圓弧齒錐齒輪接觸動(dòng)力學(xué)分析

姚廷強(qiáng)，王立華，譚 陽(yáng)

(昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，昆明 650093)

圓弧齒錐齒輪是目前應(yīng)用最為廣泛的相交軸運(yùn)動(dòng)傳遞的基礎(chǔ)元件，具有重合度大、傳動(dòng)平穩(wěn)、承載能力高等優(yōu)點(diǎn)。隨著螺旋錐齒輪朝高速、重載方向的發(fā)展，需要更精確的動(dòng)力學(xué)分析，而振動(dòng)與噪聲產(chǎn)生的機(jī)理及消除方法則是螺旋錐齒輪動(dòng)力學(xué)理論研究和工程應(yīng)用等方面亟待解決的關(guān)鍵問(wèn)題，同時(shí)為研制新的性能良好的螺旋錐齒輪和建立盡可能符合實(shí)際的螺旋錐齒輪動(dòng)力學(xué)模型提出了更高的要求。

螺旋錐齒輪動(dòng)態(tài)性能研究主要涉及齒面接觸分析(TCA)、加載接觸分析(LTCA)、考慮齒面摩擦的熱分析和潤(rùn)滑分析、非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)的擬動(dòng)力學(xué)方法研究等關(guān)鍵方面［1－2］，后兩者是目前螺旋錐齒輪動(dòng)力學(xué)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。方宗德、高建平、楊宏斌和鄧效忠［3－7］，黃昌華、鄭昌啟和李潤(rùn)方［8－9］，林騰蛟［10］，王立華［11］，劉光 磊［12］，唐 進(jìn) 元［13］，吳 序 堂 和 王 小 椿［14］，楊 先勇［15］，Litvin［16］，Cheng［17］，Tanaka［18］等學(xué)者對(duì)螺旋錐齒輪動(dòng)力學(xué)的理論研究和工程應(yīng)用做出了貢獻(xiàn)，促進(jìn)了螺旋錐齒輪技術(shù)的發(fā)展。隨著齒輪嚙合基礎(chǔ)理論和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，運(yùn)用有限元法進(jìn)行螺旋錐齒輪的齒面接觸分析和加載接觸分析的設(shè)計(jì)方法與仿真分析技術(shù)日趨成熟。螺旋錐齒輪的有限元法通常研究少量輪齒嚙合接觸特性，計(jì)算效率相對(duì)較低，尤其在考慮滾動(dòng)軸承多體接觸動(dòng)力學(xué)特性的螺旋錐齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析方面，該方法還存在局限性，有待進(jìn)一步發(fā)展。

在基于多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論的漸開(kāi)線(xiàn)直齒齒輪接觸動(dòng)力學(xué)研究中，李三群［19］，Suzuki等［20］考慮輪齒的Hertz接觸變形，運(yùn)用離散漸開(kāi)線(xiàn)的弧線(xiàn)－弧線(xiàn)接觸算法，建立二維接觸動(dòng)力學(xué)模型。Mauer等［21］研究了剛性齒輪嚙合傳動(dòng)的二維接觸動(dòng)力學(xué)方法。Ebrahimi［22］，姚廷強(qiáng)［23］等研究了剛?cè)狁詈淆X輪的二維和三維接觸動(dòng)力學(xué)分析方法。眾所周知，螺旋錐齒輪嚙合傳動(dòng)特性比漸開(kāi)線(xiàn)直齒齒輪要復(fù)雜得多，使得這些漸開(kāi)線(xiàn)齒輪接觸動(dòng)力學(xué)方法不能直接應(yīng)用于螺旋錐齒輪動(dòng)力學(xué)研究。目前，計(jì)及弧齒嚙合齒面的動(dòng)態(tài)接觸關(guān)系的螺旋錐齒輪多體接觸動(dòng)力學(xué)方法還處于探索階段，從文獻(xiàn)檢索看，還未見(jiàn)相關(guān)研究報(bào)道。本文運(yùn)用多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法，研究考慮嚙合齒面的動(dòng)態(tài)接觸關(guān)系的圓弧齒錐齒輪接觸動(dòng)力學(xué)特性，為進(jìn)一步設(shè)計(jì)與制造出低振動(dòng)噪聲、高可靠性的螺旋錐齒輪提供理論參考。

