星載天線反射面?zhèn)鞲衅鞫嗄繕藘?yōu)化部署方案

李文博，王有懿，趙志剛，趙 陽

(哈爾濱工業(yè)大學 航天學院，哈爾濱 150001)

隨著航天事業(yè)的迅猛發(fā)展，作為衛(wèi)星重要有效載荷的星載天線呈指向高精度和大型化的發(fā)展趨勢［1］。其結(jié)構(gòu)尺寸大、剛度小、阻尼低、模態(tài)密集等特點，像安裝和制造誤差所引起的結(jié)構(gòu)局部化，衛(wèi)星大角度軌道機動、姿態(tài)調(diào)整和天線機構(gòu)的大范圍運動耦合作用都會使得反射面形狀變化，導致模態(tài)參數(shù)發(fā)生變化，進而造成天線系統(tǒng)指向精度的降低甚至失效［1－3］。而按照標準狀態(tài)設計的控制器由于模態(tài)參數(shù)發(fā)生變化已不能完成結(jié)構(gòu)振動的主動抑制［4］。因此，進行在軌運行狀態(tài)下星載天線反射面模態(tài)參數(shù)辨識及主動振動控制研究具有重要的工程意義。

為獲取星載天線反射面的高精度模態(tài)參數(shù)，亟待解決的關鍵技術就是傳感器數(shù)量和位置的優(yōu)化部署。針對該問題，以往學者在設計優(yōu)化準則和求解算法兩方面做了大量開拓性的工作:有效獨立法［5］、遺傳算法及其改進算法［6－9］、Guyan 縮聚方法［10］、逐步累積法和消去法［11］等優(yōu)化部署方法。但大多都基于單一優(yōu)化準則，而在實際工程應用中設計人員往往要兼顧多種優(yōu)化準則，而不是片面追求某單一準則在數(shù)學上的最優(yōu)。因此，為解決多目標優(yōu)化問題，文獻［12］采用歸一化處理方法將其轉(zhuǎn)化為單目標優(yōu)化問題，并采用自適應遺傳算法對單一權(quán)重組合下的優(yōu)化目標進行求解。但此方法未給出其他權(quán)重組合下的最優(yōu)解集合;文獻［13］采用基于小生境技術的Pareto遺傳算法進行多準則優(yōu)化求解，并給出了所有權(quán)重組合下的最優(yōu)解集，但需設置種群小生境半徑，人為主觀因素影響很大。

綜上所述，引入帶精英策略的非支配排序遺傳算法(NSGA－Ⅱ)，解決以星載天線反射面模態(tài)參數(shù)在軌辨識為應用背景的傳感器多目標優(yōu)化部署問題?？紤]到NSGA－Ⅱ算法僅適合于連續(xù)性優(yōu)化變量，存在收斂速度及多樣性保持等方面的不足，對該算法在編碼方式和遺傳算子設計兩方面進行改進。

1 問題的數(shù)學描述

多目標優(yōu)化部署問題的數(shù)學模型如下:

其中:X=(x1，x2，…，xn)T為n維決策變量空間;Fi(X)為目標函數(shù)，且相互之間是沖突的，即不存在X使得所有子目標函數(shù)同時取最小值;gi(x)為約束函數(shù)。

通過以上數(shù)學模型可知，多目標優(yōu)化問題的解不同于單目標優(yōu)化問題:其最優(yōu)解不是單一解，而是一個最優(yōu)解集，而該解集中的解無法進一步比較之間的優(yōu)劣性，稱該解集為Pareto最優(yōu)解集。由此引出以下數(shù)學定義［13］:

(1)Pareto最優(yōu)解:對于可行解x*∈X，當且僅當不存在另一個可行解x∈X使Fi(x)≤Fi(x*)，i=1，2，…，n成立，且至少存在一個i0，i0∈{i=1，2，…，n}，使不等式Fi0(x)≤Fi0(x*)嚴格成立，則稱x*為多目標優(yōu)化問題的一個Pareto最優(yōu)解。

