☉江蘇省沭陽高級中學 汪 玉
直線與圓的位置關系是高考考查的重點內容之一,它常常與平面幾何、圓的知識及直線的斜率、截距等知識進行綜合,結合數(shù)學思想、方法,考查考生的能力.為了幫助同學們更好地學好直線與圓的位置關系,為此從以下幾個途徑闡述如何借助直線與圓的方程判定其位置關系.
已知直線l:Ax+By+C=0(A、B不能同時為0),圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
例1 (2008年遼寧高考)圓x2+y2=1與直線y=kx+2沒有公共點的充要條件是( ).
分析:研究直線與圓沒有公共點的取值范圍問題,可以利用聯(lián)立直線與圓的方程消去y(或x)得到的關于x(或y)的一元二次方程,借助方程根的判別式Δ<0建立不等關系求解即可.
數(shù)形結合思想是解析幾何中重要的數(shù)學思想,這里的“數(shù)”包括代數(shù)式、函數(shù)解析式、方程等;“形”則主要是指有形的數(shù)學用具、數(shù)學模型和幾何圖形與直角坐標系下的函數(shù)圖像.數(shù)形結合指的是借助于直觀形象模型和函數(shù)圖像等理解抽象的數(shù)學概念以及抽象的數(shù)量關系.現(xiàn)談談如何運用數(shù)形結合的方法來處理直線與圓的位置關系.
解析:若m<0,則符合題意的條件是:直線x+y=2m+1與圓(x-2)2+y2=m2有交點,從而由與m<0矛盾.
若m=0,則代入后可知A∩B=?.
點評:本題主要考查集合概念、子集及其集合運算、線性規(guī)劃、直線的斜率、兩直線的平行關系、點到直線的距離、圓的方程、直線與圓的位置關系、分類討論、解不等式.
對于圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2,令x-a=rcosθ,y-b=rsinθ,θ∈[0,2π),即圓C的任意點都可表示為(a+rcosθ,b+rsinθ)(θ∈[0,2π)).根據(jù)三角函數(shù)圖像(或三角函數(shù)線)及函數(shù)y=msinx+可知方程msinx+ncosx=t在區(qū)間[0,2π)內的解的情況為:當時有一解;當|時無解.于是將圓C上的點(a+rcosθ,b+rsinθ)代入Ax+By+C=0,得A(a+rcosθ)+B(b+rsinθ)+C=0,即Arcosθ+與|Aa+Bb+C|的關系來確定:直線l與圓C相交;直線l與圓C相切;Bb+C|?直線l與圓C相離.
例3 若過點A(4,0)的直線l與曲線C:(x-2)2+y2=1有公共點,則直線l的斜率的取值范圍為( ).
分析:研究直線與圓有公共點時的取值范圍問題,可以借助方程思想利用判別式Δ≥0建立不等式關系進行求解;也可以根據(jù)幾何性質,借助直線與圓有公共點時的圓心到直線的距離d≤r(圓的半徑)建立不等關系進行求解;倘若三角換元(圓的參數(shù)方程),活用三角知識得到使得直線與圓有公共點的等價條件,求解格外簡練,從中定能體會數(shù)學解題的奧妙所在,韻味無窮.
解析:設過點A(4,0)的直線l的方程為y=k(x-4).
曲線C:(x-2)2+y2=1上的任意點(2+cosθ,sinθ),則sinθ=k(cosθ-2),即sinθ-kcosθ=-2k.
若動直線l過定點P(x0,y0),根據(jù)定點P與圓C的位置關系進行轉化來確定:|PC|
PC
例4 已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=25,動直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).求證:無論實數(shù)m取何值,動直線l與圓C總相交于兩點.
分析:通常情況下,研究直線與圓的位置關系時,可聯(lián)立直線與圓的方程消元整理成關于x或y的一元二次方程,借助判別式判斷方程解的情況確定直線與圓的位置關系,運算量很大;也可以利用圓心到直線的距離與半徑的比較來確定.但是本題中的距離的最值求解相當復雜,為此抓住動直線過定點這一幾何性質,根據(jù)定點到圓心的距離與圓的半徑進行比較(點與圓的位置關系)來解決問題特別簡便.
證明:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0可化為(2x+y-7)m+x+y-4=0.
故無論實數(shù)m取何值,直線l與圓C總相交于兩點.