粘性液體對管道中扭轉(zhuǎn)導波傳播特性的影響研究

孔維梁，周 麗， Fuh-Gwo Yuan

(1.南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016;2.Department of Mechanical and Aerospace Engineering，North Carolina State University，Raleigh，NC 27695，U.S.A)

管道的腐蝕老化是工業(yè)中的一個重要問題，而超聲導波是一種很有效的損傷檢測工具。管道大多含有液體，或者浸泡在液體中，需要研究與液體相接觸的管道中波的傳播特性。

許多學者對帶有液體的圓柱/管中的波傳播進行了研究。Nagy等［1］把粘性液體假設為特殊的固體，理論分析了縱向?qū)Рㄔ诮承砸后w里纖維中的傳播。Barshinger等［2］對帶粘彈性包覆層管道中波的傳播特性進行了理論和實驗研究。Elvira-Segura［3］在 Grosso理論的基礎上分析了內(nèi)部有粘性液體的管道中波的縱向模態(tài)，討論了頻率、管厚度和液體粘性對速度和衰減的影響。Aristegui等［4］在 Nagy 等［1］的理論基礎上，研究了管內(nèi)外為液體的情況下導波的傳播特性，并有實驗比較。Bllandras等［5］研究了導波在液體和固體半空間邊界上的衰減現(xiàn)象。

在以上研究中所關注的是導波的縱向模態(tài)。縱向模態(tài)對于管道周向的缺陷較敏感，但對軸向缺陷不太敏感，而理論上扭轉(zhuǎn)模態(tài)對于這兩種損傷都敏感。劉增華等［6］對超聲導波扭轉(zhuǎn)模態(tài)在粘彈性包覆層管道中的傳播特性進行了研究。他得安［7］等對充粘液管材超聲縱向?qū)Рǖ臒o損檢測參數(shù)進行了探討。Viens等［8］研究了埋藏在無限大固體中桿的扭轉(zhuǎn)波傳播特性，并將液體假設為橫波速度很小的固體，得到了浸在液體中圓桿的扭轉(zhuǎn)波的相速度和衰減，但沒有實驗驗證。Kwun等［9］通過實驗研究了埋在煤、瀝青等介質(zhì)中的管道T(0，1)模態(tài)的衰減特性，發(fā)現(xiàn)衰減隨頻率升高而增加。

本文研究了接觸粘性液體的管道中扭轉(zhuǎn)導波的傳播特性。推導了管壁附近粘性液體的剪切運動，計算并分析其對波傳播的影響;其中主要討論了粘性，密度等對T(0，1)模態(tài)的衰減影響和液體分別處于管的內(nèi)外時波的衰減，以對扭轉(zhuǎn)導波在管道損傷檢測中的應用提供一定理論依據(jù)。

1 扭轉(zhuǎn)波運動理論

1.1 扭轉(zhuǎn)波在各向同性管道中的運動

由文獻［11－12］，在一個各向同性、均勻、彈性的無限長圓管中(如圖1)，假設一個時間簡諧波沿著管道傳播，管中扭轉(zhuǎn)波的位移與剪切力分別為uθ和τrθ有如下表示:

圖1 粘性液體充滿管道內(nèi)部Fig.1 An infinite long pipe filled with viscous liquid

1.2 剪切波在液體中的運動

管的扭轉(zhuǎn)波是剪切波，只有θ方向的運動。只有粘性液體可以對剪切波產(chǎn)生影響。假設液體為牛頓流體，忽略體力的作用，液體初始為靜止。在這個問題中管壁平行于軸線運動，對液體產(chǎn)生純剪切力。由于典型損傷檢測使用的導波持續(xù)時間很短(10－4s)，波包包含的波峰數(shù)量少，管壁的振動幅度小，認為液體還是層流流動。由固壁無滑移條件，靠近固壁的液體運動形式與管壁一致即做間諧運動。在動量方程中忽略體力和壓縮性，簡諧波在液體中傳播時速度的表示為［3］:

式中:λ和η分別表示膨脹和剪切粘性系數(shù)，ρl為液體靜止時的密度，v為速度矢量。對速度進行Helmholtz分解:v=▽φ+▽×Ψ。其中φ為壓縮標量勢，Ψ為等體積矢量勢。它們都為簡諧運動的形式:

