構(gòu)成知識空間的現(xiàn)象及范疇的粒結(jié)構(gòu)模型

趙 健，劉 磊

(1.吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，130012長春;2.長春工程學(xué)院軟件學(xué)院，130012長春)

在知識工程中，知識被理解為以不同方式將概念、事件、過程關(guān)聯(lián)并組織起來的結(jié)構(gòu).知識是現(xiàn)實世界在人的意識中所形成的映像，人通過對知識的獲取和處理來認(rèn)識及分析現(xiàn)實世界，并解決其中的各種問題.基于對人類思維能力的不同理解，已經(jīng)建立了多種理論對意識在獲取知識及處理問題的方式上進行模擬，比如粒計算等［1］理論就將復(fù)雜的問題分解為不同粒度的簡單問題來求解.而為了對知識進行更有效的組織和處理，就要對知識進行合理的表示，首先要對知識的形成進行研究.

人們對知識的獲取主要來源于兩種情況:1)來源于感覺經(jīng)驗，即通過對現(xiàn)實世界中事物的觀察而獲得的印象;2)來源于人們對知識空間中的諸多知識對象的采納與融合，這里的知識空間是指所有承載知識的知識主體所共同構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)，而這個系統(tǒng)中所包含的知識對象是具有邊界和結(jié)構(gòu)的單元.本文中，無論是現(xiàn)實世界中的事物表象，還是知識空間中的知識對象，都被理解為由“現(xiàn)象”作為基本材料所構(gòu)成的，如自然界中可觀察的現(xiàn)象，或意識形態(tài)等現(xiàn)象.在第1種情況中，人對客觀世界中的現(xiàn)象進行觀察從而獲得整體的、連續(xù)的印象，比如對一支鉛筆的觀察而獲得的外形、材質(zhì)、顏色等整體印象.在第2種情況中，人對知識空間中大量的知識現(xiàn)象進行關(guān)聯(lián)，并進行排異處理，或吸附出諸多具有共性的特征，從而形成具有知識內(nèi)核及邊界的知識共同體.同時，由于整個知識空間并不是靜態(tài)的，而是動態(tài)的擴展并演化的，所以還要描述在時間進程中知識的狀態(tài).

本文首先將現(xiàn)象的變化理解為發(fā)生在某時間片斷內(nèi)，并基于FCA給出了時間片斷及時序的形式化表示.基于FCA［2-3］和RS［4-5］理論之間的同構(gòu)關(guān)系對現(xiàn)象的內(nèi)容進行形式化表示，并嵌入了時間要素，同時研究了現(xiàn)象之間的關(guān)聯(lián)性質(zhì)及關(guān)聯(lián)邏輯.

1 現(xiàn)象的形式化

根據(jù)哲學(xué)的認(rèn)識，本文將現(xiàn)象分為3種范疇:“概念范疇”、“直觀范疇”以及“關(guān)聯(lián)邏輯”.于是，知識的獲得就可以簡單描述為:人們將直觀的框架作用在客觀現(xiàn)象上，并通過使用該現(xiàn)象的概念范疇與其他概念范疇之間的關(guān)聯(lián)邏輯，進行概念層面上的融合或排異，從而形成知識對象.

1.1 粒結(jié)構(gòu)及現(xiàn)象中的概念范疇

根據(jù)粒計算的觀點，人類的智能具有全局分析能力，即處理不同粒度世界中問題的能力，可以在不同粒度下對客觀現(xiàn)象進行觀察和分析［6］.而“粒度”則指的是該現(xiàn)象中蘊含的所有內(nèi)容可根據(jù)不可分辨性或相似性在不同層次下組織起來.

定義1(粒結(jié)構(gòu))粒結(jié)構(gòu)用一個三元組(EG，ⅠG，R)來描述.這里EG和ⅠG是集合，EG和ⅠG相應(yīng)地被稱為粒外延和粒內(nèi)涵.二元關(guān)系R?EG×ⅠG稱為蘊含關(guān)系，表示粒結(jié)構(gòu)在特殊背景下的上下文關(guān)系.

粒結(jié)構(gòu)作為表示現(xiàn)象中3種范疇的基礎(chǔ)形式.在某特定背景下，粒外延表示在論域中被某粒結(jié)構(gòu)所涵蓋的元素;粒內(nèi)涵則表示粒結(jié)構(gòu)中元素所具有的屬性及其相似性等，而蘊含關(guān)系反映了粒外延與粒內(nèi)涵之間具有的特定關(guān)系.

