基于正演分析的模型參數(shù)修正

張石磊，陳少峰，王煥定，王 偉

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，150090哈爾濱;2哈爾濱工業(yè)大學(xué)交通科學(xué)與工程學(xué)院，150090哈爾濱)

為了保證交通干線的高效運行，對架設(shè)其上的大型橋梁進行模型修正繼而評定其安全性能是極其必要的.

基于正演分析的模型修正是建立包含真實結(jié)構(gòu)模型及其反應(yīng)的數(shù)據(jù)庫，把實測反應(yīng)與數(shù)據(jù)庫中各個模型對應(yīng)的反應(yīng)進行匹配，從中尋找真實結(jié)構(gòu)模型的過程［1-2］.若建立的數(shù)據(jù)庫是完備的，則此數(shù)據(jù)庫將包含待修正結(jié)構(gòu)所有可能的狀態(tài)，那么就一定包含結(jié)構(gòu)的真實模型;此時，通過匹配結(jié)構(gòu)反應(yīng)的方式，一定可以從此數(shù)據(jù)庫中找出結(jié)構(gòu)的真實模型.基于正演分析的模型修正的優(yōu)點和意義就在于它不需要求解反演識別方程，相應(yīng)的反演識別方程的約束優(yōu)化求解問題也就得以解決.已有一些利用正演模型修正思路與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合進行的研究.Cheng Jin［3］改進了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法來推導(dǎo)近似極限狀態(tài)函數(shù)和確定破壞概率，評估了一個懸索橋的數(shù)值模型.滕軍等［4］利用支持向量機修正了有限元模型.李端有等［5］利用改進的遺傳算法訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，識別了大壩的彈性模量等特性參數(shù).費慶國等［6］利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)識別了一個非線性梁模型，并進行了有限元模型修正.何浩祥等［7］利用遺傳算法優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值，修正了一個網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的彈性模量.Lu Yong等［8］研究了兩步模型修正法，利用頻率修正模型參數(shù).以上研究證實了基于正演分析的模型修正方法是可行的，但正演分析法亦有它的瓶頸.

假如有m個因素制約結(jié)構(gòu)的模型、每個因素有n種可能的水平，那么完備的數(shù)據(jù)庫將具有mn個模型［7，9］;此時正演方法需要計算 mn次以得到各種狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的反應(yīng)，進而為匹配響應(yīng)、尋找結(jié)構(gòu)的真實模型做準(zhǔn)備.當(dāng)因素和水平較多時，正演方法的計算工作量將是極其巨大的［10-13］.為了減少計算量，將均勻設(shè)計引入到基于正演的模型參數(shù)修正，構(gòu)建了基于均勻設(shè)計的正演方法.

基于均勻設(shè)計的正演方法的完備性和有效性已經(jīng)通過數(shù)值模擬的方式被驗證，并通過模糊層次分析法評定包括振型、頻率和位移等多種指標(biāo)對模型修正的影響［14］.本文的目的:探索在實際結(jié)構(gòu)實驗信息存在不確定、不完整等因素影響下，基于均勻設(shè)計的正演方法是否仍適用.

1 靜載試驗數(shù)據(jù)處理

為檢驗基于均勻設(shè)計的正演方法，設(shè)計一個鋼桁架靜載試驗.鋼制桁架3m×0.8 m×0.5 m，模型被安裝在一臺500 kN壓力實驗機上，見圖1.利用5個靈敏度為200 με/mm的數(shù)顯百分表測量模型單側(cè)下弦桿5個節(jié)點的豎向位移，位移測點編號為B1～B5.

在得到實驗數(shù)據(jù)后，根據(jù)“去偽存真”的思路，剔除測量數(shù)據(jù)中的隨機誤差，具體步驟:

1)確定數(shù)據(jù)的基準(zhǔn).按照結(jié)構(gòu)力學(xué)簡圖計算各個測點的位移，確定理論計算值與測量值之間的偏差，利用式(1)確定測量結(jié)果的基準(zhǔn).

