居高臨下 化繁為易：高中數(shù)學(xué)教學(xué)滲透高等數(shù)學(xué)的思想方法的探索

☉浙江省臺州金清中學(xué) 梁建遠(yuǎn)

一、問題的提出

高考《考試說明》指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科考試，要發(fā)揮數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用，既考查中學(xué)數(shù)學(xué)的知識和方法，又考查考生進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能.”以高等數(shù)學(xué)中著名定理、經(jīng)典的思想方法為背景，把中學(xué)數(shù)學(xué)的知識巧妙地用高等數(shù)學(xué)中的符號，形式加以敘述，成為當(dāng)前高考的一道亮麗的風(fēng)景線.這些試題拓展了知識領(lǐng)域，開闊了數(shù)學(xué)視野，考查了考生的學(xué)習(xí)潛能，有利于中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)和諧接軌.

首先，高中數(shù)學(xué)教學(xué)如果能夠讓學(xué)生掌握一些高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，則可以適應(yīng)數(shù)學(xué)發(fā)展和學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的需要，而高等數(shù)學(xué)的思想方法在開闊學(xué)生視野、指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)解題等方面的作用就尤為突出了.比如：連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間［a，b］上一定有最大值、最小值.用原有的高中數(shù)學(xué)知識在解決高次函數(shù)時，就會顯得捉襟見肘，力不從心，但是利用導(dǎo)數(shù)的知識和方法，就顯得得心應(yīng)手，從容不迫.再如，數(shù)集和點集（平面的和空間的）是集合的特例.在高一講述“集合”之后，在代數(shù)、立體幾何和其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)中，可以而且應(yīng)當(dāng)普遍使用集合符號，逐步使數(shù)學(xué)語言規(guī)范化.如立體幾何中，點在線上（A∈a）；線在面內(nèi)（a?α）；平面α與平面β相交與直線a即α∩β=a.

其次，對于高中數(shù)學(xué)中某些不易交待清楚的問題，要了解其在數(shù)學(xué)史上產(chǎn)生和解決的過程，弄清楚它們在高等數(shù)學(xué)里的背景.例如，為什么把“0”作為第一個自然數(shù)？自然數(shù)與有理數(shù)、實數(shù)相比較，孰多孰少？實數(shù)為什么可以和數(shù)軸一一對應(yīng)？這些對于中學(xué)生未必要搞清的問題，數(shù)學(xué)教師則必須弄清楚其中道理.這就要求我們利用數(shù)學(xué)史和高等數(shù)學(xué)知識，對這些問題予以說明.當(dāng)學(xué)生提出這些疑問時，能夠清楚地給以科學(xué)的回答.

再次，用高等數(shù)學(xué)思想方法，指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)問題的解決.例如，根據(jù)同構(gòu)觀點，利用“關(guān)系映射反演原則”對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行等價變換和求解.利用邏輯真假值表來檢驗命題證明過程的正確性.利用向量代數(shù)方法證明平面和立體幾何題.利用射影變換、仿射變換方法對某些幾何題尋求證明思路等.

最后，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該適當(dāng)?shù)貙Ω咧袛?shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接處進(jìn)行研究，用高等數(shù)學(xué)的思想方法指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是必要的.筆者對此進(jìn)行研究，以期拋磚引玉.

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)滲透高等數(shù)學(xué)思想方法舉隅

1.例析微積分方法的應(yīng)用.

微積分是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支.微積分是建立在實數(shù)、函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的.微積分它是一種數(shù)學(xué)思想，“無限細(xì)分”就是微分，“無限求和”就是積分.無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，它是用一種運(yùn)動的思想看待問題.比如，子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念.如果將整個數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分.我們可以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大（?。┲担蠛瘮?shù)在連續(xù)區(qū)間［a，b］上的最大（小）值，或利用求導(dǎo)法解決一些實際應(yīng)用問題是函數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)與延伸，這種解決問題的方法使復(fù)雜問題變得簡單化，因而已逐漸成為高考的又一熱點.

