、有理分式多項(xiàng)式法(Levy法)、正交多項(xiàng)式法等。其中Levy法的數(shù)學(xué)模型為頻響函數(shù)的有理式形式，而頻響函數(shù)與傳遞函數(shù)等價(jià)，即將式(5)中的s換為jω，令b0=b2N=1可得到頻響函數(shù):

采用最小二乘法即可得到式(8)待定系數(shù)ak和bk［10］。

(4)模型驗(yàn)證

模型驗(yàn)證采用“頻域建模時(shí)域驗(yàn)證”的方法，對(duì)傳遞函數(shù)模型和有限元模型施加同一個(gè)時(shí)域激勵(lì)，對(duì)比時(shí)域響應(yīng)的結(jié)果，如果結(jié)果誤差較小，則認(rèn)為傳遞函數(shù)模型準(zhǔn)確。

當(dāng)然，時(shí)域和頻域參數(shù)辨識(shí)法還有許多，而且隨著諸多新技術(shù)的引入辨識(shí)精度越來(lái)越高。本文之所以選擇以上兩種方法，只是因?yàn)槠鋽?shù)學(xué)模型與傳遞函數(shù)等價(jià)。在實(shí)際操作中，可以根據(jù)需要選擇參數(shù)辨識(shí)算法。

2 算例分析

為了驗(yàn)證本文方法的可行性、有效性，下面給出三個(gè)算例進(jìn)行計(jì)算和分析:

2.1 算例1:懸臂梁

懸臂梁結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，有限元分析結(jié)果精度高，振型容易判別，因此選取懸臂梁算例來(lái)驗(yàn)證基于有限元分析彈性振動(dòng)建模方法的可行性和有效性。如圖2所示，桿件長(zhǎng)1 m，截面直徑0.005 m，材料為1Cr18Ni9Ti。桿件劃分為20個(gè)Beam單元，梁左端點(diǎn)固支約束，距固支點(diǎn)0.05 m處施加加速度激勵(lì)，右端點(diǎn)加速度響應(yīng)作為輸出。

圖2 懸臂梁有限元模型Fig.2 Finite element model of cantilever beam

首先采用SOL103進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性分析，得到前三階橫向彎曲固有頻率值和模態(tài)振型，分別是3.54 Hz，22.11 Hz和 61.74 Hz。

然后分別以PRBS信號(hào)曲線和平直譜曲線(頻率范圍是0～80 Hz)的曲線為加速度激勵(lì)，采用SOL112和SOL111進(jìn)行瞬態(tài)響應(yīng)分析和頻率響應(yīng)分析，得到時(shí)域響應(yīng)曲線和頻響函數(shù)曲線后，依次采用ARMA模型和Levy法進(jìn)行彈性振動(dòng)建模。兩種方法得到的加速度傳遞函數(shù)為:

采用時(shí)域參數(shù)辨識(shí)法進(jìn)行建模時(shí)，傳遞函數(shù)模型的階次較高，式(9)是模型降階處理后的結(jié)果。對(duì)比兩個(gè)傳遞函數(shù)的分母不難看出，前三階橫向振型的固有頻率值辨識(shí)誤差較小。

最后按照“時(shí)域建模頻域驗(yàn)證，頻域建模時(shí)域驗(yàn)證”的方法，進(jìn)行傳遞函數(shù)模型驗(yàn)證。圖3給出了以PRBS信號(hào)為加速度激勵(lì)的時(shí)域響應(yīng)曲線，對(duì)比了傳遞函數(shù)模型式(9)、式(10)和有限元模型的時(shí)域響應(yīng)特性。從時(shí)域響應(yīng)曲線來(lái)看，時(shí)域辨識(shí)模型的精度要優(yōu)于頻域辨識(shí)模型。圖4和圖5分別給出了以上三個(gè)模型的幅頻特性和相頻特性曲線，表明三個(gè)模型的固有頻率值一致，但時(shí)域辨識(shí)模型(式9)幅頻曲線峰值的大小與有限元模型相比存在誤差，因此從頻域特性來(lái)看，頻域辨識(shí)模型的精度要優(yōu)于時(shí)域辨識(shí)模型。