式中:ub、ut和um分別是位移的計算基準(zhǔn)、理論計算值和實測值;λu是位移的基準(zhǔn)調(diào)整系數(shù).

圖1 鋼桁架加載示意

2)剔除隨機誤差.由于隨機誤差一般服從正態(tài)分布，誤差絕對值大于3σ的概率僅為0.3%［15］.因此，令μu和σu分別為位移的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，以［μu-3σu，μu+3σu］為取值范圍，剔除不合理數(shù)據(jù).

圖2繪制了B1測點的荷載-位移曲線，圖中實線為測量位移，點劃線為處理后的位移.可以看出，原始記錄本身就很好地滿足線性和穩(wěn)定性，處理后的數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)幾乎重合，表明“去偽存真”后的位移記錄是穩(wěn)定和可靠的.

圖2 B1測點位移數(shù)據(jù)處理結(jié)果

2 模型修正因素的確定

用于檢驗正演方法的鋼桁架的節(jié)點板和對應(yīng)桿件連接部位均開縫，然后用螺栓聯(lián)接.當(dāng)桿件受力時，由于縫隙的作用使得節(jié)點部位傳遞彎矩的能力下降，試圖近似模擬理想桁架的力學(xué)特性.同時，為了保證節(jié)點板和對應(yīng)桿件連接部位的開縫處不因較大受力而使縫隙張開，造成節(jié)點破壞，故在節(jié)點板與桿件連接部位施加輕微的角焊，具體構(gòu)造見圖3.

圖3 模型節(jié)點構(gòu)造

這種即開縫又加焊的節(jié)點，能夠傳遞軸力，同時也能夠傳遞一定的彎矩.以上構(gòu)造導(dǎo)致用桁架模型和剛架模型均不能有效模擬此鋼桁架.所以，將模型的節(jié)點剛度作為模型修正的主要因素.

2.1 變截面梁模擬節(jié)點力學(xué)性能

針對此模型節(jié)點的實際構(gòu)造，考慮用圖4的變截面梁單元來模擬節(jié)點力學(xué)性能.假設(shè):模型的節(jié)點域?qū)?yīng)變截面梁單元的起始段L1和終止段L3，“變截面梁單元”兩端變截面部位的剛度與“待修正的節(jié)點剛度”一致，“變截面梁單元”中間段為不變截面部分.

圖4 變截面梁單元

“變截面梁單元”的單元剛度方程:第i子單元的單元剛度可表示為

式中:a=EAi/li;b=12EIi/l3i;c= 6EIi/l2i;d=4EIi/li，(i=1，2，3).

因此上述變截面梁的總剛度方程為

利用端節(jié)點位移表示變截面內(nèi)部節(jié)點位移，并化簡可得變截面桿件無梁上荷載的單元剛度方程

式中:α，γ，κ分別為變截面部位與不變截面部位的軸向剛度比例系數(shù)、抗彎剛度比例系數(shù)和節(jié)點作用長度比例系數(shù).式(5)表示用變截面部位的剛度代替節(jié)點剛度，而變截面桿件的整個長度等于原來的節(jié)點域長度與實際桿件長度之和.

2.2 識別結(jié)果的區(qū)間估計

由于對實際結(jié)構(gòu)進行模型修正時，一般會采集多組數(shù)據(jù)，即使沒有噪聲的作用，各組數(shù)據(jù)之間也會存在隨機偏差.通常的處理方式是只取測量結(jié)果的均值作為模型修正的依據(jù)，但是只用均值是不能全面反映全部測量信息的，所以利用測量數(shù)據(jù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差求得實測結(jié)果具有95%置信概率的置信區(qū)間，然后在此置信區(qū)間內(nèi)隨機選取一定數(shù)量的樣本作為輸入，來訓(xùn)練Back-propagation(BP)網(wǎng)絡(luò)，并求取對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)輸出的置信區(qū)間作為識別結(jié)果，以此來提高模型修正的準(zhǔn)確度.