例1（2006年江蘇卷）請您設(shè)計一個帳篷.它下部的形狀是高為lm的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如圖1）.試問當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為多少時，帳篷的體積最大？

解：設(shè)OO1為xm，則1

當(dāng)10，即V（x）在（1，2）上為增函數(shù)；

當(dāng)2

從中可看出：帳篷的體積函數(shù)是一個二次函數(shù)，如果用除導(dǎo)數(shù)之外的其他方法，就會非常困難.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)這一工具，則顯得非常容易，還突破了分類討論的難點.當(dāng)然，我們還可以用微積分的方法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求曲邊圖形的面積，在數(shù)列求和中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù).再如求解變速直線運(yùn)動的位移是物理學(xué)上的一個難題，如果用純物理的方法就很難解決，但是我們用積分的方法，就簡單得多了.

2.例析極限思想方法的應(yīng)用.

新教材中“雙曲線的幾何性質(zhì)”學(xué)習(xí)，可以由學(xué)生自主動手探究：用幾何畫板畫雙曲線，在位于第一象限的曲線上畫一點M，測量點M的橫坐標(biāo)xM以及它到直線的距離d，沿曲線向右上角拖動點M，觀察xM與d的大小關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生通過操作，直觀感受，在右上角拖動點M時，xM（無限）增大，d逐漸減小，（無限）趨向于零.也即雙曲線在第一象限與直線隨著x的（無限）增大而無限接近，但永不M相交.仿照上面的作法，我們就可以得到雙曲線在其他三個象限與直線的接近情況.這樣雙曲線的圖像就更加規(guī)范、準(zhǔn)確并且迅速，同時為解題提供了方便，也使我們利用有限的圖形了解到無限.我們可以利用極限的方法求雙曲線的漸近線方程.

3.例析向量在函數(shù)、幾何上的應(yīng)用.

由于向量融數(shù)、形于一體，是溝通數(shù)與形的重要橋梁，因而向量在解析幾何中有著廣泛的應(yīng)用，為解決解析問題開辟了一條嶄新的途徑.向量法的優(yōu)點在于思路清晰、方法獨特.因此通常在向量與解析幾何知識的交匯處設(shè)計試題，已逐漸形成的高考命題的一個新的亮點，平面向量與解析幾何的結(jié)合通常涉及到兩直線夾角、平行、垂直等問題的處理，目標(biāo)是將幾何問題坐標(biāo)化、符號化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算.

同樣，用向量知識解證立體幾何問題，常常比用幾何法簡便，其優(yōu)點在于向量可以使立體幾何問題代數(shù)化，簡單的代數(shù)運(yùn)算取代了復(fù)雜的幾何證明，解題的方向明確，可避免作輔助線及運(yùn)用繁重的定理、公理等進(jìn)行推理的思維過程，在立體幾何中求空間面，空間距離及處理垂直面關(guān)系顯得尤為方便.利用向量法解證立體幾何問題的基本思想方法是：將有關(guān)的線段與相應(yīng)的向量相聯(lián)系起來，并用已知量表示未知量，再通過向量的運(yùn)算進(jìn)行計算或證明，從而達(dá)到解決問題的目的.

三、用高等數(shù)學(xué)的思想方法指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注意的問題

1.教師要不斷提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

教師要不斷加強(qiáng)對數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)方法論的學(xué)習(xí)與研究，積極參與數(shù)學(xué)的教改探索與實踐，提高學(xué)術(shù)水平、教學(xué)水平和數(shù)學(xué)方法論的素養(yǎng).比如我們以“中值定理”為背景研究中學(xué)數(shù)學(xué)中的不等式

分析：（本題的證法較多，這里主談的是如何利用導(dǎo)數(shù)來證明）教材用運(yùn)動變化的觀點將曲線C的割線PQ的極限位置所在的直線定義為C在點P（x0，f（x0））處的切線.由這個定義出發(fā)，我們可以發(fā)現(xiàn)，若函數(shù)y=f（x）在其定義域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)，則其圖像上任意兩點P（x1，y1），Q（x2，y2）連線的斜率取值范圍，就是曲線上任一點切線的斜率（如果存在）的范圍，利用這個結(jié)論，解決上述問題.

我們從這個例題中可以看出以高等數(shù)學(xué)知識為背景，利用中學(xué)數(shù)學(xué)知識解決問題.所以，如果我們能利用高等數(shù)學(xué)的知識背景思考就不難發(fā)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)知識內(nèi)容，試題的選編可以從高等數(shù)學(xué)中找到影子.