圖3 懸臂梁時(shí)域響應(yīng)曲線Fig.3 Transient response of cantilever beam

從以上分析可以得出，時(shí)域辨識(shí)建模能夠得到很好的時(shí)域辨識(shí)結(jié)果，但頻域特性會(huì)有較小誤差;而頻域辨識(shí)建模剛好相反，頻域特性的精度更高，時(shí)域特性有較小的誤差。因此，在建模過(guò)程中，根據(jù)需要選擇建模方法。

圖4 懸臂梁幅頻曲線Fig.4 Magnitude response of cantilever beam

圖5 懸臂梁相頻曲線Fig.5 Phase angle response of cantilever beam

圖6 運(yùn)載火箭梁模型及橫向彎曲振型Fig.6 Finite element model and bending mode shapes of rocket

2.2 算例2:運(yùn)載火箭

簡(jiǎn)化為梁模型(如串聯(lián)運(yùn)載火箭、導(dǎo)彈等)的彈性振動(dòng)建模方法已經(jīng)很成熟，但是這種方法的簡(jiǎn)化程度較大。隨著火箭的運(yùn)載能力越來(lái)越大，火箭的直徑逐漸增大，長(zhǎng)細(xì)比減小，并且增加了捆綁助推火箭，故而不能簡(jiǎn)單地采用梁模型進(jìn)行彈性振動(dòng)建模。為了更準(zhǔn)確地考慮火箭在不同秒狀態(tài)下彈性振動(dòng)的影響，基于線性系統(tǒng)假設(shè)，可以采用本文的方法建立彈性振動(dòng)傳遞函數(shù)，然后將其疊加到控制系統(tǒng)當(dāng)中。本算例建立了某捆綁火箭的梁模型，采用頻域辨識(shí)建模法得到了火箭在推力激勵(lì)作用下，振型節(jié)點(diǎn)位置的角速度響應(yīng)傳遞函數(shù)，從而驗(yàn)證本文方法在火箭、導(dǎo)彈等復(fù)雜結(jié)構(gòu)的應(yīng)用價(jià)值。

如圖6給出了某運(yùn)載火箭的簡(jiǎn)化有限元模型(火箭軸向?yàn)閄向)。其中，推進(jìn)劑用質(zhì)量點(diǎn)進(jìn)行模擬。運(yùn)載火箭在飛行過(guò)程中，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性隨著推進(jìn)劑的消耗而時(shí)刻變化，在分析過(guò)程中將其離散為多個(gè)秒狀態(tài)。本文仿真運(yùn)載火箭發(fā)射升空后的某個(gè)秒狀態(tài)，邊界條件為自由－自由。結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性分析表明，火箭在低頻段的模態(tài)振型非常密集。圖6同時(shí)給出了火箭前三階橫向彎曲振型圖，振型圖中標(biāo)出了振型節(jié)點(diǎn)N1、N2 和 N3。

為了得到更準(zhǔn)確的頻域特性，這里采用頻域參數(shù)辨識(shí)法進(jìn)行彈性振動(dòng)建模，以2臺(tái)芯級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)和4臺(tái)助推發(fā)動(dòng)機(jī)的推力作為輸入信號(hào)，以節(jié)點(diǎn)N2的Z向角速度作為輸出信號(hào)。建立角速度傳遞函數(shù)并降級(jí)處理后為:

圖7 Z向角速度幅頻曲線Fig.7 Magnitude response of Z － direction angular velocity

圖8 Z向角速度相頻曲線Fig.8 Phase angle response of Z-direction angular velocity

從式(11)的分母可以看出，在15 Hz頻段內(nèi)對(duì)N2位置的Z向角速度產(chǎn)生影響的主要模態(tài)振型有6個(gè)。該傳遞函數(shù)模型階次較高，按傳統(tǒng)方法建模難度較大，而本文方法大大降低了建模難度，建模過(guò)程更加快捷、簡(jiǎn)單。圖7和圖8給出了節(jié)點(diǎn)N2 Z向角速度響應(yīng)的幅頻和相頻辨識(shí)曲線，與有限元分析對(duì)比說(shuō)明傳遞函數(shù)辨識(shí)精度較高。在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，同樣可以得到運(yùn)載火箭不同秒狀態(tài)、任意位置、任意方向的加速度、角位移和角速度等響應(yīng)的傳遞函數(shù)，提高了彈性振動(dòng)模型的準(zhǔn)確性。

2.3 算例3:彈體局部結(jié)構(gòu)

對(duì)于不能簡(jiǎn)化為梁模型的復(fù)雜彈性結(jié)構(gòu)(如衛(wèi)星、動(dòng)能武器、彈體的某一艙段等)，采用偏微分方程很難準(zhǔn)確描述其彈性振動(dòng)，在這種情況下，只需建立該結(jié)構(gòu)的有限元模型，然后通過(guò)本文方法就可以很好地解決局部彈性振動(dòng)的建模難點(diǎn)。如圖9給出了一個(gè)彈體局部結(jié)構(gòu)(某一艙段)的慣導(dǎo)元件安裝平臺(tái)有限元模型，主要由梁和板殼單元構(gòu)成空間三維結(jié)構(gòu)。下端安裝有發(fā)動(dòng)機(jī)，上端慣組安裝位置輸出加速度響應(yīng)。采用頻域參數(shù)辨識(shí)法建立彈性振動(dòng)傳遞函數(shù)模型為:

圖9 彈體局部結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.9 Finite element model of missile’s local structures

圖10和圖11給出了Y向加速度的幅頻和相頻辨識(shí)曲線，可以看出，頻率特性辨識(shí)的精度較高。

圖10 Y向加速度幅頻曲線Fig.10 Magnitude response of Y-direction acceleration

圖11 Y向加速度相頻曲線Fig.11 Phase angle response of Y-direction acceleration

在實(shí)際應(yīng)用中，控制系統(tǒng)要求傳遞函數(shù)的階數(shù)不能過(guò)高，可以通過(guò)以下兩種途徑來(lái)實(shí)現(xiàn):① 數(shù)據(jù)預(yù)處理:對(duì)辨識(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，去掉不關(guān)心的響應(yīng)峰值，同時(shí)縮小頻率辨識(shí)范圍;② 模型降階:通過(guò)采用降階算法，對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行降階。濾波和降階的方法比較多，這里就不作介紹。

3 結(jié)論

航天及其它工業(yè)領(lǐng)域中的結(jié)構(gòu)越來(lái)越復(fù)雜，控制精度要求卻越來(lái)越高，因此以前建模中經(jīng)常忽略或簡(jiǎn)化的整體或局部彈性振動(dòng)因素就必須考慮在內(nèi)。本文提出了一種基于有限元分析的彈性振動(dòng)傳遞函數(shù)建模方法，以傳遞函數(shù)為媒介，采用參數(shù)辨識(shí)方法將有限元分析結(jié)果轉(zhuǎn)換為控制系統(tǒng)仿真軟件(如Simulink)可以應(yīng)用的形式。通過(guò)對(duì)建模方法和算例驗(yàn)證得出以下主要結(jié)論:

(1)提出了基于有限元分析的彈性振動(dòng)建模流程，分別從時(shí)域和頻域討論了傳遞函數(shù)建模的方法;

(2)分別建立了懸臂梁、某運(yùn)載火箭和某彈體局部結(jié)構(gòu)的彈性振動(dòng)傳遞函數(shù)模型，驗(yàn)證了本文方法的可行性和有效性，表明本文方法可以應(yīng)用到梁模型以及更復(fù)雜的航天器結(jié)構(gòu)的彈性振動(dòng)建模，同時(shí)可以推廣應(yīng)用到復(fù)雜結(jié)構(gòu)之間的載荷傳遞、邊界模擬等過(guò)程當(dāng)中。

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