運用winplot軟件輔助含參函數(shù)教學(xué)的案例解析

☉湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 朱 慧

含參函數(shù)問題一直是高中教學(xué)中的難點，它融合數(shù)學(xué)知識以及多種數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合、化歸、分類討論等，同時能很好地培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，因此備受命題專家、教師的青睞.然而對于學(xué)生而言，遇到含參函數(shù)就發(fā)懵，所以如何提高含參函數(shù)問題的解題能力一直是學(xué)生和老師所密切關(guān)注的事情.筆者經(jīng)過嘗試，覺得適當(dāng)運用winplot輔助教學(xué)，可以幫助學(xué)生直觀地理解知識、建構(gòu)知識，提高解題能力.下面筆者主要結(jié)合自由軟件winplot的操作對含參函數(shù)的相關(guān)問題進行討論分析，與同仁們分享.

一、交點問題——觀察分析

例1 （改編于2011年陜西文科6）方程lgx=cosx在（-∞，+∞）內(nèi)有_____個根？

分析 這是典型的數(shù)形結(jié)合的題目，一般只要畫出圖形就能解決.求根的個數(shù)實際上是求y=lgx與y=cosx的交點的個數(shù).因為－1≤cosx≤1，lg1=0，而1rad≈57o，產(chǎn)生交點需lgx>0，所以交點只可能在（0，10）內(nèi)，畫出圖形即可知為3個根.

但是如果將題目換種表述，例如：“要使lgx=cosax在（-∞，+∞）內(nèi)有3個根（或者5個等等），則整數(shù)a為多少（或者求實數(shù)a的取值范圍）？”很多學(xué)生卻很盲目.顯然學(xué)生沒有掌握系數(shù)a與方程根個數(shù)之間的聯(lián)系.現(xiàn)在讓我們利用winplot的操作來對這方面問題進行探討.

具體操作如下：

步驟1：作（含參）函數(shù)圖像.單擊【window】/【2-dim】，在“noname 1”菜單欄中單擊【Equa】/【1.Explicit】，在“y=f（x）”圖形對話框輸入“l(fā)og（10，x）”，點擊【lockinterval】填入lowx=0，highx=10，鎖定區(qū)間為（0，10）.點擊【ok】即可得到函數(shù)y=lgx的圖像.同理，輸入“cos（ax）”即得到含參函數(shù)y=cosax的圖像.（此時圖像為一直線，因為軟件默認參數(shù)初始值為0）

步驟2：改變參數(shù)值.在“noname1”菜單欄中單擊【Anim】/【Parameter A-W】得到“currentvalue of A”對話框，選擇參數(shù)a（代表參數(shù)的字母是不分大小寫的），按橫拉條左右拉動.如圖1使得y=cosax隨參數(shù)變化的動態(tài)圖像直接呈現(xiàn)在學(xué)生面前，抽出繁瑣的畫圖時間，讓學(xué)生可以充分地內(nèi)化思考.

圖1

不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a增大時，y=cosax越來越密，與y=lgx的交點的個數(shù)越來越多.因此引導(dǎo)學(xué)生觀察后猜想，交點的個數(shù)與y=cosax有怎樣的聯(lián)系.結(jié)合a的意義，不難發(fā)現(xiàn)實際上交點個數(shù)是與y=cosax的周期緊密聯(lián)系，一個周期內(nèi)如果有交點，最多有兩個.因此要使方程有三個根，則，即可求出整數(shù)a.

將winplot軟件用于數(shù)學(xué)課堂習(xí)題教學(xué)中，可以快速生動地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)圖形，方便教師的教學(xué)，同樣，學(xué)生通過直觀的圖形更能很好地理解題目，積極地思考.

例2 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c和一次函數(shù)若它們的圖像對于任意的實數(shù)k都只有一個公共點，則二次函數(shù)的解析式為______.

分析 由于二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像只有一個公共點，則可以聯(lián)立方程知Δ=0.

由于方程（1）對任意的實數(shù)k都成立，即a=1，b=－2，c=1，y=x2－2x+1.

這道題雖然做完了，但筆者仍感覺不可思議（相信很多學(xué)生都會有這種疑惑）：“為什么會出現(xiàn)這種情況：給定拋物線解析式，居然存在一個含參量一次函數(shù)，不管參數(shù)如何變化，它們都有且只有一個交點.”自由軟件winplot可以幫我們揭曉秘密，具體操作同例1.