解關于矢量勢Ψ的方程，可以得到液體中的速度和剪切力:

當扭轉(zhuǎn)波傳過時，由管壁產(chǎn)生的擾動將在液體中傳播并不斷衰減。擾動是否能從另一側(cè)管壁反射將直接影響波的形式。這里使用邊界層理論加以分析。為確定波運動的性質(zhì)，我們用邊界層的厚度量級進行波影響范圍的估計。厚度估計如下式［10］:

其中L為運動的特征尺度，在這里取為管壁振動的振幅;U為特征速度，取為管壁質(zhì)點振動的平均速度;δ為邊界層的厚度;f為運動頻率。振動周期為:T=1/f=2L/U。則邊界層厚度的量級為:

為估計邊界層厚度的大小，取較大粘性系數(shù)和較小的液體密度、頻率代入式子。取粘性系數(shù)η=1 Pa·s，密度為ρ=1 000 kg/m3，頻率為f=1 kHz時，可以得到邊界層厚度δ～7.07×10－4m，為10－3m量級。這個量級遠小于一般使用的管道，也小于本文例子的半徑a=0.1 m，δ?a。

2 邊界條件與頻散方程

2.1 液體在管道內(nèi)

如圖1，管的內(nèi)徑為a，外徑為b，壁厚為c，管內(nèi)部有粘性液體。在管的邊界上力和位移連續(xù):內(nèi)表面上的應力應等于液體對管的剪切力，位移和速度等于液體運動的位移和速度;管外部為自由，應力為零、

式(1)，式(2)中 Bessel函數(shù)的選擇見文獻［11］，在變量q為復數(shù)時Bessel函數(shù)的選擇應和q為實數(shù)時一致。把式(1)，式(2)，式(9)，式(10)代入邊界條件并聯(lián)立，令矩陣方程的行列式為零，由此可以得到頻散方程，簡化后的頻散方程為:

2.2 液體在管道外

當管外面有粘性液體而內(nèi)部自由，其他參數(shù)同前節(jié)。此時液體中的波只向外行，液體中的速度和剪切力將由第二類Hankel函數(shù)表示。類似式(15)，將位移和應力式子代入邊界條件中可得頻散方程:

3 帶粘液管中扭轉(zhuǎn)波的位移模式和傳播特性

解出頻散方程在不同頻率下的根，可以得到頻散和衰減曲線:由實波數(shù)得到相速度，由虛波數(shù)得到波的衰減。由于粘性液體波的衰減總是存在，波數(shù)為復數(shù)。在解頻散方程時使用了Muller法迭代尋根。數(shù)值求解復數(shù)根需要在實部和虛部兩個坐標軸進行搜索，但是在此處當頻率接近零時，各階模態(tài)波數(shù)的實部都很接近于零，而虛部差別很大。利用這個性質(zhì)，計算時可以只在虛軸上搜索。求得波數(shù)后可以給出波的頻散和衰減曲線，在本文中定義如下:

相速度:

正交化衰減:

其中圓頻率 ω =2πf，f為頻率。

3.1 扭轉(zhuǎn)波的頻散特性

管道為內(nèi)徑 a=0.1 m，外徑為 b=0.11 m，厚度c=0.01 m的鋁管。管道材料和液體的具體數(shù)據(jù)見表1。

當管道與粘性液體接觸，液體會被管道的運動帶動，同時管中的能量將散失到液體中去，所以波會出現(xiàn)衰減，同時也會存在頻散。圖2、圖4和邊界自由管的相速度速度頻散曲線非常相似，明顯的區(qū)別是T(0，1)模態(tài)出現(xiàn)了小的頻散，這個現(xiàn)象是由粘性液體造成。由圖3可以看到這六階扭轉(zhuǎn)模態(tài)都有不同程度的衰減，衰減的值隨頻率的增大而增大。同樣頻率下T(0，1)模態(tài)的衰減小于其他階。除T(0，1)模態(tài)外，較低階扭轉(zhuǎn)模態(tài)波的衰減隨頻率的增長速度大于更高階模態(tài)。當頻率增加時，除T(0，1)模態(tài)波之外的波的衰減將會接近。