1 圓弧齒的嚙合齒面離散建模方法

1.1 嚙合齒面的三角網(wǎng)格模型

UGS公司基于格里森制的弧齒錐齒輪的銑齒加工原理和著名的LITVIN方法［2］，開(kāi)發(fā)了弧齒錐齒輪三維建模模塊GearWizard，可有效地計(jì)算出嚙合齒面的離散三維空間坐標(biāo)點(diǎn)P。本文運(yùn)用GearWizard建立了圓弧齒錐齒輪的三維模型，在輪齒軸剖面上沿根錐的齒長(zhǎng)方向和齒高方向計(jì)算得到圓弧齒嚙合齒面的離散點(diǎn)P的三維空間坐標(biāo)數(shù)據(jù)，進(jìn)而建立齒面的三角網(wǎng)格模型，網(wǎng)格的疏密程度根據(jù)計(jì)算點(diǎn)的數(shù)目和精度選取。對(duì)逆向工程領(lǐng)域的單有序點(diǎn)列的海量散亂測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)，Liang［24］提出一種在兩列數(shù)據(jù)之間構(gòu)建三角網(wǎng)格近似描述曲面輪廓的方法，從而重構(gòu)出復(fù)雜自由的空間三維曲面。為了降低圓弧齒嚙合齒面的動(dòng)態(tài)接觸搜索規(guī)模，提高計(jì)算效率，本文運(yùn)用三角網(wǎng)格法［24］建立圓弧齒嚙合齒面的三角網(wǎng)格模型。由于嚙合齒面的三維離散點(diǎn)P在齒寬和齒高方向上均是規(guī)則的有序離散點(diǎn)，滿(mǎn)足三角網(wǎng)格法的規(guī)則有序點(diǎn)要求，無(wú)需對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行歸類(lèi)處理，可直接在兩路徑的離散點(diǎn)之間建立齒面的三角網(wǎng)格單元，進(jìn)而計(jì)算其法向矢量，如圖1。

圓弧齒齒面的三角網(wǎng)格法的具體算法步驟為:

Step1:確定基本路徑和目標(biāo)路徑。以嚙合齒面靠近錐齒輪小端的齒頂邊界為起始點(diǎn)wi=1，hi=1，對(duì)應(yīng)的齒寬路徑(wi=1，2，…，nw)為基本路徑，相鄰齒寬路徑為目標(biāo)路徑。

圖1 圓弧齒齒面的三角網(wǎng)格法Fig.1 The triangle mesh method for spiral bevel gear

Step2:搜索路徑間的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。計(jì)算連接線(xiàn)段數(shù)和附加線(xiàn)段數(shù)的公式為:

式中商n1=1為基本路徑上每點(diǎn)的連接線(xiàn)段，余數(shù)n2=nw－1為附加線(xiàn)段總數(shù)。

Step3:確定基本路徑上需要附加線(xiàn)段的離散點(diǎn)區(qū)域。在基本路徑上需要附加線(xiàn)段區(qū)域的起始點(diǎn)s和結(jié)束點(diǎn)e序號(hào)為:

嚙合齒面相鄰兩條齒寬路徑上的點(diǎn)數(shù)量相等時(shí)，則整數(shù)商n1=1表示在基本路徑上的離散點(diǎn)Pwi，hi用1條連接線(xiàn)段連接目標(biāo)路徑上的離散點(diǎn)Pwi，(hi+1)，余數(shù)n2=nw－1表示在基本路徑上的離散點(diǎn)從第1個(gè)點(diǎn)至第nw－1個(gè)點(diǎn)的每個(gè)點(diǎn)均用1條附加線(xiàn)段連接目標(biāo)路徑上的離散點(diǎn)，共有n2=nw－1條附加線(xiàn)段(如圖1)。