圖2

因此在教學(xué)時可以適當(dāng)根據(jù)以上內(nèi)容組織教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察，分析，進而聯(lián)系所學(xué)知識，猜想驗證，對題目知其所以然，并適當(dāng)?shù)乜偨Y(jié)，反思，學(xué)會舉一反三.

二、單調(diào)性問題——猜想驗證

分析 這類函數(shù)叫“對勾函數(shù)”，此題是人教版高中必修1教科書中第35面例5（3）題的引申.我們知道當(dāng)a=1時，即在定義域內(nèi)是奇函數(shù)，那么它的單調(diào)性如何呢？若a≠1時，它的奇偶性、單調(diào)性又如何呢？這是教師經(jīng)常在課堂上拓展的.奇偶性很容易判別，這里不贅述.要想探索出單調(diào)性，就必須討論參量a的情況.而參量a的臨界值有哪些？很難找出，于是很多老師在這里只把對勾函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)做結(jié)論直接灌輸?shù)綄W(xué)生頭腦中，可想而知，學(xué)生沒有經(jīng)歷體驗數(shù)學(xué)事實的過程，以至于到后來總把對勾函數(shù)與雙曲線混為一談.這里筆者借助winplot將探究過程一一展現(xiàn).

步驟1：作含參函數(shù)圖像.參看例1步驟1.

步驟2：在“noname1”菜單欄中單擊【Anim】/【Parameter AW】，在得到的“currentvalue of a”對話框中選出參數(shù)a，點中橫拉條使其a=1（即a=1），即得到的圖像.

（1）作定點.單擊【Equa】/【Point】/【（x，y）】，在彈出的對話框中輸入x=“sqrt（a）”，y=“2sqrt（a）”，單擊【solid】/【ok】，在“naname1”中出現(xiàn)點（

圖3

（2） 作函數(shù)圖像上的動點.在“noname1”菜單欄中單擊【One】/【slider】在彈出的對話框中選中【makepoint】，會看到圖像中多了一個十字形（即動點）.拖動橫拉條，則十字形即動點在圖形上滑動，并且“slider”對話框中也會出現(xiàn)動點的坐標(biāo)值.如圖3.

（3）作直線.單擊【Equa】/【Line…】，在彈出的對話框中依次輸入1，-1，0，即可得到直線x-y=0.

在不斷拖動“slider”對話框的橫拉條時，觀察x和y的坐標(biāo)值，可以判斷當(dāng)a=1時，的極值點.那么當(dāng)a≠1時，又會是怎樣的呢？

小米通過互聯(lián)網(wǎng)實現(xiàn)了在線直銷產(chǎn)品，完全依托小米網(wǎng)站，舍棄了傳統(tǒng)手機銷售依靠線下出售的方式，這樣的最大好處就是去掉了層層代理環(huán)節(jié)，省下了大量銷售費用，既降低了小米手機的成本，同時又支撐起了小米采取的低價格、高性價比策略。

仿照例1中的步驟2，拖動橫拉條改變參數(shù)a的值，將圖像的變化演示出來.讓學(xué)生們觀察，并猜想當(dāng)參量a變化時，函數(shù)的圖像性質(zhì)如何？并且，教師可以根據(jù)學(xué)生的猜想有選擇的驗證，最終得出理想結(jié)論.例如當(dāng)a<0時，圖像為上圖4（3），可知，在每個區(qū)間里都是增函數(shù)；當(dāng)a=0時，圖像為一直線；當(dāng)a>0時，圖像為對勾型.當(dāng)然有條件的可以嘗試讓學(xué)生證明.

例4若函數(shù)f（x）=a|x-b|+2在［0，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a，b取值范圍.

分析 這是絕對值問題，初看一眼覺得無從下筆.仔細分析，要求a，b取值范圍，只告訴我們函數(shù)在［0，+∞）上為增函數(shù)，因此，必須弄清a，b對函數(shù)的影響.

步驟1：作含參函數(shù)圖像.參看例1步驟1.

步驟2：改變參數(shù)值.在“noname1”菜單欄中單擊【Anim】/【Parameter A-W】得到“currentvalue of A”對話框，選出參數(shù)a，任意確定一非零值.選出參數(shù)b，拖動橫拉條，觀察圖像隨b的變化情況.如圖5.同樣選出參數(shù)b，任意確定一非零值.選出參數(shù)a，拖動橫拉條，觀察圖像隨a的變化情況.如圖6.

不難發(fā)現(xiàn)：b正是函數(shù)圖像的彎折點，水平變化；a是函數(shù)的開口方向，a>0時，開口向上，a<0時，開口向下，當(dāng)a=0時，函數(shù)為一條直線.所以很快就可以得出a>0，b≤0.