表1 管道和液體的屬性Tab.1 The material properties of the pipe and liquid

當粘性液體在管道的外部時，圖4、圖5顯示了和圖2、圖3類似的現(xiàn)象，只有衰減曲線有明顯不同。比較圖3和圖5，雖然衰減都是隨頻率增加而增加的，曲線形狀也很相似，但T(0，1)模態(tài)的衰減有明顯差別:液體分別在管內(nèi)和管外時的衰減之比約為3/4。更高階模態(tài)的衰減則差別不大。

3.2 與文獻中實驗結果的比較

在文獻［13］中有實驗如下，實驗對象是一根浸在甘油中的鐵桿，桿的半徑為1 mm，材料常數(shù)如表2。實驗測量了桿中T(0，1)模態(tài)的衰減。在圖中衰減的單位是1/m(或者np/m)。

表2 文獻［11］中實驗材料的性質(zhì)Tab.1 The material properties in the pape［11］

圖2 管內(nèi)有液體時前六階扭轉(zhuǎn)模態(tài)的相速度曲線(η=1 Pa·s)Fig.2 The normalized phase velocity of first six modes of torsional wave in a pipe filled with liquid(η =1 Pa·s)

圖3 管內(nèi)有液體時前六階扭轉(zhuǎn)模態(tài)的衰減曲線(η=1 Pa·s)Fig.3 The normalized attenuation of first six modes of torsional wave in a pipe filled with liquid(η =1 Pa·s)

圖4 管外有液體時前六階扭轉(zhuǎn)模態(tài)的相速度曲線(η=1 Pa·s)Fig.4 The normalized phase velocity of first six modes of torsional wave in a pipe immersed in liquid(η =1 Pa·s)

圖5 管外有液體時前六階扭轉(zhuǎn)模態(tài)的衰減曲線(η=1 Pa·s)Fig.5 The normalized attenuation of first six modes of torsional wave in a pipe immersed in liquid(η =1 Pa·s)

可以看到本文計算結果與該實驗結果符合較好。文獻［14］中也有類似實驗，因結果相似不再列出。但是在這兩篇文獻中研究的是細鐵桿，并未討論液體在管內(nèi)部的情況，但目前還缺乏管內(nèi)有粘液時的實驗結果。

圖6 理論計算結果和文獻實驗結果的對比(實線為理論結果，點為實驗結果)Fig.6 Comparing of the results of theoretical calculations and experimental(solid line is the theoretical results，point to experimental results)

3.3 扭轉(zhuǎn)波的位移模式

圖7為內(nèi)部有粘液的管道的扭轉(zhuǎn)波沿管壁厚方向上周向位移的分布曲線，頻率為300 kHz。此處的位移為歸一化后的(uθ(r)/(uθmax－ uθmin)。這里只列出了前四階扭轉(zhuǎn)波的位移沿壁厚的分布。由圖7可知，T(0，1)模態(tài)中管的位移都是同一方向的，而更高階模態(tài)的位移在兩個方向上都有分布，階數(shù)越高位移曲線通過零點的次數(shù)越多。位移分布曲線的零點說明該點沒有運動，用導波進行損傷檢測的時候，此處的損傷有可能檢測不到，或是檢測能力降低。從這個意義上來說位移分布上沒有零點將是最好的。由圖2，圖4可知T(0，1)模態(tài)的頻散很小，且沒有截止頻率。所以相對于其他階模態(tài)，T(0，1)模態(tài)的優(yōu)勢是很明顯的。下面將重點討論粘性對T(0，1)模態(tài)的影響。

圖8是管內(nèi)充滿粘性液體時T(0，1)模態(tài)位移的分布，圖中顯示的半徑范圍是0.09 m～0.11 m，圖的左邊為液體，右邊為管道。由圖8(a)為頻率1 kHz的位移分布。圖8(b)中頻率增大到10 kHz，其位移分布與圖8(a)相比有相同趨勢，而液體的位移在管壁附近衰減更快，波在液體中的影響范圍更小(約0.002 m)。這些都和前文假設相符，邊界層厚度的量級也一致，證明了此假設的正確性。在圖8中，管壁中位移的分布和半徑成正比，管內(nèi)壁與外壁位移之比為10∶11。這和自由邊界管中T(0，1)模態(tài)的位移分布相同，說明此時粘性液體對管中導波的改變并不大。