(2)Pareto支配關系:對于變量p支配q(p?q)滿足以下兩個條件:①Fk(p)≤Fk(q)，k=1，2，…，n;②至少存在一個l∈{i=1，2，…，n}，使Fl(p)≤Fl(q)。

(3)Pareto最優(yōu)解前沿面:{X*}為給定多目標優(yōu)化問題的最優(yōu)解集，其前沿面定義如下式:

(4)Pareto非劣解集(非支配集):解集P中的個體x不被其他任何個體支配，則x為P中的非劣解;P中所有非劣解構(gòu)成的子集稱為非劣解集，其數(shù)學描述為:

2 優(yōu)化準則及算法設計

2.1 優(yōu)化準則設計

為滿足星載天線反射面在軌模態(tài)參數(shù)辨識的應用目的，要求傳感器的測量信息既具備較高的信噪比和能量，又有較高的可分辨性。但這兩個準則在實際應用中往往是相悖的，在保證測量信息正交性最大時所獲得的信號信噪比往往很低，必然對數(shù)據(jù)采集準確性造成很大影響;而在保證獲得高信噪比數(shù)據(jù)時，又很難保證獲得信息的正交性，會造成部分信息冗余而其余部分信息丟失。

理論上結(jié)構(gòu)各階模態(tài)向量是一組正交向量，但由于傳感器測量自由度遠小于結(jié)構(gòu)模型的自由度并且測量信號受到儀器精度和環(huán)境噪聲的影響，實際上測得的模態(tài)向量不能保證其正交性。因此，在選擇測點時有必要使測量的各模態(tài)向量保持較大的空間交角。用模態(tài)置信度矩陣(MAC)來評價模態(tài)空間交角:［8 －9，14］

采用MAC矩陣的非對角元素均方根最小作為目標函數(shù)，其數(shù)學表達式為:

式中，xi表示MAC矩陣的非對角線元素;n表示MAC矩陣的非對角線元素個數(shù)。

為保證測量信號具有較高的信噪比和能量，需將傳感器部署在具有較大變形能或模態(tài)位移的節(jié)點上。采用模態(tài)振型矩陣的格萊姆矩陣元素和來評價自由度位移的量級，以保證測量信息能量最大［12－13］:

2.2 優(yōu)化算法設計

(1)NSGA－II算法

針對以往傳感器多目標優(yōu)化問題研究中存在需要過多人為因素參與的情況，引入具有較高計算性能和較少人工經(jīng)驗參與的NSGA－II算法。NSGA－II算法是Deb［15］在Srinivas所提出的NSGA算法基礎上，對其存在的缺陷進行改進而得。其具體改進為:① 為克服NSGA運算復雜度高的缺陷，提出基于分級的快速非支配排序法，使其計算復雜度由O(MN3)降低為O(MN2)。其中，M為目標函數(shù)個數(shù);N為種群規(guī)模;②為克服優(yōu)秀解丟失的缺陷，引入精英策略自動將上一代的優(yōu)秀解保留至下一代，無需人為確定共享參數(shù);③為克服樣本早熟的缺陷，提出擁擠度和擁擠度比較算子。NSGA－II算法流程如圖1所示。

圖1 NSGA－II流程圖Fig.1 The flowchart of NSGA － II

從圖1中看出，NSGA－II的核心為基于擁擠度比較計算的非支配排序方法。其具體操作過程為:首先將父代種群和子代種群合并為一個新的種群;然后對新種群中的個體兩兩進行比較獲取其非劣解集;最后按照擁擠度比較算子以擁擠度距離降序的方式對非劣解集進行排序。

(2)NSGA－II算法改進

雖然NSGA－II在多目標優(yōu)化領域中得到了廣泛應用，但該算法要求優(yōu)化參數(shù)必須是連續(xù)性變量，而傳感器多目標優(yōu)化部署問題屬于典型的組合優(yōu)化問題其參數(shù)是離散型變量?；诖?，對該算法在編碼方式和遺傳算子設計兩方面進行改進，使之可用于離散型變量優(yōu)化求解。