正態(tài)分布是現(xiàn)實世界中樣本分布的最一般形式之一，土木工程結(jié)構(gòu)的樣本信息多數(shù)服從或近似服從這一規(guī)律［15］.故假設(shè)此模型修正的實測結(jié)果近似服從正態(tài)分布.基于概率與數(shù)理統(tǒng)計，令、S、μ、n分別為試驗數(shù)據(jù)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、期望和總數(shù)，1-α為置信概率，則期望的置信區(qū)間為［16］

3 分步均勻設(shè)計方案修正模型參數(shù)

利用前述試驗獲得的數(shù)據(jù)，分別采用全因素、嵌套和分步3種均勻設(shè)計方案修正了此鋼桁架模型.

3.1 分步均勻設(shè)計方案的形成

全因素均勻設(shè)計方案:把模型所有桿件對應(yīng)的變截面系數(shù)均作為修正因素，建立一個大規(guī)模的均勻設(shè)計方案，非常細(xì)化地修正所有因素.其修正后的模型計算的反應(yīng)與實測結(jié)果吻合非常好，但暴露出的一個問題是修正后同類桿件之間的差別較大、與實際結(jié)構(gòu)不一致.分析產(chǎn)生這一問題的原因是均勻設(shè)計方案中各個因素是完全獨立的［17］、而實際結(jié)構(gòu)同類桿件之間的構(gòu)造是相似的.這導(dǎo)致所構(gòu)造的均勻設(shè)計方案中不包括接近真實情況的解，而反問題的解非唯一，通過全因素均勻設(shè)計方案得到了一個偽解.它的計算結(jié)果與實際情況非常吻合，但不是結(jié)構(gòu)的真實解.

嵌套均勻設(shè)計方案:首先，把所有構(gòu)件按照類型歸類，用小規(guī)模均勻設(shè)計表，簡要的構(gòu)建各類構(gòu)件、不同水平的整體均勻設(shè)計方案;然后，根據(jù)實際構(gòu)造，對同類桿件的同一水平的修正因素施加適當(dāng)?shù)募s束條件，使其在小范圍變化，構(gòu)建各個水平的細(xì)化方案;最后，把各個水平的細(xì)化方案嵌套在整體均勻設(shè)計方案之中，形成嵌套均勻設(shè)計方案.這樣做實際是把小規(guī)模的均勻設(shè)計方案嵌套在整體方案的各個水平之內(nèi)，實現(xiàn)與大規(guī)模均勻設(shè)計方案相同的作用，而約束條件將限制同類桿件相同因素之間的差異，使得修正結(jié)果趨于合理.計算結(jié)果顯示此方案比全因素均勻設(shè)計方案得到的結(jié)果更合理，但依舊存在同類桿件之間留有一定差異的現(xiàn)象.分析其原因為嵌套方案只約束了同一個水平的桿件特性，沒有約束各個水平間的差異.所以，導(dǎo)致結(jié)果依舊不完全合理.針對以上問題，最后采用了分步均勻設(shè)計方案.

分步均勻設(shè)計方案:根據(jù)結(jié)構(gòu)特點，確定影響結(jié)構(gòu)各因素的重要性依次為軸向剛度、抗彎剛度、節(jié)點作用范圍.把桿件按照類型歸類，用小規(guī)模均勻設(shè)計表分兩步修正模型.第一步利用位移作為人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入?yún)?shù)，主要修正各類桿件的軸向剛度、附帶修正其他次要因素;各參數(shù)的初始取值區(qū)間為α∈［0.8，1.2］、γ∈［0.8，1.2］、κ∈［0.18，0.22］.選取均勻設(shè)計表 U*29(296)的第1、3、4列安排均勻設(shè)計方案，此均勻設(shè)計方案的偏差為0.0914;然后利用U*4(44)交換各因素的排列位置，拓展均勻設(shè)計方案試驗次數(shù)為116.并建立了一個三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其輸入層神經(jīng)元數(shù)為5，隱含層神經(jīng)元數(shù)為11，輸出層神經(jīng)元數(shù)為3;利用含有動量項的最速下降算法訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值，訓(xùn)練目標(biāo)誤差為0.001，最大迭代次數(shù)為10000.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整個訓(xùn)練過程的均方誤差繪制于圖5中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在第271次迭代收斂.最后，利用式(6)確定實測位移的置信區(qū)間，并從中隨機抽取45組樣本，輸入訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，得到45組結(jié)構(gòu)參數(shù)的預(yù)測值，并取45組參數(shù)預(yù)測結(jié)果的平均值作為第一步模型修正的最終結(jié)果.第一步模型修正的最終結(jié)果是α=0.9074、γ=0.883 0、κ=0.194 1.