首先構(gòu)造現(xiàn)象的概念范疇以作為最基本的知識表示，這種形式表示給定論域中對象的集合，這些對象通過不可辨關(guān)系聚合在一起，體現(xiàn)了粒內(nèi)對象彼此之間的相似性和一致性.本文將基于RS理論和FCA理論的同構(gòu)性來構(gòu)造概念范疇的粒結(jié)構(gòu).粗糙集理論通過不可辨關(guān)系來處理不完備和不充分的信息，可以將知識論域劃分為不同的等價類，即根據(jù)現(xiàn)象的不同屬性或特征將其分類，從而使其具有了顆粒性.同時，F(xiàn)CA中的標(biāo)尺理論能夠刻畫對象與屬性之間的精確關(guān)系.下面先給出這兩種理論的同構(gòu)關(guān)系.

命題1給定任意知識庫(U，A)，U為論域，A:={Bm｜m∈M}.已知S(U，A):=((U，A，W，Ⅰ)，(SB｜B∈A))，其中SB為額定標(biāo)尺，其導(dǎo)出背景(U，N，J)，令γ為背景(U，N，J)的對象概念映射，于是，如果(u，v)∈ⅠND(P)((u，v)∈U2，P?A)，則有γ(u)=γ(v).

證明設(shè)［v］P={v∈U｜uJ(m，n)?vJ(m，n)，P?A}.且v∈［u］P，往證［u］P=［v］P，(u，v∈U).

事實上，如果(u，v)∈ⅠND(P)，則對任意m∈P，有Ⅰ(u，m)=Ⅰ(v，m)=w，其中，w∈Wm，且有wⅠmn(n∈Mm)，由uJ(m，n)?vJ(m，n)，知v∈［v］P，即［u］P?［v］P.另外，如果v∈［v］P，由uJ(m，n)?vJ(m，n)可知必存在w1，w2∈m(U)，有Ⅰ(u，m)=w1且w1Ⅰmn?Ⅰ(v，m)=w2且w2Ⅰmn.于是w1=n?w2=n，w1=w2=n，Ⅰ(u，m)=Ⅰ(v，m).根據(jù)不可辨關(guān)系定義，有(u，v)∈ⅠND(P)，v∈［u］P，即［v］P?［u］P，于是有［u］P=［v］P.從而對?B∈P，有［u］B=［v］B.

于是可重新定義J，有［u］B=［v］B?B(u)J［v］B?uJ(B，［v］B).即S(U，A)的導(dǎo)出背景(U，N，J)可表示為(U，{(B，［u］B)｜B∈A，［u］B∈U/B}，J).同時可得，(u，v)∈ⅠND(B)?uJ(B，［v］B)?γ(u)=γ(v).證畢.

由命題1可知，給定知識庫(U，A)，則在標(biāo)尺算子作用下可產(chǎn)生多值背景，且多值背景的導(dǎo)出背景為:(U，{(B，［u］B)｜B∈A，［u］B∈U/B}，J).即知識庫(U，A)可通過形式概念多值背景的導(dǎo)出背景來表示，從而在形式上表征了兩種理論中基礎(chǔ)概念的一致性，同時也作為構(gòu)建粒結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ).基于該命題，給出概念范疇的形式化描述，稱之為概念元.

定義2(概念元及其粒結(jié)構(gòu))給定一知識庫(U，A)，概念元是一個四元組:χ:=(G，M，W，Ⅰ).其中，有M?A，G?U/M，W:={［u］B｜u∈G，B∈M}，且Ⅰ?G×M×W.概念元的粒結(jié)構(gòu)為其額定標(biāo)尺的導(dǎo)出背景:(G，{(B，［u］B)｜B∈M，［u］B∈U/B}，J).滿足:uJ(B，［v］B)?［u］B=［v］B.其中，?u，v∈U且u≠v.

1.2 現(xiàn)象的直觀范疇

為保證某現(xiàn)象單元的個體持續(xù)性及唯一性，必須闡明其狀態(tài)的定義以及其狀態(tài)的改變是發(fā)生在時間維度下的，比如，要確定一個新鮮的蘋果和腐爛的蘋果是同一個對象，需要在時間和狀態(tài)上給予重新確認(rèn).于是，本文認(rèn)為現(xiàn)象的直觀范疇即是由狀態(tài)片斷和時間片斷所共同構(gòu)成的.

首先考慮對時間的定義.在真實的世界中現(xiàn)象在時間中的變化是連續(xù)的，如生物的成長和衰敗過程，或太陽在時間的流逝中“平滑”地落到地平線以下，等等.