Step4:由Step1，2，3和嚙合齒面的有序離散點(diǎn)完成線(xiàn)段連接。

Step5:計(jì)算每個(gè)三角網(wǎng)格單元的單位法向矢量。嚙合齒面的三角網(wǎng)格法是為了研究圓弧齒嚙合齒面的動(dòng)態(tài)接觸關(guān)系，因此必須確定三角網(wǎng)格單元的法向矢量(向外)。

如 果 三 角 網(wǎng) 格 單 元 是 由Pwi，hi，Pwi，(hi+1)和P(wi+1)，(hi+1)構(gòu)成，由離散點(diǎn)構(gòu)成矢量為:

如 果 三 角 網(wǎng) 格 單 元 是 由Pwi，hi，P(wi+1)，hi和P(wi+1)，(hi+1)構(gòu)成，由離散點(diǎn)構(gòu)成矢量為:

由右手定則和矢量差乘可以計(jì)算出每個(gè)三角網(wǎng)格單元的外法向矢量為:

忽略圓弧齒錐齒輪的結(jié)構(gòu)彈性變形，考慮嚙合齒面的接觸彈性變形，在圓弧齒錐齒輪的中心體坐標(biāo)系下，嚙合齒面的三維坐標(biāo)離散點(diǎn)P的位置和方向是不變的，由此構(gòu)成嚙合齒面的三角網(wǎng)格單元的相對(duì)位置和方向也是不變的。因此，只需一次建立嚙合齒面的三角網(wǎng)格模型，就可以得到嚙合齒面的三角網(wǎng)格單元的位置、方向、頂點(diǎn)和法向矢量等計(jì)算數(shù)據(jù)，為建立考慮嚙合齒面動(dòng)態(tài)接觸關(guān)系的圓弧齒錐齒輪動(dòng)力學(xué)模型奠定了基礎(chǔ)。

圓弧齒錐齒輪的參數(shù)如表1所示，圓弧齒錐齒輪模型、嚙合齒面的空間離散點(diǎn)和三角網(wǎng)格模型如圖2所示。

表1 格里森制等距齒型的圓弧齒錐齒輪參數(shù)表Tab.1 The parameters of Gleason Spiral Bevel Gear

圖2 格里森制的圓弧齒錐齒輪模型Fig.2 The model of spiral bevel gears

1.2 嚙合齒面的接觸剛度

圓弧齒錐齒輪嚙合傳動(dòng)實(shí)質(zhì)上是圓弧齒嚙合齒面之間的動(dòng)態(tài)接觸的共軛嚙合傳動(dòng)，嚙合齒面的橢圓接觸面和接觸剛度滿(mǎn)足Hertz點(diǎn)接觸條件［2］。用計(jì)算圓弧齒的中點(diǎn)M處的平均Hertz接觸剛度參數(shù)近似描述圓弧齒的單對(duì)嚙合齒面的接觸剛度參數(shù)。錐齒輪的材料彈性模量為2.1E11 N/mm2，泊松比為0.3，則圓弧齒的單對(duì)嚙合齒面的接觸載荷和彈性變形之間的非線(xiàn)性關(guān)系為［23］:

式中Fgc為Hertz接觸力，δ為接觸彈性變形，Kc為接觸剛度參數(shù)，δ*是主曲率差F(ρ)的函數(shù)，ρ為嚙合齒面的主曲率參數(shù)［2］。

由式(7)可計(jì)算出圓弧齒錐齒輪在嚙合齒面中點(diǎn)處的接觸剛度參數(shù)為Kc=7.2E5 N/mm1.5。

2 圓弧齒錐齒輪嚙合接觸動(dòng)力學(xué)模型

2.1 嚙合齒面動(dòng)態(tài)接觸關(guān)系

基于嚙合齒面的三角網(wǎng)格模型，圓弧齒嚙合齒面的動(dòng)態(tài)接觸搜索算法的關(guān)鍵在于搜索嚙合齒面上的三角網(wǎng)格單元是否發(fā)生接觸。運(yùn)用包圍盒接觸技術(shù)［25］確定可能發(fā)生接觸的少量幾個(gè)嚙合齒面，實(shí)現(xiàn)圓弧齒嚙合接觸的全域搜索區(qū)域的縮減，以減小三角網(wǎng)格單元的接觸搜索規(guī)模。

