確定直線與圓位置關系的四種有效途徑

☉江蘇省沭陽高級中學 汪 玉

直線與圓的位置關系是高考考查的重點內容之一，它常常與平面幾何、圓的知識及直線的斜率、截距等知識進行綜合，結合數(shù)學思想、方法，考查考生的能力.為了幫助同學們更好地學好直線與圓的位置關系，為此從以下幾個途徑闡述如何借助直線與圓的方程判定其位置關系.

已知直線l：Ax+By+C=0（A、B不能同時為0），圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）.

一、代數(shù)法

例1 （2008年遼寧高考）圓x2+y2=1與直線y=kx+2沒有公共點的充要條件是（ ）.

分析：研究直線與圓沒有公共點的取值范圍問題，可以利用聯(lián)立直線與圓的方程消去y（或x）得到的關于x（或y）的一元二次方程，借助方程根的判別式Δ<0建立不等關系求解即可.

二、幾何法

數(shù)形結合思想是解析幾何中重要的數(shù)學思想，這里的“數(shù)”包括代數(shù)式、函數(shù)解析式、方程等；“形”則主要是指有形的數(shù)學用具、數(shù)學模型和幾何圖形與直角坐標系下的函數(shù)圖像.數(shù)形結合指的是借助于直觀形象模型和函數(shù)圖像等理解抽象的數(shù)學概念以及抽象的數(shù)量關系.現(xiàn)談談如何運用數(shù)形結合的方法來處理直線與圓的位置關系.

解析：若m<0，則符合題意的條件是：直線x＋y＝2m＋1與圓（x－2）2+y2=m2有交點，從而由與m<0矛盾.

若m＝0，則代入后可知A∩B=?.

點評：本題主要考查集合概念、子集及其集合運算、線性規(guī)劃、直線的斜率、兩直線的平行關系、點到直線的距離、圓的方程、直線與圓的位置關系、分類討論、解不等式.

三、三角換元法

對于圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2，令x-a=rcosθ，y-b=rsinθ，θ∈［0，2π），即圓C的任意點都可表示為（a+rcosθ，b+rsinθ）（θ∈［0，2π））.根據(jù)三角函數(shù)圖像（或三角函數(shù)線）及函數(shù)y=msinx+可知方程msinx+ncosx=t在區(qū)間［0，2π）內的解的情況為：當時有一解；當|時無解.于是將圓C上的點（a+rcosθ，b+rsinθ）代入Ax+By+C=0，得A（a+rcosθ）+B（b+rsinθ）+C=0，即Arcosθ+與|Aa+Bb+C|的關系來確定：直線l與圓C相交；直線l與圓C相切；Bb+C|?直線l與圓C相離.

例3 若過點A（4，0）的直線l與曲線C：（x-2）2+y2=1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為（ ）.

分析：研究直線與圓有公共點時的取值范圍問題，可以借助方程思想利用判別式Δ≥0建立不等式關系進行求解；也可以根據(jù)幾何性質，借助直線與圓有公共點時的圓心到直線的距離d≤r（圓的半徑）建立不等關系進行求解；倘若三角換元（圓的參數(shù)方程），活用三角知識得到使得直線與圓有公共點的等價條件，求解格外簡練，從中定能體會數(shù)學解題的奧妙所在，韻味無窮.

解析：設過點A（4，0）的直線l的方程為y=k（x-4）.

曲線C：（x-2）2+y2=1上的任意點（2+cosθ，sinθ），則sinθ=k（cosθ-2），即sinθ-kcosθ=-2k.

四、轉化法

若動直線l過定點P（x0，y0），根據(jù)定點P與圓C的位置關系進行轉化來確定：|PC|r?定點P在圓C外?直線l與圓C相切、相交或相離（其中|PC|表示點P與圓心C的距離）.

PC

例4 已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=25，動直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）.求證：無論實數(shù)m取何值，動直線l與圓C總相交于兩點.

分析：通常情況下，研究直線與圓的位置關系時，可聯(lián)立直線與圓的方程消元整理成關于x或y的一元二次方程，借助判別式判斷方程解的情況確定直線與圓的位置關系，運算量很大；也可以利用圓心到直線的距離與半徑的比較來確定.但是本題中的距離的最值求解相當復雜，為此抓住動直線過定點這一幾何性質，根據(jù)定點到圓心的距離與圓的半徑進行比較（點與圓的位置關系）來解決問題特別簡便.

證明：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0可化為（2x+y-7）m+x+y-4=0.

故無論實數(shù)m取何值，直線l與圓C總相交于兩點.