基于MATLAB的公路橋梁車橋耦合數(shù)值計(jì)算方法

易晉生，顧安邦，王小松

(重慶交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，重慶400074)

車橋耦合振動(dòng)的研究最早可追溯到19世紀(jì)初期。1847年當(dāng)列車通過英國Chester鐵路橋時(shí)由于振動(dòng)產(chǎn)生撓度過大而導(dǎo)致橋垮塌，此后100多年來，車橋動(dòng)力相互作用問題一直是各國橋梁設(shè)計(jì)工作者研究的重點(diǎn)課題［1］。當(dāng)車輛通過橋梁時(shí)，在橋梁自身慣性力和車輛自振慣性力等動(dòng)載作用下，橋梁變形和受力會(huì)大于相同荷載靜力作用。尤其當(dāng)車輛的激振頻率和橋梁自振頻率相接近時(shí)，會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象，使得橋梁產(chǎn)生過大撓度甚至破壞。

近年來，隨著橋梁計(jì)算理論和施工技術(shù)的不斷完善，以及高強(qiáng)輕質(zhì)材料在橋梁工程中的應(yīng)用，促使橋梁結(jié)構(gòu)向著跨度越來越大、質(zhì)量越來越輕、剛度越來越小的體系發(fā)展。隨著人們對(duì)交通運(yùn)輸?shù)男枰找嬖鲩L，不僅車輛的數(shù)量迅速的增長，而且車輛的行駛速汽車與眾多的服役期滿或損傷的橋梁承載能力不足之間的矛盾也日益突出［2］。此外，振動(dòng)過大將嚴(yán)重影響到行車的舒適性，更為嚴(yán)重的還將影響到行車安全。有關(guān)研究表明，現(xiàn)行規(guī)范關(guān)于橋梁結(jié)構(gòu)沖擊系數(shù)的取值是偏不安全的［3］。這兩方面因素使得橋梁承受的汽車活載以恒載的比例越來越大，車橋耦合振動(dòng)效應(yīng)越趨突出，已成橋梁設(shè)計(jì)計(jì)算重要因素之一。

筆者根據(jù)所推導(dǎo)出的車橋動(dòng)力方程組，利用數(shù)學(xué)分析軟件MATLAB，結(jié)合兩種計(jì)算精度較高而實(shí)用的數(shù)值計(jì)算方法編制了車橋耦合振動(dòng)計(jì)算程序。針對(duì)用NEWMARK法求解分離的車輛和橋梁運(yùn)動(dòng)方程組時(shí)，在每個(gè)時(shí)間步長內(nèi)迭代計(jì)算直至橋梁響應(yīng)平穩(wěn)以提高計(jì)算精度。為求解復(fù)雜的車橋耦合振動(dòng)問題提供了簡便、實(shí)用而且計(jì)算精度較高的數(shù)值計(jì)算方法。

1 車橋模型及振動(dòng)方程的推導(dǎo)

1.1 車輛模型及車輛運(yùn)動(dòng)平衡方程

人們在對(duì)車橋相互作用問題的研究過程中建立了各種車橋分析模型，其中，梁的模型都是彈性連續(xù)體，而對(duì)簡化車輛荷載就具有從簡單到復(fù)雜的各種形式，從最早的不變的移動(dòng)荷載、考慮慣性力的移動(dòng)質(zhì)量，到后面的由彈簧和阻尼器所連接的簧上質(zhì)量模型以及豎向密貼和豎向非密貼現(xiàn)代車輛模型［4－5］。筆者采用兩自由度汽車模型(圖 1)，將車輛視為多剛體組成的動(dòng)力系統(tǒng)，質(zhì)量集中在車體上，車輪和車體之間的支撐由彈簧和阻尼器來模擬。此車輛共兩個(gè)自由度，它們分別是車體的沉浮、點(diǎn)頭。