圖3 圓弧齒的嚙合接觸模型Fig.3 The contact model of spiral bevel gears

圓弧齒i和j的嚙合齒面的包圍合坐標(biāo)系在絕對(duì)坐標(biāo)系下的位置矢量為:

嚙合齒面上的三角網(wǎng)格單元之間的相對(duì)位移矢量滿(mǎn)足如下關(guān)系:

對(duì)所有齒面均建立自定向下遞推的齒面包圍盒樹(shù)，頂層為第0級(jí)包圍盒，然后將將第0級(jí)的包圍盒分解為2個(gè)第2級(jí)的子包圍盒，以此遞推，最后使得底層包圍盒包含(或相交)少量的三角網(wǎng)格單元。編制嚙合齒面的動(dòng)態(tài)接觸搜索算法，從第0級(jí)頂層包圍盒開(kāi)始接觸搜索，如果搜索到包圍盒相交狀態(tài)，則計(jì)算程序?qū)⑦f推地繼續(xù)搜索第2級(jí)的子包圍盒相交狀態(tài);否則，數(shù)值算法將跳過(guò)第0級(jí)包圍盒和其下所有子包圍盒的后續(xù)搜索計(jì)算程序。本文忽略圓弧齒錐齒輪的結(jié)構(gòu)彈性變形，在圓弧齒錐齒輪的中心體坐標(biāo)系下，只需一次建立嚙合齒面的包圍盒即可實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)接觸搜索過(guò)程。

圖4 三角網(wǎng)格單元接觸關(guān)系Fig.4 The contact model of two triangle mesh

當(dāng)嚙合齒面接觸搜索到底層包圍盒相交時(shí)，動(dòng)態(tài)接觸搜索算法將計(jì)算少量三角網(wǎng)格單元之間的接觸狀態(tài)［25－26］，進(jìn)而計(jì)算動(dòng)態(tài)接觸力和力矩(如圖4)。

三角網(wǎng)格單元的局部矢量坐標(biāo)軸(d1，d2)為:

式中e″k是主動(dòng)錐齒輪輪齒i的嚙合齒面的三角網(wǎng)格單元si的頂點(diǎn)ek在包圍盒坐標(biāo)系下的位置矢量，k=1，2，3。為了確定式(10)的直線(xiàn)是否與三角網(wǎng)格單元si相交，則有:

當(dāng)三角網(wǎng)格單元si的質(zhì)心位于三角網(wǎng)格單元sj的投影內(nèi)時(shí)，式(10)的法線(xiàn)勢(shì)必與三角網(wǎng)格單元sj相交。當(dāng)嚙合齒面三角網(wǎng)格單元相交時(shí)，則有:

由圓弧齒的齒面離散點(diǎn)可以確定三角網(wǎng)格單元的常數(shù)法向量nsi和nsj，將相對(duì)位移矢量沿著三角網(wǎng)格單元sj的法向nsj投影可得相對(duì)滲透量(如圖4所示)。

當(dāng)嚙合齒面的三角網(wǎng)格單元之間發(fā)生接觸時(shí)，圓弧齒的嚙合齒面的動(dòng)態(tài)接觸力的一般形式為:

式中Fgc為動(dòng)態(tài)接觸力，δ為相對(duì)滲透量，step(…)為半正矢階梯函數(shù)，Kc為Hertz接觸剛度，δ為輪齒上接觸對(duì)間的法向滲透深度，δmax為接觸對(duì)間的接觸阻尼比cmax時(shí)的最大滲透深度。將式(17)中動(dòng)態(tài)接觸力Fgn在錐齒輪的體坐標(biāo)系中投影轉(zhuǎn)換為坐標(biāo)軸分量，可計(jì)算出力矩Mt。

2.2 圓弧齒錐齒輪動(dòng)力學(xué)方程

如圖2定義初始理論位置時(shí)兩齒輪軸線(xiàn)的交點(diǎn)為絕對(duì)坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，主動(dòng)輪1(小輪)的體坐標(biāo)系og1xg1yg1zg1方向與絕對(duì)坐標(biāo)系OXYZ相同，從動(dòng)齒輪2(大輪)的體坐標(biāo)系og2xg2yg2zg2的xg2、yg2、zg2方向分別與絕對(duì)坐標(biāo)系OXYZ的Z，X，Y方向相同。圓弧齒錐齒輪的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)定義為:

式中*表示主從動(dòng)齒輪1和2，ug*，vg*，wg*分別為主、從動(dòng)齒輪的平動(dòng)自由度，φg*，θg*，ψg*分別為主、從動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，即錐齒輪的體坐標(biāo)系在絕對(duì)坐標(biāo)系下的方向角。

剛性支承下圓弧齒錐齒輪僅有繞其體坐標(biāo)系的zg*軸的旋轉(zhuǎn)自由度ψg*，具體的約束方程為ug1=0，vg1=0，wg1=0，φg1=0，θg1=0，ψg1－ ωg1t=0，ug2=0，vg2=0，wg2=0，φg2=0，ψg2=0。因此錐齒輪動(dòng)力學(xué)方程為:

式中mg為圓弧齒錐齒輪的質(zhì)量和慣量矩陣，F(xiàn)g0和Fgc分別外力和嚙合接觸力列向量，Gg為重力列向量，，λg分別為雅可比矩陣和拉格朗日乘子列向量。Φ=［Φg1Φg2］T為約束方程列向量。

本文基于ADAMS多體動(dòng)力學(xué)仿真軟件，運(yùn)用HHT數(shù)值計(jì)算方法求解式(19)，編制自定義用戶(hù)程序和圓弧齒錐齒輪全齒面動(dòng)態(tài)接觸搜索程序，計(jì)算圓弧齒錐齒輪三維全齒面動(dòng)態(tài)接觸力學(xué)特性。

3 圓弧齒錐齒輪嚙合傳動(dòng)接觸動(dòng)力學(xué)分析

3.1 圓弧齒嚙合全齒面接觸動(dòng)力學(xué)特性

本文主要基于考慮圓弧齒的嚙合全齒面動(dòng)態(tài)接觸關(guān)系的弧齒錐齒輪三維空間動(dòng)力學(xué)模型，研究?jī)H有轉(zhuǎn)動(dòng)自由度下圓弧齒錐齒輪嚙合傳動(dòng)的全齒面接觸動(dòng)力學(xué)特性和響應(yīng)特性。主動(dòng)錐齒輪的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速為ng1==1 800 r/min，齒面的接觸剛度和阻尼參數(shù)為Kc=7.2E5 N/mm1.5，cmax=50 N·s/mm。

圖5 從動(dòng)錐齒輪的角速度和角加速度響應(yīng)結(jié)果Fig.5 The angular velocity and angular acceleration of driven gear

圖6 單對(duì)齒的齒面接觸力Fig.6 The contact force of one pair teeth’s surfaces

圖5為錐齒輪空轉(zhuǎn)時(shí)從動(dòng)錐齒輪的角速度和角加速度響應(yīng)結(jié)果。隨著主動(dòng)錐齒輪運(yùn)動(dòng)的傳遞，圓弧齒的嚙合齒面將產(chǎn)生法向Hertz接觸力和接觸彈性變形，在實(shí)際傳動(dòng)過(guò)程中，主動(dòng)錐齒輪的運(yùn)動(dòng)實(shí)質(zhì)上是由圓弧齒嚙合齒面的接觸動(dòng)力學(xué)關(guān)系傳遞給從動(dòng)錐齒輪。從動(dòng)錐齒輪在理論傳動(dòng)角速度1 550 r/min附近呈周期變化，波動(dòng)幅值相對(duì)誤差為－2% ～1.68%滿(mǎn)足傳動(dòng)設(shè)計(jì)要求，也說(shuō)明提出的動(dòng)力學(xué)模型能較好地模擬實(shí)際弧齒錐齒輪的傳動(dòng)特性。