考慮到星載天線反射面屬于典型的薄壁殼體結(jié)構(gòu)，在進行編碼方式選擇時采取假設條件:① 所有傳感器均部署在反射面有限元模型的節(jié)點上;② 每個節(jié)點只考慮x，y和z三個方向的位移自由度，不考慮x，y和z三個方向的轉(zhuǎn)角自由度。

編碼方式采用整數(shù)矩陣的形式，矩陣的行數(shù)代表可行解群的數(shù)量，即種群規(guī)模s;列數(shù)代表每個可行解的長度，即傳感器部署的個數(shù)l;每個元素必須是整數(shù)，代表所對應傳感器部署位置的編號?？紤]到程序編寫方便，傳感器編號順序與有限元模型x，y和z三個方向的模態(tài)振型保持一致。其編碼形式如表1所示。

由于NSGA－II所采用的 SBX(Simulated Binary Crossover)交叉算子編碼形式為二進制，且全局搜索性能相對較弱。采用具有更好全局搜索能力，并能保持種群多樣性的有序交叉算子，其具體形式為:首先確定交叉點的兩個位置;然后復制兩交叉點之間的元素到新個體;查看交換后的新個體中元素是否有重復，如果沒有重復則完成交叉操作;如果有重復，則將交叉點以外的元素按照與交叉點重復元素所對應位置的原個體進行替換，如圖 2所示。

圖2 有序交叉算子Fig.2 Ordered crossover

表1 傳感器部署位置編號Tab.1 The location number of deployed sensors

選擇算子采用適合離散型變量的二元錦標賽選擇算子，并在計算過程中采用精英保持策略;變異算子采用基本位變異，即隨機選取變異點位置，并將該位置參數(shù)用隨機生成數(shù)據(jù)代替生成新個體。如果新個體中沒有重復參數(shù)，則完成變異操作;如果有重復參數(shù)，將該變異點參數(shù)重新變異再次與其他參數(shù)進行比對直到?jīng)]有重復變量為止。

3 仿真算例

3.1 有限元模型

采用有限元軟件MSC.Patran建立如圖3所示的星載天線反射面有限元模型。其中，反射面曲線為雙曲拋物面，其表達式如式(7)所示;反射面直徑6 m，壁厚10 mm;材料密度 ρ=2 800 kg/m3，泊松比r=0.33，楊氏剪切模量G=70 GPa;本模型共有100個殼體單元，101個節(jié)點。

式中:f表示雙曲拋物面焦距，f=1.5。

圖3 星載天線反射面有限元模型Fig.3 The finite element model of satellite antenna reflector

對圖3所示模型進行模態(tài)分析，提取其x，y和z方向的模態(tài)振型向量，及前8階模態(tài)頻率，詳見表2。

表2 星載天線反射面有限元模型前8階模態(tài)頻率Tab.2 The first eight order modal frequency of finite element model for satellite antenna reflector

3.2 優(yōu)化方案

表3 四種優(yōu)化方案的優(yōu)化準則Tab.3 The fitness function of optimization criterions in four cases

為了對比單目標與多目標優(yōu)化的計算結(jié)果，設計了四種方案完成星載天線反射面?zhèn)鞲衅鞑渴饐栴}的優(yōu)化求解，詳見表3。其中，方案1、2屬于分別基于測量信息正交性最大和能量最大優(yōu)化準則的單目標優(yōu)化問題;方案3采用文獻［13］歸一化方法將方案1和2的多目標優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成單目標求解;方案4兼顧方案1、2的多目標優(yōu)化準則。

方案1，2和3均采用遺傳算法進行單目標優(yōu)化問題的求解，其相應參數(shù)設置為:種群規(guī)模s=200，最大遺傳代數(shù)G=350，傳感器個數(shù)l=20;方案4采用改進NSGA－II算法進行多目標優(yōu)化求解。