圖1 兩自由度車輛模型Fig.1 Vehicle model with 2-DOF

假設(shè)車輛坐標(biāo)系以圖1中所示為正方向，車體、車架和輪對(duì)均視為剛體，不考慮各部件的變形;彈簧和阻尼均為線性;車輛各部件在各自平衡位置附近做小位移的振動(dòng)。利用達(dá)朗貝爾原理對(duì)圖1所示的兩自由度車輛的振動(dòng)方程進(jìn)行推導(dǎo)如下。

車體豎向運(yùn)動(dòng)平衡方程為:

車體點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)平衡方程為:

對(duì)式(1)、式(2)進(jìn)行整理并寫成如下矩陣方程的形式:

式中:Mc為車輛的質(zhì)量矩陣;Cc為車輛的阻尼矩陣;Kc為車輛的剛度矩陣;Fc為車輛運(yùn)動(dòng)方程的荷載項(xiàng)。具體如下:

1.2 橋梁運(yùn)動(dòng)平衡方程

橋梁是多自由度體系，其運(yùn)動(dòng)平衡方程為:

式中:Mb為橋梁的質(zhì)量矩陣;Cb為橋梁的阻尼矩陣;Kb為橋梁的剛度矩陣;Fb為橋梁運(yùn)動(dòng)方程的荷載項(xiàng)。

分別取前、后輪對(duì)作為研究對(duì)象，可以得到Fb的表達(dá)形式，限于篇幅就不一一展開，這里直接給出車輛對(duì)橋梁作用的荷載Fb:

2 車橋耦合數(shù)值方法及計(jì)算原理

車橋耦合振動(dòng)的分析方法可以分為時(shí)域法和頻域法，時(shí)域法又分為以下兩種方法［6-7］:

1)將車輛模型與橋梁模型的所有自由度通過輪軌關(guān)系耦合在一起，消除不獨(dú)立自由度，建立統(tǒng)一的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程組，進(jìn)行同步求解。

2)將車橋系統(tǒng)以輪軌接觸為界，分為車橋兩個(gè)子系統(tǒng)，分別建立車橋的運(yùn)動(dòng)方程，兩者之間通過輪軌接觸處的位移協(xié)調(diào)條件與輪軌相互作用力的平衡關(guān)系，采用迭代法求解系統(tǒng)響應(yīng)。

從計(jì)算車橋耦合振動(dòng)的數(shù)值分析方法中作者選用了常用的精度較高而且計(jì)算速度較快的龍格-庫塔法和NEWMARK法［8］，并結(jié)合它們各自的計(jì)算特點(diǎn)編制了MATLAB計(jì)算程序，并在后面通過算例進(jìn)行結(jié)果比較。

2.1 龍格-庫塔法

龍格-庫塔法［9］是單步法中的一種，它精確度較高，無需計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)，就可以達(dá)到與泰勒級(jí)數(shù)方法同樣的精度。其基本思路是構(gòu)造在某些點(diǎn)處的值的線性組合公式，使其按泰勒展開后與初值問題的解的泰勒展開式比較，以相同項(xiàng)系數(shù)相等以確定其中的參數(shù)。

筆者主要對(duì)4階龍格-庫塔法的求解思路進(jìn)行說明。并選用4階龍格-庫塔法進(jìn)行計(jì)算，采用MATLAB編制了相應(yīng)的計(jì)算程序，對(duì)4自由度橋梁與橋梁耦合進(jìn)行了計(jì)算分析。4階龍格-庫塔法的計(jì)算公式如下:

2.2 NEWMARK 法

2.2.1 NEWMARK 法計(jì)算原理

NEWMARK法［10-11］是結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中最常用的計(jì)算方法之一，1959年N.M.Newmark基于公式(11)、公式(12)發(fā)展了一類時(shí)間步進(jìn)法:

參數(shù)β和γ定義了時(shí)間步內(nèi)加速度的變化，并決定方法的穩(wěn)定性與精度特征。對(duì)于γ=1/2和1/6≤β≤1/4的典型選擇，從包括精度的所有觀點(diǎn)來看都是令人滿意的。式(1)、式(2)與時(shí)間步結(jié)束時(shí)的平衡方程結(jié)合，提供了從i時(shí)刻已知的ui，˙ui，¨ui計(jì)算i+1時(shí)刻的ui+1，˙ui+1，¨ui+1的基礎(chǔ)。執(zhí)行這些計(jì)算需要迭代，因?yàn)槲粗摹i+1出現(xiàn)在式子的右側(cè)。然而，對(duì)于線性體系，修正NEWMARK法的原始公式可以允許使用式(11)、式(12)求解時(shí)不迭代。單自由度問題采用NEWMARK法求解的具體步驟如下:

1)初始計(jì)算

選擇Δt

2)對(duì)每個(gè)時(shí)間步i進(jìn)行計(jì)算

3)對(duì)下一個(gè)時(shí)間步進(jìn)行循環(huán)。而i由i+1取代，對(duì)下一個(gè)時(shí)間步重復(fù)2)。

2.2.2 采用NEWMARK法計(jì)算車橋分離系統(tǒng)策略

將車橋系統(tǒng)以輪軌接觸為界分為車橋兩個(gè)子系統(tǒng)，分別建立車橋的運(yùn)動(dòng)方程，采用迭代法求解系統(tǒng)響應(yīng)，同時(shí)兩個(gè)系統(tǒng)之間在輪軌接觸處滿足位移協(xié)調(diào)條件與輪軌相互作用力的平衡關(guān)系?；贛ATLAB平臺(tái)，采用NEWMARK法進(jìn)行車橋耦合數(shù)值計(jì)算分析的具體求解思路與過程如下:

1)在t時(shí)刻，提取當(dāng)前橋梁的動(dòng)力響應(yīng)作為初始迭代值，并以此為基礎(chǔ)通過插值計(jì)算車輛輪對(duì)處響應(yīng)的位移、速度和加速度;

2)根據(jù)前面求得的車輛輪對(duì)處響應(yīng)的位移、速度求車輛受到的力的作用，并利用NEWMARK法計(jì)算t+dt時(shí)刻車輛的動(dòng)力響應(yīng);

3)根據(jù)前面利用耦合條件計(jì)算的輪對(duì)響應(yīng)的位移、速度和加速度和t+dt時(shí)刻車輛的動(dòng)力響應(yīng)，計(jì)算得到車輛對(duì)橋梁的作用力;

4)利用t時(shí)刻的橋梁響應(yīng)采用NEWMARK法計(jì)算t+dt時(shí)刻的橋梁動(dòng)力響應(yīng);

5)重復(fù)步驟1)～步驟4)，直至兩次相鄰計(jì)算的橋梁響應(yīng)收斂，再進(jìn)行下一個(gè)時(shí)間步計(jì)算。

步驟5)中先根據(jù)前后相鄰兩次計(jì)算得到的同一時(shí)刻的橋梁響應(yīng)的差值向量，然后計(jì)算其向量的范數(shù)作為收斂性的判斷的依據(jù)。步驟5)的收斂性判斷是必要而且關(guān)鍵的，這將在后面的計(jì)算中得到證明。

3 算例分析

橋梁參數(shù)為:跨徑L=30 m，抗彎慣性矩 I=8.65 m4，彈性模量 E=2.943 ×1010N/m，線質(zhì)量m=3.64 ×104kg/m，泊松比 ν=0.2。

車輛參數(shù)為:Mc=5.4 ×105kg，Jc=1.38 ×107N·m2，K1=4.135 ×107kg/m，C1=0 N·s/m，K2=4.135 ×107N/m，C2=0 N·s/m，S1=8.75 m，S2=8.75 m。

計(jì)算參數(shù)為:橋梁運(yùn)行速度v=100 km/h，模態(tài)阻尼比ζ=0，時(shí)間積分步長為0.01 s。

分別采用基于統(tǒng)一方程求解的龍格-庫塔法和分離迭代法求解的NEWMARK法對(duì)上述算例求解。圖2～圖4分別為兩種方法下簡支梁跨中位置的位移響應(yīng)、速度響應(yīng)、加速度響應(yīng)比較。為便于對(duì)比，同時(shí)給出了采用NEWMARK法而未迭代計(jì)算至橋梁振動(dòng)平衡狀態(tài)下的結(jié)果。