圖6和圖7分別為錐齒輪空轉(zhuǎn)時(shí)單對(duì)圓弧齒的嚙合齒面的接觸力和力矩。當(dāng)圓弧齒的嚙合齒面發(fā)生接觸時(shí)，隨著齒面的接觸彈性變形的增加，齒面法向接觸力增加，從而形成驅(qū)動(dòng)力矩，迫使從動(dòng)錐齒輪的角速度逐漸增加。在嚙合齒面接觸彈性變形的恢復(fù)(回彈)過(guò)程中，齒面法向接觸力逐漸減小，從動(dòng)齒輪的角速度也會(huì)相應(yīng)減小，因此齒面法向接觸力呈拋物線(xiàn)規(guī)律的周期平滑變化。

圖7 單對(duì)齒的力矩Fig.7 The contact moment of one pair teeth’s surfaces

圖8 單對(duì)齒的齒面法向接觸力Fig.8 The contact force of one pair teeth’s surfaces

圖9 從動(dòng)錐齒輪的齒面齒背的法向接觸力Fig.9 The contact force of double surface contact of mesh teeth

齒面接觸彈性變形回彈過(guò)程中，空轉(zhuǎn)時(shí)沒(méi)有負(fù)載扭矩足以抑制齒面接觸彈性變形回彈時(shí)形成的反力矩，這將使嚙合齒面發(fā)生脫離嚙合的現(xiàn)象，從而引起嚙合圓弧齒的齒背發(fā)生接觸的現(xiàn)象(圖9)。

圖8為從動(dòng)錐齒輪受不同負(fù)載扭矩時(shí)單對(duì)圓弧齒嚙合齒面的法向接觸力。隨著從動(dòng)錐齒輪負(fù)載扭矩的增加，嚙合齒面的法向接觸力增加，齒背的接觸力減小圖9(b)。分析圖8可知，當(dāng)從動(dòng)錐齒輪負(fù)載扭矩足以抑制嚙合齒面的接觸彈性變形的回彈引起的反力矩時(shí)，在輪齒接觸彈性變形的回彈過(guò)程中，嚙合齒面將始終保持嚙合接觸，從而產(chǎn)生嚙合齒面的接觸彈性變形和接觸力，圓弧齒的齒背將不會(huì)發(fā)生嚙合接觸。隨著負(fù)載扭矩的增加，嚙合齒面的法向接觸力也相應(yīng)的增加。

3.2 嚙合圓弧齒雙側(cè)接觸分析

圖9分別為無(wú)負(fù)載扭矩和負(fù)載扭矩為100 N·m下單對(duì)齒的嚙合齒面的法向接觸力?？辙D(zhuǎn)時(shí)在嚙合傳動(dòng)過(guò)程中進(jìn)入嚙合區(qū)域的單對(duì)齒將發(fā)生三次齒面和三次齒背的嚙合接觸。從動(dòng)齒輪受100 N·m負(fù)載扭矩時(shí)在嚙合傳動(dòng)過(guò)程中進(jìn)入嚙合區(qū)域的單對(duì)圓弧齒發(fā)生四次齒面和三次齒背的嚙合接觸，而且每次發(fā)生接觸時(shí)齒面的法向接觸力大于齒背的。比較分析圖9(a)、(b)知，從動(dòng)錐齒輪受負(fù)載扭矩時(shí)單對(duì)圓弧齒齒面的嚙合接觸時(shí)間比空轉(zhuǎn)時(shí)明顯增加，而齒背的嚙合接觸時(shí)間則是明顯減少。

計(jì)算結(jié)果說(shuō)明單對(duì)圓弧齒是平滑進(jìn)入齒面嚙合及退出嚙合的，圓弧齒錐齒輪具有良好的傳動(dòng)平穩(wěn)性，而且為弧齒錐齒輪動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)提供了輪齒接觸強(qiáng)度校核與疲勞壽命預(yù)測(cè)的有效全齒面嚙合接觸的參考數(shù)據(jù)。