2.教師要抓準(zhǔn)知識與思想方法的結(jié)合點.

課中要深入鉆研教材和參閱有關(guān)參考材料，要善于從具體的數(shù)學(xué)知識中挖掘和提煉出數(shù)學(xué)思想方法，要預(yù)先把全書，每單元章節(jié)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法及它們之間的聯(lián)系搞明確具體，然后統(tǒng)籌安排，有目的、有計劃和有要求地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).

3.根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的類型和特點，探索高等數(shù)學(xué)思想方法滲透教學(xué)的途徑.

數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、內(nèi)涵和發(fā)展之中，故一般都可采用以分析解決問題為主線的啟發(fā)式和發(fā)展式的教學(xué)方法，具體來說，要注意引導(dǎo)學(xué)生抓住：⑴展示或分析過程，如概念的形成過程、定理與法則的發(fā)現(xiàn)過程、公式的推導(dǎo)過程、證明思路和解決問題方法的探索過程等；⑵揭示本質(zhì)，指揭示概念、定理、公式或方法的本質(zhì).例如極限方法實質(zhì)是一種以運(yùn)動的、相互聯(lián)系和量變引起質(zhì)變的辯證觀點去分析和解決問題的數(shù)學(xué)方法；⑶找關(guān)聯(lián)，指要搞清相近概念和定理之間的聯(lián)系與區(qū)別；⑷評論與提出問題，指通過對重要的概念、定理或解法等進(jìn)行一分為二的評論，從而提出有待進(jìn)一步研究的新問題.比如在展現(xiàn)概念等知識發(fā)生過程中要滲透數(shù)學(xué)思想方法，在講解定理、公式證明或推導(dǎo)思維教學(xué)活動過程中要揭示數(shù)學(xué)思想方法，而在應(yīng)用和問題解決的探索過程中則要激活數(shù)學(xué)思想方法.此外，要充分用數(shù)學(xué)思想這個銳利的武器去突出講透重點、突破化解難點、分清疑點和提出改進(jìn)局限點.

4.認(rèn)真上好緒論課和復(fù)習(xí)小結(jié)課.

緒論課和復(fù)習(xí)小結(jié)課是進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的良好陣地，比如緒論課一般都要講述知識產(chǎn)生的背景，發(fā)展簡史，研究對象、基本和主要的問題、研究的思想方法和與其它各章知識的聯(lián)系等.據(jù)此，教師可抓準(zhǔn)時機(jī)在緒論中直接簡介有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，而在復(fù)習(xí)課中則可順勢總結(jié)概括本章用到的數(shù)學(xué)思想方法.故教師應(yīng)充分備好和講好各章的緒論與復(fù)習(xí)課.掌握數(shù)學(xué)思想方法必須有一個反復(fù)認(rèn)識、訓(xùn)練和運(yùn)用過程.為此，在每章節(jié)的課外練習(xí)以及期中與期末考試中都應(yīng)有一定數(shù)量的數(shù)學(xué)思想方法題目.此外，還要指導(dǎo)學(xué)生做好各章或單元的小結(jié)，閱讀有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的參考書或舉辦專題報告會.

總之，高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，是常量數(shù)學(xué)和變量數(shù)學(xué)的初步知識，是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是高等數(shù)學(xué)中許多概念和理論的原型和特例所在.因此，用高等數(shù)學(xué)的思想方法指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，就要把高等數(shù)學(xué)中的某些概念和理論與高中數(shù)學(xué)里相應(yīng)的原型和特例聯(lián)系起來.這樣不僅能夠加深對高等數(shù)學(xué)的理解，而且能使我們準(zhǔn)確把握高中數(shù)學(xué)的本質(zhì)和關(guān)鍵，從而高屋建瓴地處理數(shù)學(xué)教材，化繁為易，提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平，拓寬學(xué)生的解題思路，切實提高學(xué)生的解題能力.

1.劉宏武.新課程的教學(xué)方法選擇.浙江大學(xué)出版社，2001.

3.胡炳生，吳俊.現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點下的中學(xué)數(shù)學(xué).中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2007（7）.