圖5 第一步模型修正訓(xùn)練誤差曲線

在第二步修正方案中，考慮修正因素之間的約束關(guān)系，令各類桿件的變截面比例系數(shù)在第一級修正基礎(chǔ)上做適當(dāng)變化，修正因素調(diào)整為第一級與第二級修正的變截面比例系數(shù)的比值c1～c12，其中

式中:α1，γ1，κ1分別表示第一級修正的抗壓剛度比例系數(shù)、抗彎剛度比例系數(shù)和節(jié)點作用域長度比例系數(shù)的修正結(jié)果，s表示桿件類型為上弦桿，c1～c3為上弦桿的前后兩次修正結(jié)果的比值.

根據(jù)結(jié)構(gòu)的實際構(gòu)造，確定修正因素的初始取值區(qū)間為 c1∈［1.0，1.2］、c2∈［1.0，1.2］、c3∈［0.9，1.1］，其他的9個比值c4～c12的意義和取值方法與c1～c3相似.同時，利用自制的均勻設(shè)計表U*24(2412)建立均勻設(shè)計方案，再次按照第一級修正中相同的方式修正各個因素.第二級模型修正中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的均方誤差繪制于圖6中，按照均勻設(shè)計方案訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在第5808次迭代時收斂.表1給出了第二步模型修正的結(jié)果.

表1 c1～c12的修正結(jié)果

圖6 第二步模型修正訓(xùn)練誤差曲線

3.2 模型修正結(jié)果

分布均勻設(shè)計方案的最終修正結(jié)果示于表2和表3.從修正結(jié)果看，上弦桿和下弦桿的變截面軸向剛度和抗彎剛度均大于1，表明弦桿的節(jié)點區(qū)域的剛度大于非節(jié)點區(qū)域;豎腹桿和斜腹桿的變截面軸向剛度和抗彎剛度均小于1，這與實際模型節(jié)點部位開縫的構(gòu)造相吻合;弦桿和腹桿的節(jié)點域長度系數(shù)為0.2～0.25，與實際模型節(jié)點的尺寸趨于一致.

表2 弦桿修正結(jié)果

表3 腹桿修正結(jié)果

為了驗證模型修正結(jié)果，計算了修正后模型跨中承受60 kN集中力時各個測點的撓度，與實測結(jié)果進行比較示于圖7(a).圖7(a)顯示修正后模型的計算結(jié)果明顯優(yōu)于修正前的，它更加接近真實值.為了進一步確定模型修正結(jié)果的正確性，又測量了模型在三分點對稱加載工況下的節(jié)點撓度，并再次比較修正前后的撓度，結(jié)果示于圖7(b).結(jié)果顯示:改變加載工況后修正結(jié)果和實測結(jié)果保持一致，即本次模型修正結(jié)果是可靠的.