3.3 嚙合弧齒傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)特性

圖10為負(fù)載扭矩為1 000 N·m時(shí)在不同齒側(cè)側(cè)隙下相鄰8顆圓弧齒嚙合傳動(dòng)的法向接觸力。圓弧齒錐齒輪在嚙合傳動(dòng)過(guò)程中同時(shí)有4對(duì)圓弧齒發(fā)生嚙合齒面的動(dòng)態(tài)接觸，由此得到嚙合重合系數(shù)為4，與理論重合系數(shù)一致［2］，證實(shí)了考慮圓弧齒嚙合齒面動(dòng)態(tài)接觸關(guān)系的弧齒錐齒輪接觸動(dòng)力學(xué)模型是有效的。計(jì)算結(jié)果真實(shí)地表明了圓弧齒錐齒輪嚙合接觸的傳動(dòng)特點(diǎn)，揭示了圓弧齒錐齒輪的傳動(dòng)承載特性。

計(jì)算結(jié)果表明當(dāng)?shù)?顆輪齒完全退出嚙合接觸時(shí)，第5顆輪齒開(kāi)始進(jìn)入嚙合接觸區(qū)域發(fā)生嚙合齒面接觸，此時(shí)負(fù)載扭矩主要由嚙合接觸區(qū)內(nèi)的其余三顆輪齒承載(第2、3和4顆輪齒)，則這三顆輪齒的嚙合齒面法向接觸力達(dá)到極大值。此時(shí)其余三顆輪齒處于不同的嚙合位置，其法向接觸力的極大值也是不同的，而且按照先后進(jìn)入嚙合區(qū)域的順序逐漸減小。隨著主動(dòng)錐齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)?shù)?顆輪齒逐漸進(jìn)入嚙合接觸區(qū)域時(shí)其嚙合齒面法向接觸力逐漸增加，在此過(guò)程中第2顆輪齒也逐漸退出嚙合接觸區(qū)域，當(dāng)?shù)?和5顆輪齒的嚙合齒面的法向接觸力相等時(shí)，第3和4顆輪齒的嚙合齒面法向接觸力達(dá)到極小值。當(dāng)?shù)?顆輪齒完全退出嚙合接觸區(qū)域時(shí)，其余三顆輪齒(第3、4和5顆輪齒)的嚙合齒面法向接觸力又達(dá)到極大值，圓弧齒嚙合傳動(dòng)將如此反復(fù)。

圖10 側(cè)隙為0.05 mm下嚙合齒面的法向接觸力Fig.10 The contact force of multi-tooth meshing

圖11 主動(dòng)錐齒輪的運(yùn)動(dòng)約束反力Fig.11 The constraint force of driving gear

圖12 主動(dòng)錐齒輪的運(yùn)動(dòng)約束反力矩Fig.12 The constraint moment of driving gear

計(jì)算結(jié)果進(jìn)一步表明了在圓弧齒錐齒輪嚙合傳動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)有圓弧齒退出嚙合接觸時(shí)，受齒側(cè)側(cè)隙和負(fù)載扭矩等的影響，同時(shí)有圓弧齒進(jìn)入嚙合接觸，此時(shí)嚙合齒面的法向接觸力將達(dá)到極大值，隨著主動(dòng)錐齒輪的傳動(dòng)，之后也將出現(xiàn)極小值。由于計(jì)算實(shí)例中圓弧齒錐齒輪嚙合傳動(dòng)的重合系數(shù)為4，因此，每顆輪齒經(jīng)過(guò)整個(gè)嚙合接觸區(qū)域時(shí)，將會(huì)出現(xiàn)3次圓弧齒的嚙入嚙出交替變化，從而使每顆圓弧齒嚙合齒面的法向接觸力也出現(xiàn)3次極大值和極小值的交替變化規(guī)律。而且每顆圓弧齒在整個(gè)嚙合接觸區(qū)內(nèi)歷經(jīng)了從進(jìn)入嚙合接觸逐漸退出嚙合接觸的位置變化，同時(shí)嚙合齒面接觸位置是從錐齒輪的小端向大端逐漸移動(dòng)，從而使每顆輪齒進(jìn)入嚙合接觸區(qū)域后嚙合齒面法向接觸力的極值逐漸增大。