而在本文設(shè)定的語境下，即知識空間中，時間是離散的.知識對象由于環(huán)境的改變，隨著時間而從一個狀態(tài)躍遷到另一個狀態(tài)，所以說，知識的運動存在于一種“時間片斷”之中，而不是物理世界的均勻時間之中.為了將時間也納入到粒結(jié)構(gòu)中，首先將這種時間片斷形式化地定義為一個多值形式背景(如表1所示)，τ:=((GT，MT，WT，ⅠT)，(St｜t∈MT)).

表1 時間片斷的多值形式背景表示

在表1中，1、2、3分別為時間論域Gτ中的元素，代表了時間片斷，稱之為時間對象.Gτ為一個間隔內(nèi)所有時間點的集合，其元素可以使用序數(shù)表示，也可以使用如“1010914(代表2010年10月9日14時)”的字符串表示有含義的時間點.其他的時間屬性是對時間對象(年、月、日)的具體描述.該多值背景可以按不同粒度的需求使用多種標(biāo)尺(scale)，比如可以使用額定標(biāo)尺對時間的粒度性進行精確的表示，也可以使用其他標(biāo)尺(如順序標(biāo)尺)對時間進行模糊表示.

其次討論“狀態(tài)”的概念.在真實世界的系統(tǒng)中，對狀態(tài)的定義是多維度的.比如一個正在運動中的人的狀態(tài)可以在物理學(xué)、生物學(xué)或心理學(xué)等角度進行描述.如需要研究某物體的機械運動狀態(tài)，則將其理想化為一個質(zhì)點，其狀態(tài)可以簡單地用位置和動量來描述.而在充滿現(xiàn)象的知識空間中，某現(xiàn)象的“狀態(tài)”蘊含在某時間片斷下的概念范疇當(dāng)中，即需要給出現(xiàn)象的時間-狀態(tài)描述.

在某一時間點下，在討論“概念元的兩個狀態(tài)相同”的情況時，可將其理解為在兩個不同時間點的概念元具有的“狀態(tài)值”［7-8］相等.由于概念元是由FCA的多值背景描述的，所以概念元的值是由其標(biāo)尺Sm:=(Wm，Mm，Ⅰm)，(m∈Mχ)來表達的，即如果?m，n∈Wm是等值的，當(dāng)且僅當(dāng)m，n在Sm中具有相同的對象概念.于是，如果在兩個不同時間點g1，g2下概念元χ的兩個狀態(tài)是相同的，即相應(yīng)的對象概念的內(nèi)涵是相同的.所以概念元的狀態(tài)用對象概念的內(nèi)涵來表示.

定義3(時間-概念元的粒結(jié)構(gòu)及其狀態(tài))給定一知識庫(U，A)以及時間論域Gτ.給定概念元χ:=(Gχ，Mχ，Wχ，Ⅰχ).則定義時間-概念元為χ:=(G，Mχ，Wχ，Ⅰχ).其中G=Gχ×Gτ.則其粒結(jié)構(gòu)為導(dǎo)出背景:Kχ:=(G，{(B，［u］B)｜B?A，［u］B∈U/B}，J).對?g∈Gτ，并定義概念元χ的狀態(tài)為形式背景Kχ的對象概念γχ(g)的內(nèi)涵.

在定義3中，可將粒結(jié)構(gòu)賦予給時間，即一個時間“粒”是一個時間片斷(時間論域Gτ)，其中包含了若干時間點.本文將時間“織入”到概念元內(nèi)部，即G=Gχ×Gτ為時間-概念元的對象論域.而概念元的狀態(tài)用對象概念γχ(g)的內(nèi)涵來表示，即表示在某時間點下某對象所包含的不同類別屬性的集合.

2 現(xiàn)象的關(guān)聯(lián)邏輯

現(xiàn)象之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系是現(xiàn)象之間進行聚合，構(gòu)成更高級的組織，以及進一步構(gòu)成知識空間的基礎(chǔ).本文將現(xiàn)象之間的的關(guān)聯(lián)理解為現(xiàn)象中知識層面，即概念范疇(概念元)之間的關(guān)聯(lián).

2.1 現(xiàn)象概念范疇之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系

定義4(概念元關(guān)聯(lián))在知識庫(U，A)下，給出任意兩個概念元χ:=(G，M，W，Ⅰ)和χ':=(G'，M'，W'，Ⅰ').兩概念元的粒結(jié)構(gòu)為其相應(yīng)的額定標(biāo)尺導(dǎo)出背景，分別為(G，{(B，［u］B)｜B∈M，［u］B∈W}，J)以及(G'，{(B'，［v］B')｜B'∈M'，［v］B'∈W'}，J')，且有?C?M，?C'?M'.如果滿足以下條件:

稱兩概念元是關(guān)聯(lián)的.并將C(C')稱為概念元χ(χ')中的相關(guān)知識集.其中的元素稱為相關(guān)知識.