圖7 管內(nèi)有粘液時扭轉(zhuǎn)模態(tài)的位移沿管壁分布，頻率為300 kHz，粘性系數(shù)為1 Pa·sFig.7 The displacement distribution of the torsional wave of a pipe filled with liquid，f=300 kHz，η =1 Pa·s

4 液體粘性和密度對T(0，1)模態(tài)的影響

4.1 液體粘性對各向同性管中T(0，1)模態(tài)的影響

扭轉(zhuǎn)模態(tài)在表面上只有θ方向的剪切運動，T(0，1)模態(tài)的衰減完全是由于剪切力，它理論上應該對周圍介質(zhì)的剪切性質(zhì)比較敏感。從式(8)中可知，頻率越高粘性液體中的剪切力越大，也就是說衰減應隨頻率增大而增大。

由圖9，液體的粘性會對波的相速度頻散特性造成影響，當液體在管外側(cè)時頻散更大，但相速度改變值都很小。盡管粘性系數(shù)從0.01增加到10，但速度的變化只有近1/1 000，約幾m/s，這在實際操作中難以測量。粘性對波傳播的干擾主要體現(xiàn)在衰減上。從圖10可以很明顯的看到衰減隨粘性增大單調(diào)增加，衰減大小和粘性增加的關系并不是線性的。衰減也隨著頻率增大而增大，在頻率低時衰減與頻率的曲線類似拋物線。而在頻率和粘性較大時曲線就改變了，其斜率變的更大。當液體在管外時衰減比液體在管內(nèi)時的情況大。

圖11是頻率固定時液體粘性與T(0，1)模態(tài)衰減的關系曲線。據(jù)比較這兩條曲線近似為拋物線，而且液體分別在管內(nèi)和管外時其衰減之比約為3/4。

圖8 管內(nèi)有粘液時T(0，1)模態(tài)的位移分布，粘性系數(shù)為1 Pa·sFig.8 The displacement distribution of the the first torsional wave mode filled with liquid，η =1 Pa·s

圖9 在不同液體粘性系數(shù)時T(0，1)模態(tài)的相速度曲線Fig.9 The normalized phase velocity of the first torsional wave mode with liquid of different viscosity

圖10 在不同液體粘性系數(shù)時T(0，1)模態(tài)的衰減曲線Fig.10 the normalized attenuation of the first torsional wave mode with liquid of different viscosity

圖11 當頻率為1 MHz時液體粘性與T(0，1)模態(tài)衰減的關系Fig.11 The relation between attenuation and dynamic viscosity coefficient of the first torsional wave mode，f=1 MHz

圖12 液體在不同密度時T(0，1)模態(tài)的相速度曲線，密度單位為kg/m3，粘性系數(shù)為1 Pa·sFig.12 The normalized phase velocity of the first torsional wave mode with different liquid density，the unit of density is kg/m3

4.2 液體的密度對T(0，1)模態(tài)衰減的影響

由圖12可知，液體的密度改變對T(0，1)模態(tài)的相速度影響也很小。但是密度的改變對曲線的形狀改變不多。由圖13，T(0，1)模態(tài)的衰減隨液體密度的變化比較平緩。在密度小的時候衰減隨密度上升較快，而后逐漸放慢。同樣液體在管外時產(chǎn)生的影響比液體在管內(nèi)時更大。由圖14可以看到密度與衰減的變化關系，與密度和衰減的關系一樣，其中的曲線也是近似為拋物線，即是說衰減的平方近似與密度成正比。這個結論在圖12，圖13的頻厚積范圍內(nèi)是可靠的，但是在頻厚積很大時不再成立。

圖13 液體在不同密度時T(0，1)模態(tài)的衰減曲線，密度單位為kg/m3，粘性系數(shù)為1 Pa·sFig.13 the normalized attenuation of the first torsional wave mode with different liquid density，the unit of density is kg/m3