圖11和圖12分別為錐齒輪空轉(zhuǎn)時(shí)主動(dòng)錐齒輪的運(yùn)動(dòng)約束反力和反力矩。分析可知，由于圓弧齒錐齒輪在傳動(dòng)嚙合過(guò)程中齒面產(chǎn)生法向動(dòng)態(tài)嚙合力，從而得到沿徑向、切向和軸向的動(dòng)態(tài)嚙合力分量。主動(dòng)錐齒輪的約束反力和反力矩均是周期平滑變化的，計(jì)算結(jié)果表明了圓弧齒錐齒輪的嚙合傳動(dòng)特性具有較好的傳動(dòng)平穩(wěn)性。

圖13 從動(dòng)錐齒輪角速度與負(fù)載扭矩、側(cè)隙的關(guān)系Fig.13 The relationship between angular velocity，torque and backlash

圖13為不同負(fù)載扭矩和側(cè)隙對(duì)從動(dòng)錐齒輪角速度的影響。對(duì)比分析圖13(a)和(b)的不同負(fù)載扭矩下的計(jì)算結(jié)果可知，在空轉(zhuǎn)和較小負(fù)載扭矩條件下，從動(dòng)錐齒輪的角速度周期變化規(guī)律是相似的，此時(shí)角速度的波幅相對(duì)較大。在較大負(fù)載扭矩下圓弧齒并未發(fā)生齒背接觸，此時(shí)角速度波幅相對(duì)較小。圓弧齒錐齒輪的側(cè)隙對(duì)角速度幅值的影響較小，但對(duì)其變化規(guī)律有一定的影響。作者還發(fā)現(xiàn)在平穩(wěn)的速度和負(fù)載扭矩下側(cè)隙對(duì)單齒嚙合接觸時(shí)間、嚙合齒面法向接觸力的幅值和變化規(guī)律的影響較小，這為在工作狀態(tài)下沖擊速度和沖擊負(fù)載不明顯的機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)提供了參考。

4 結(jié)論

在螺旋錐齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究中，運(yùn)用考慮圓弧齒的嚙合全齒面三維動(dòng)態(tài)接觸關(guān)系的螺旋錐齒輪接觸動(dòng)力學(xué)模型，可以從系統(tǒng)層次上研究螺旋錐齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性。這對(duì)螺旋錐齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)與改進(jìn)、動(dòng)力學(xué)分析提供了理論指導(dǎo)和參考數(shù)據(jù)。

(1)建立了考慮圓弧齒的嚙合全齒面三維動(dòng)態(tài)接觸關(guān)系，轉(zhuǎn)速和負(fù)載等因素的螺旋錐齒輪三維空間動(dòng)力學(xué)模型，計(jì)算出圓弧齒的嚙合全齒面動(dòng)態(tài)接觸力學(xué)特性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，直接反應(yīng)出螺旋錐齒輪嚙合傳動(dòng)的接觸動(dòng)力學(xué)行為，為弧齒錐齒輪動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)提供了輪齒接觸強(qiáng)度校核和疲勞壽命預(yù)測(cè)的有效嚙合全齒面接觸載荷的參考數(shù)據(jù)。

(2)由于圓弧齒錐齒輪的嚙合重合系數(shù)比較大，而且每顆輪齒是逐漸進(jìn)入或退出嚙合接觸區(qū)域的，在忽略支承條件影響下，圓弧齒錐齒輪的嚙合傳動(dòng)過(guò)程是十分平穩(wěn)的，圓弧齒的嚙入嚙出并不會(huì)引起明顯的沖擊振動(dòng)響應(yīng)。計(jì)算結(jié)果證實(shí)了圓弧齒錐齒輪嚙合傳動(dòng)的這一本質(zhì)特性，較好地模擬了螺旋錐齒輪的嚙合傳動(dòng)特性。

(3)考慮圓弧齒的嚙合全齒面三維動(dòng)態(tài)接觸關(guān)系，更真實(shí)地模擬了螺旋錐齒輪嚙合傳動(dòng)特性，具有較高的計(jì)算效率和穩(wěn)定性。建立的圓弧齒錐齒輪接觸動(dòng)力學(xué)模型為考慮沖擊速度、沖擊載荷、等效彈性支承方法或滾動(dòng)軸承多體接觸動(dòng)力學(xué)特性等因素的螺旋錐齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究提供了理論基礎(chǔ)。

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