3.3 基于均勻設(shè)計的正演方法向復(fù)雜結(jié)構(gòu)的推廣

實際需要修正的工程項目通常為大尺度的復(fù)雜空間結(jié)構(gòu).前述研究的對象是小型的桁架，它與復(fù)雜結(jié)構(gòu)之間的模型修正有區(qū)別.復(fù)雜結(jié)構(gòu)較之小型結(jié)構(gòu)模型修正之間的最大區(qū)別是待修正因素的種類更多和數(shù)量更龐大.當(dāng)待修正因素規(guī)模眾多時，第一個困難是建立大規(guī)模均勻設(shè)計方案.現(xiàn)有可以獲得的均勻設(shè)計表，可修正的因素的規(guī)模不超過50.筆者曾經(jīng)研制了大規(guī)模的均勻設(shè)計表及其使用表，并采用中心化L2偏差度量均勻設(shè)計的好壞.在第3節(jié)建立的全因素方案就是基于大規(guī)模均勻設(shè)計表制定的.但是大規(guī)模的均勻設(shè)計方案不一定能夠得到好的結(jié)果，因為均勻設(shè)計各個因素之間是獨立的、充分均勻分散的，而實際結(jié)構(gòu)的修正因素之間是有約束關(guān)系的，第3節(jié)的計算也證明了這一點.

圖7 修正前后撓度比較

復(fù)雜結(jié)構(gòu)的模型修正不單單是修正因素增加了，它需要修正的因素類型也擴大了.模型修正實際上包含修正兩大類因素:設(shè)計參數(shù)和剛度、阻尼、質(zhì)量矩陣中的元素.復(fù)雜結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型不準(zhǔn)確的原因:可能為設(shè)計參數(shù)不準(zhǔn)確;也可能為力學(xué)假設(shè)、簡化建模和邊界條件不清楚導(dǎo)致力學(xué)模型中的矩陣元素不正確造成的.在多數(shù)情況下，只修正設(shè)計參數(shù)或者只修正矩陣元素是不能達到模型修正要求的.把主因素分析、分步修正和優(yōu)選法［18］融入到基于均勻設(shè)計的正演分析法是一條可行的道路.假設(shè)大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的設(shè)計參數(shù)為p、剛度矩陣為K.ω和u為有限元模型的計算頻率和變形;和為結(jié)構(gòu)的測量頻率和實際變形.

式中:ai、bj、ct和 dr為待修正的因素;p0和 K0為初始的設(shè)計參數(shù)和剛度矩陣;pai和Kct是待修正因素發(fā)生單位變化時相應(yīng)的設(shè)計參數(shù)和剛度矩陣的敏感性矩陣;pbj和Kdr為前一步模型修正結(jié)果與后一步模型修正結(jié)果之間的差值矩陣.

1)首先，利用攝動法確定 ai、bj、ct和 dr的重要性順序，即確定主要因素.

具體計算方法是按照式(9)使以上因素發(fā)生攝動，求取頻率和變形的變化率，變化率大者為主因素.

2)按照上述求得的因素重要性次序，依次建立小規(guī)模的均勻設(shè)計方案.在因素的取值上，應(yīng)考慮結(jié)構(gòu)的實際構(gòu)造加以適當(dāng)?shù)募s束;同時因素的取值范圍應(yīng)盡量大以便覆蓋待修正因素的真實解;然后分多步修正各個因素.

3)在每一步模型修正中，在實測頻率和變形的置信區(qū)間內(nèi)，隨機抽取一定數(shù)量的樣本輸入訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，辨識多組結(jié)果，并求取它們的平均值作為本步的修正結(jié)果.

4)當(dāng)所有的因素均修正完畢之后，比較修正的精度是否滿足要求.如果不滿足要求，則重復(fù)1)～3)步驟，直至滿足精度為止.

5)當(dāng)復(fù)雜結(jié)構(gòu)需要修正的因素特別多的時候，應(yīng)該采用優(yōu)選法里固定次要因素，按照1)～4)的步驟只修正最主要的因素.當(dāng)?shù)谝恢饕蛩匦拚戤呏?，再修正第二主因素，逐個因素輪換修正，最終達到修正復(fù)雜結(jié)構(gòu)有限元模型的目的.

4 結(jié)語

當(dāng)合理地確定了模型修正因素和水平后，本文所提出的基于均勻設(shè)計的正演分析方法可以克服測量信息不確定、不完整等因素的影響，能夠修正模型參數(shù).即，在實際結(jié)構(gòu)的模型修正中應(yīng)考慮修正因素的相關(guān)性，采用分步均勻設(shè)計方案修正模型參數(shù).

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