5 結論

圖14 當頻率為1 MHz時液體密度與T(0，1)模態(tài)衰減的關系Fig.14 The relation between attenuation of the first torsional wave mode and liquid density，f=1 MHz

本文對帶有粘性液體的管道中扭轉(zhuǎn)導波的傳播特性進行了分析。討論了粘性液體對扭轉(zhuǎn)波的頻散曲線和衰減曲線的改變，研究了幾種因素對于T(0，1)模態(tài)傳播特性的影響。本文結果與液體在金屬桿外側(cè)時的實驗結果符合較好，為T(0，1)模態(tài)在管道損傷檢測中應用打下了一定基礎。結果表明:

(1)管道扭轉(zhuǎn)波在液體中的影響范圍不大，波的運動僅限于靠近固壁的邊界層中。

(2)粘性液體對于扭轉(zhuǎn)波的頻散特性改變不大，相速度的改變可以忽略，但對波的衰減有明顯影響。除T(0，1)模態(tài)，更高階模態(tài)的衰減比較相近。

(3)由于T(0，1)模態(tài)的頻散很小，在扭轉(zhuǎn)波中衰減最小，加上其位移分布的特點，在損傷檢測中具有重要作用。

(4)液體的粘性和密度對T(0，1)模態(tài)的衰減都有較大影響，在頻率較小時與衰減的平方成正比。

［1］Nagy P B，Nayfeh A H.Viscosity-induced attenuation of longitudinal guided waves in fluid-loaded rods［J］.Journal of Acoustical Society of America，1996，100(3):1501 －1508.

［2］ Barshinger J N，Rose J L.Guided wave propagation in an elastic hollow cylinder coated with a viscoelastic material［J］.IEEE Transactions on Ultrasonics， Ferroelectrics， and Frequency Control，2004，51(11):1547 －1556.

［3］L.Elvira-Segura，Acoustic wave dispersion in a cylindrical elastic tube filled with a viscous liquid［J］，Ultrasonics，2000，37:537－547.

［4］Aristegui C，Lowe M J S，Cawley P.Guided waves in fluidfilled pipes surrounded by different fluids［J］.Ultrasonics，2001，39:367 －375.

［5］ Ballandras S，Reinhardt A，Khelif A，et al.Theoretical analysis of damping effects of guided elastic waves at solid/fluid interfaces［J］.Journal of Applied Physics，2006，99:054907.

［6］劉增華，吳 斌，何存富，等.超聲導波扭轉(zhuǎn)模態(tài)在粘彈性包覆層管道中傳播特性研究［J］.應用基礎與工程科學學報，2005，13(3):291 －299.

［7］他得安，劉鎮(zhèn)清，賀鵬飛，充粘液管材超聲縱向?qū)Рǖ臒o損檢測參數(shù)選擇［J］.聲學學報，2004，29(2):104－110.

［8］ Viens M，Tshukahara Y，Jen C，et al.Leaky torsional acoustic modes in infinite clad rods［J］.Journal of Acoustical Society of America，1994，95(2):701 －707.

［9］ Kwun H，Kima S Y，Choib M S.Torsional guided wave attenuation in coal-tar-enamel-coated，buried piping［J］.NDT＆E International，2004，37:663 －665.

［10］ Gazis D C.Three-dimensional investigation of the propagation of waves in hollow circular cylinders.I.analytical foundation［J］.Journal of Acoustical Society of America，1959，3(5):568－573.

［11］ Pavlakoivc B N，Leaky guided ultrasonic waves in NDT［D］.Imperial College，University of London，UK，1998.

［12］ Cebeci T，Cousteix J.Modeling and computation of boundarylayerflows［M］. Horizons Publishing Inc.， Long Beach，2005.

［13］ Vogt T，Lowe M J S，Cawley P.Ultrasonic waveguide techniques for the measurement of material properties［J］.Review of Quantitative Nondestructive Evaluation，2002，21:1742－1749.

［14］ Vogt T K，Lowe M J S，Cawley P.Measurement of the material properties of viscous liquids using ultrasonic guided waves［J］.IEEE Transaction on Ultrasonic，F(xiàn)erroelectrics，and Frequency control，2004，51(6):737－747.