定義5在給定知識庫(U，A)下，給出任意兩個概念元χ:=(G，M，W，Ⅰ)和χ':=(G'，M'，W'，Ⅰ').兩概念元的相應(yīng)額定標(biāo)尺的導(dǎo)出背景分別為(G，{(B，［u］B)｜B∈M，［u］B∈W}，J)和(G'，{(B'，［v］B')｜B'∈M'，［v］B'∈W'}，J').如果在概念元χ、χ'分別存在相關(guān)知識集C、C'，則存在B∈C，若滿足:

則稱B為M中M'-可約知識，否則稱B為M中M'-不可約知識.同樣也可定義M'中M-可約知識.

定義6(知識核)如果對于任意兩個概念元χ:=(G，M，W，Ⅰ)和χ':=(G'，M'，W'，Ⅰ').B∈M(B'∈M')，B(B')既是不可約知識又是相關(guān)知識，則稱知識B(B')為核內(nèi)知識.所有關(guān)聯(lián)概念元的核內(nèi)知識組成一個集合，稱之為知識核，記為core(A).

知識核同時也作為具有關(guān)聯(lián)關(guān)系的現(xiàn)象所形成的更高級知識粒的邊界及特征標(biāo)識.

2.2 關(guān)聯(lián)邏輯

為了模擬人類對現(xiàn)象進行加工整理從而形成知識的過程，以及在某特定領(lǐng)域?qū)χR的推理，除了對現(xiàn)象的直觀范疇及概念范疇進行形式化表示，還要研究現(xiàn)象之間如何互相吸納整合而形成了粒狀的知識“塊”.以上所給出的關(guān)聯(lián)關(guān)系體現(xiàn)了現(xiàn)象之間所存在的“先天”關(guān)系，而要體現(xiàn)現(xiàn)象之間運動的本質(zhì)，就需要提供相應(yīng)的規(guī)則和邏輯，從而使各個現(xiàn)象有機的聯(lián)絡(luò)起來.

關(guān)聯(lián)邏輯表達了這樣的事實:“每個具有知識集A的現(xiàn)象，就一定具有知識集B”，或使用現(xiàn)象的概念范疇(概念元)來表述，“概念元χ中的元素u具有知識B，意味著概念元χ'中的元素v具有知識B'”.

在定義4中，條件2反映了在各自子論域下的兩個概念元的相關(guān)性取決于相關(guān)知識背景下論域中元素的相關(guān)性，為了不失一般性，將兩個子論域元素之間的相關(guān)關(guān)系記為RU:如果?u∈G，?v∈G'，滿足uRUv.在這里將G和G'的元素之間的相關(guān)關(guān)系RU用一個多值映射關(guān)系η來表示:η:G→2G'.即η(u)={v∈G'｜uRUv}.反之也成立.η(u)是G'中所有與u相關(guān)的元素的集合，η映射反映了在兩個概念元知識相關(guān)的前提下，G中的子集與G中元素相關(guān)的G'中的元素所組成的子集是相交(包含)的.

定義7給定知識庫(U，A)，其中兩概念元χ:=(G，M，W，Ⅰ)，χ':=(G'，M'，W'，Ⅰ')是關(guān)聯(lián)的，兩概念元的相應(yīng)粒結(jié)構(gòu)分別為(G，{(B，［u］B)｜B∈M，［u］B∈W}，J)和(G'，{(B'，［v］B')｜B'∈M'，［v］B'∈W'}，J').則有相關(guān)知識集C?M，C'?M'，一個關(guān)聯(lián)邏輯是由〈C，C'〉表示.如果滿足:(?B∈C)［uJB］?(?B'∈C')［η(u)J'B'］，則稱概念元χ中的元素u符合關(guān)聯(lián)邏輯〈C，C'〉.

例

1)如關(guān)聯(lián)邏輯〈{a，b}，a〉在任何情況下都成立，將這種關(guān)聯(lián)邏輯稱為平凡的.

2)有〈C，C'〉，則當(dāng)C″?C'就會產(chǎn)生〈C，C″〉，這種關(guān)聯(lián)邏輯是由其他關(guān)聯(lián)邏輯產(chǎn)生的.

3)設(shè)有指標(biāo)集N，對i∈N，如有〈Ci，C'i〉，則會產(chǎn)生，，稱之為并集邏輯.

