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    非線性目標函數(shù)問題的求解策略

    2012-08-28 02:35:22湖南省衡陽縣職業(yè)中專數(shù)學組龍向東
    中學數(shù)學雜志 2012年9期
    關鍵詞:分式最值本題

    ☉湖南省衡陽縣職業(yè)中專數(shù)學組 龍向東

    線性規(guī)劃問題是不等式的一項重要應用之一,其考查目的是利用不等式的幾何意義求與不等式相關的最值問題.根據(jù)目標函數(shù)的不同可以分為線性目標函數(shù)及非線性目標函數(shù),以下介紹常見的非線性目標函數(shù)問題的求解策略.

    類型一、二元一次式

    解析:本題考查線性規(guī)劃及利用不等式求解最值問題,畫出圖形得到a、b間的等量關系式,然后用二次函數(shù)求解最值的策略求解.由題易知,畫出可行域(如圖1).目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值在點(4,6)處取得,所以有2a+3b=6.

    點評:本題給出的目標函數(shù)為二元一次結構式,求解時依托目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為12的條件,得到兩個變量關系,從而將目標函數(shù)轉化為二次函數(shù)形式,進而確定其最值.

    類型二、與區(qū)域面積相關問題

    點評:線性約束條件的最終形式是不等式組表示的平面區(qū)域,與可行域相關的面積問題也稱為考查的一個方向,解決此類問題是觀察所涉及區(qū)域的面積類型,探尋與面積相關的信息,得出直線方程的相關信息求解.

    類型三、分式型目標函數(shù)

    解析:本題考查利用線性規(guī)劃的知識解決最值問題,考查了學生等價轉化與數(shù)形結合的能力.先畫出不等式組表示的可行域,根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義,借助于圖形求解.

    因為點A(-3,-4),B(3,2),

    點評:本題利用分式的結構特點,將目標函數(shù)轉化為直線的斜率取值范圍問題求解,借助了數(shù)形結合的思想,這是求解一次分式型目標函數(shù)的常用技巧.

    類型四、與平面向量的交匯型

    解析:本題考查平面向量的數(shù)量積及線性規(guī)劃中的最值問題.畫出不等式表示的平面區(qū)域,由圖4可知,目標函數(shù)z=y-2x在的取值范圍是[0,6].

    點評:本題依托向量的數(shù)量積考查了線性規(guī)劃求最值的一個問題,向量數(shù)量積即體現(xiàn)了形的意識,又涉及了數(shù)量間的運算性質,該題中可利用數(shù)量積的坐標運算將向量最值轉化為比較熟悉的線性目標函數(shù)求解,體現(xiàn)了數(shù)與形的轉化思想.

    圖4

    從上述幾個問題可以看出,解決非線性目標函數(shù)類的線性規(guī)劃問題的關鍵是如何轉化線性目標函數(shù),將復雜問題轉化為熟悉的問題來解決,常用的技巧有數(shù)形結合、化歸與轉化、函數(shù)與方程等思想.

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