圖6

運用winplot繪圖軟件來輔助教學(xué)，將生澀的知識活靈活現(xiàn)地呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生通過觀察、歸納、猜想、證明，形成自己的數(shù)學(xué)認知體系.

三、變換——對比歸納

例5 （必修4第1.5節(jié)）探索A、ω、φ對y=Asin（ωx+φ）的圖像的影響.

分析 多變量變化，我們采用控制變量法.要探究A、ω、φ對y=Asin（ωx+φ）的圖像的影響，就必須通過圖形的對比分析，歸納總結(jié)出規(guī)律.這里我們只談?wù)揂對y=Asin（ωx+φ）的影響.具體操作如下：

步驟1：作含參函數(shù)圖像.參看例1步驟1作出函數(shù)y=asin（bx+c）的圖像.

步驟2：探究a對函數(shù)圖像的影響.只需任意確定b與c的值，變化a的值來觀察圖像的變化情況.在“noname1”菜單欄中單擊【Anim】/【Parameter A-W】，在得到的“currentvalue of a”對話框中選出參數(shù)b，拖動橫拉條使其b=1（即b=1）；再選出參數(shù)c，拖動橫拉條使其c=0（即c=0），再選出參數(shù)a，左右拖動橫拉條，讓學(xué)生觀察并總結(jié)圖像隨著a的變化而變化的特征（紅色為y=sinx）.如圖7.

引導(dǎo)學(xué)生觀察，不難得出以下結(jié)論：當(dāng)a>0時，y隨著a的增大而增大，相當(dāng)于把y=sin（bx+c）的所有點的縱坐標(biāo)伸長（a>1）或縮短（0

四、求含參量函數(shù)表達式——綜合運用

例6 在直角坐標(biāo)系中，有以A（-1，1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1）為頂點的正方形，設(shè)它在y=|x－a|+a上側(cè)部分的面積為S（a），試求S（a）的解析式，并畫出y=S（a）的圖像.

分析 此題是人教版高中必修1教科書中第113面2題的引申.解決此類題型必須結(jié)合圖形來分析，找出函數(shù)S（a）關(guān)于a的分段點.然而y=|x－a|+a是一個絕對值表達式，很多學(xué)生得到y(tǒng)=后，不知如何找出S（a）關(guān)于a的分段點.因此，首先要找到y(tǒng)=|x－a|+a的圖像特征，通過觀察找出S（a）的分段點.利用winplot中參數(shù)值的可變性，可以很快發(fā)現(xiàn)y=|x－a|+a的關(guān)于a的變化情況.具體操作如下：

步驟1：作定點.仿照例2步驟2中的（1）依次作出點A（-1，1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1）.仿照例2步驟2中的（2）作出動點（a，a），此動點即為y=|x－a|+a的圖像的彎折點.

步驟2：作線段.單擊【Equa】/【Segment】，在彈出的對話框中（如圖8）依次輸入-1，1，-1，-1，單擊【ok】得到線段AD，如圖9.重復(fù)上述操作，即可得到正方形ABCD.

圖8 圖9

步驟3：作含參函數(shù)圖像.仿照例1步驟1.

步驟4：改變參數(shù)值.仿照例1步驟2，改變參數(shù)a的值.

不難發(fā)現(xiàn)：隨著a的變動，彎折點在直線y=x上移動.于是很容易得到a的分段點為1，0，-1.圖像如圖10.（讀者可以嘗試摸索陰影部分是如何做出來）

圖10

新課程標(biāo)準(zhǔn)中強調(diào)“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡實現(xiàn)信息技術(shù)與課程內(nèi)容的有機整合，整合的基本原則是有利于學(xué)生認識數(shù)學(xué)的本質(zhì).高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡利用信息技術(shù)來呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以實現(xiàn)的課程內(nèi)容……”.當(dāng)然winplot的功能遠不止這些，例如迅速作出參數(shù)方程的的圖像、求函數(shù)的零點、極值、周期，對函數(shù)進行平移、旋轉(zhuǎn)、反射等等，還有高等數(shù)學(xué)中的相關(guān)應(yīng)用.對于我們教師自主編題、快速解題、探究性教學(xué)等都很有幫助.但需要強調(diào)的是，winplot軟件只是作為教學(xué)的輔助工具，切不可泛濫使用，針對學(xué)生要打好基礎(chǔ)，重視數(shù)學(xué)知識與能力的培養(yǎng)，不可本末倒置、投機取巧.