定義8給定知識庫(U，A)，設(shè)M?A，M與關(guān)聯(lián)邏輯〈C，C'〉相關(guān)是指C?M或C'?M.設(shè)L是一個關(guān)聯(lián)邏輯的集合，如果M與L中每一個關(guān)聯(lián)邏輯都相關(guān)，則稱M與L相關(guān).如果每一個Mi都與〈C，C'〉相關(guān)，則稱〈C，C'〉在集合{M1，M2，…}中成立.如果〈C，C'〉在現(xiàn)象的狀態(tài)(概念對象內(nèi)涵)組成的集合中成立，則稱〈C，C'〉在知識庫(U，A)中成立.

定義9如果每個在知識庫(U，A)中成立的關(guān)聯(lián)邏輯都可以由(U，A)中某個關(guān)聯(lián)邏輯的集合Ⅰ產(chǎn)生，即與Ⅰ相關(guān)的每個M?A都是知識庫(U，A)中某概念元的一個概念對象內(nèi)涵，則稱Ⅰ是完備的.

為了說明Ⅰ的完備性，首先去除一些顯而易見的規(guī)則，如平凡的、由其他關(guān)聯(lián)邏輯所產(chǎn)生的，以及并集邏輯.為此，命題2中在(U，A)下構(gòu)造一個最小的相關(guān)知識集C'，使其包含在f(g(C))中但不包含在C中或C的真子集閉包中，同時證明基于這種構(gòu)造的Ⅰ的完備性.

命題2(關(guān)聯(lián)邏輯集合I的完備性)知識庫(U，A)中的某相關(guān)知識集C?A，令C'=,則規(guī)則集合Ⅰ:={〈C，C'〉｜C'≠?}是完備的.

證明令A(yù)'是A的有限子集，設(shè)A'與{〈C，C'〉｜C'≠?}中的每一個〈C，C'〉都相關(guān)，往證A'是內(nèi)涵，即f(g(A'))=A'.因為A'與{〈C，C'〉｜C'≠?}中的每一個〈C，C'〉都相關(guān)，當(dāng)C?A'時有C'?A'，即有∪{〈C，C'〉｜C'≠?}?A'，于是有∪{〈C，C'〉｜C'≠?∧C?A'}∪A'=C'.假設(shè)f(g(A'))≠A'，則顯然有A'?f(g(A'))，設(shè)a∈f(g(A'))，且a?A'，取滿足a∈f(g(C))，同時a?f(g(C″))(其中C″是C的任何真子集).因為a?A'，C?A'，所以a?C，有因為a?f(g(C″))，所以a?f(g(C-{c}))，于是有顯然a∈A'，即C'≠?.由于a是f(g(A'))-A'中的任一元素，又a∈C'，且C'≠?，于是∪{C'｜C'≠?∧C?A'}∪A'=A'=f(g(A'))，所以A'是內(nèi)涵，即每個與{〈C，C'〉｜C'≠?}相關(guān)的A的子集A'都是內(nèi)涵，由定義9可知{〈C，C'〉｜C'≠?}是完備的.證畢.

以上給出了現(xiàn)象及其范疇的形式化表示，由上述討論可知，現(xiàn)象的直觀范疇表現(xiàn)為時間-狀態(tài)，而其中狀態(tài)是由現(xiàn)象的概念范疇來體現(xiàn)的，即概念元中對象概念的內(nèi)涵.同時，關(guān)聯(lián)邏輯作用于對象概念的內(nèi)涵.于是，現(xiàn)象的這3種范疇被納入到了統(tǒng)一的粒結(jié)構(gòu)框架中.

3 結(jié)論

1)基于形式概念分析(FCA)與粗糙集構(gòu)造了概念元作為現(xiàn)象的概念范疇，即在FCA的多值背景下加入不可辨關(guān)系，使概念范疇具有處理不完備和不充分信息的能力，即可以根據(jù)現(xiàn)象的不同屬性或特征將其分類的能力.

2)在此基礎(chǔ)上加入了時間元素，將現(xiàn)象的直觀范疇描述為不同時間點下概念元中所蘊含的等價類的集合.

3)同時，將現(xiàn)象之間的關(guān)聯(lián)理解為其概念范疇的關(guān)聯(lián)，并給出了關(guān)聯(lián)的條件及規(guī)則，并證明了關(guān)聯(lián)邏輯集合Ⅰ的完備性.關(guān)聯(lián)邏輯可作為構(gòu)造相對現(xiàn)象更高級的知識粒結(jié)構(gòu)以及研究知識在時間中運動的基礎(chǔ).

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