3.3 優(yōu)化結(jié)果

圖5為方案1－4所得傳感器優(yōu)化部署位置，從中可以看出，方案1所部署傳感器覆蓋信息全面、分布均勻，但有個別傳感器部署在模態(tài)位移能量較小(越靠近頂部位置模態(tài)位移越小)的節(jié)點上;方案2所部署傳感器集中在局部振型較大位置，這造成部分測量信息冗余而其余部分信息丟失，不能完全表現(xiàn)出結(jié)構(gòu)本身特征;方案3和4均保證測量信息具有較大正交性和較高能量，使得傳感器均部署在振型較大位置，且分布均勻、覆蓋信息完整。圖6和表4分別表示方案1－4所得優(yōu)化指標，從中可以看出:方案1的MAC矩陣非對角線元素均方根、最大值和格萊姆矩陣元素和這三項指標在四種優(yōu)化方案中均最小;方案2中三項指標均最大;而方案3和4居中。

由以上可知:方案3和4是方案1和2的折衷解，既保證測量信息具有較大正交性，又使測量信號可以獲取較高的模態(tài)位移能量，更加符合實際工程中兼顧多指標的設計要求。

由圖4可知，基于歸一化方法求解多目標優(yōu)化問題的方案3所得結(jié)果為某單一權(quán)重組合下的一個最優(yōu)解;基于NSGA－II算法的方案4所得結(jié)果為一個含有所有權(quán)重組合且分布均勻的Pareto最優(yōu)解集。因此，方案3采用歸一化方法求解多目標優(yōu)化問題所得結(jié)果是基于NSGA－II算法的方案4所得解集中的一個特例。從方案4所得Pareto最優(yōu)解集中提取一個最優(yōu)解與方案3優(yōu)化結(jié)果進行比較，由表4中可知:方案4的MAC矩陣非對角線元素均方根和最大值均小于方案3，而格萊姆矩陣元素則大于方案3。說明方案4的測量信息正交性和模態(tài)位移能量均優(yōu)于方案3。

圖4 方案4所得Pareto最優(yōu)解集前沿面Fig.4 The Pareto solution frontier in case 4

圖5 方案1－4所得傳感器部署位置Fig.5 The locations of deployed sensors in case 1，2，3 and 4

圖6 方案1－4所得MAC矩陣Fig.6 MAC matrix in case 1，2，3 and 4

表4 方案1－4傳感器部署位置和優(yōu)化指標Tab.4 The locations and evaluation indicators of deployed sensors in case 1，2，3 and 4

綜上所述，方案3和4較方案1和2更符合實際工程中天線反射面設計的多指標要求，避免了在數(shù)學上片面追求某單一指標最優(yōu)所存在的缺陷。方案4中所選一個結(jié)果的優(yōu)化指標較方案3的結(jié)果均更優(yōu)，且方案4能給出所有指標權(quán)重組合且分布均勻的最優(yōu)解集。為實際設計中擁有更多的選擇空間，并且保證優(yōu)化結(jié)果具有更高的靈活性與適應性。

4 結(jié)論

為實現(xiàn)星載天線反射面模態(tài)參數(shù)在軌高精度辨識，對傳感器多目標優(yōu)化部署問題進行深入研究，具體工作及結(jié)論如下:

(1)為實現(xiàn)模態(tài)參數(shù)在軌辨識的工程應用，設計了觀測信息正交性最大和能量最大的雙優(yōu)化準則。

(2)為提高計算性能，避免人為因素參與，引入NSGA－II算法。并對該算法在編碼和遺傳算子設計兩方面進行了改進，使之可用于離散型變量優(yōu)化求解，擴展了其應用范圍，且提高了此算法的全局搜索能力。

(3)對比文中所設計的四種優(yōu)化方案結(jié)果可得:應用改進NSGA－II算法的方案4所得結(jié)果，較其他三種方案在性能指標上更優(yōu)，且該方案更加符合實際工程要求。因此，基于改進NSGA－II算法的優(yōu)化方案可以很好地解決星載天線反射面?zhèn)鞲衅鞫嗄繕藘?yōu)化部署問題。

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