圖2 橋梁跨中的位移響應(yīng)比較Fig.2 Comparison of response of vertical displacement at Mid-span

圖3 橋梁跨中的速度響應(yīng)比較Fig.3 Comparison of response of vertical velocity at Mid-span

圖4 橋梁跨中的加速度響應(yīng)比較Fig.4 Comparison of response of vertical acceleration at Mid-span

由圖2～圖4可知:

1)由龍格-庫塔法和采NEWMARK法迭代計(jì)算車橋分離系統(tǒng)都得到了較精確的結(jié)果，兩者之間的符合度較高。

2)采用NEWMARK法迭代計(jì)算車橋分離系統(tǒng)時(shí)，在每個(gè)時(shí)間步內(nèi)迭代收斂速度較快，并沒有因?yàn)槠胶獾鷵p失太多時(shí)間，并且結(jié)果精度較高。

3)采用NEWMARK法計(jì)算車橋分離系統(tǒng)時(shí)，所得到的跨中撓度位移值與龍格-庫塔法的結(jié)果最大偏離僅為0.6%;而未進(jìn)行迭代計(jì)算至橋梁振動(dòng)平衡狀態(tài)時(shí)，其與龍格-庫塔法的最大偏離為5.1%?？梢姡捎肗EWMARK法進(jìn)行迭代計(jì)算的計(jì)算精度比未進(jìn)行迭代計(jì)算至橋梁振動(dòng)平衡狀態(tài)的算法要高。因此，在每個(gè)時(shí)間步內(nèi)，迭代計(jì)算求解分離的車輛和橋梁運(yùn)動(dòng)方程組直至橋梁振動(dòng)平衡狀態(tài)是必要且有意義的。

4 結(jié)語

應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理推導(dǎo)了兩自由度車輛模型和橋梁的運(yùn)動(dòng)平衡方程，選用了龍格-庫塔法和NEWMARK法兩種常用的、精確度較高的數(shù)值計(jì)算方法求解車橋耦合振動(dòng)。在采用NEWMARK法迭代求解車橋分離雙系統(tǒng)方程組時(shí)，選擇合理的收斂條件作為迭代計(jì)算是否終止的依據(jù)。通過對(duì)比可知，兩種數(shù)值計(jì)算方法都能獲得較高的精度。

同時(shí)，比較了采用NEWMARK法分析車橋分離系統(tǒng)時(shí)，在每個(gè)時(shí)間步內(nèi)，迭代計(jì)算車輛-橋梁運(yùn)動(dòng)方程組直至橋梁振動(dòng)平衡狀態(tài)，和未迭代計(jì)算車輛-橋梁運(yùn)動(dòng)方程組至橋梁振動(dòng)平衡狀態(tài)兩者的計(jì)算結(jié)果。研究表明，在每個(gè)時(shí)間步內(nèi)迭代計(jì)算車輛和橋梁運(yùn)動(dòng)方程組直至橋梁振動(dòng)平衡狀態(tài)是有必要，其計(jì)算精度比未進(jìn)行迭代計(jì)算至橋梁振動(dòng)平衡狀態(tài)的算法要高。

［1］ 夏禾.車輛與結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用［M］.北京:科學(xué)出版社，2002:1-5.

［2］ 卜建清，婁國充，羅韶湘.汽車對(duì)橋梁沖擊作用分析［J］.振動(dòng)與沖擊，2007，26(1):52-55.

Bu Jianqing，Lou Guochong，Luo Shaoxiang.Analysis on impact effects of bridge due to moving vehicle ［J］.Journal of Vibration and Shock，2007，26(1):52-55.

［3］ 丁南宏，林麗霞，孫迎秋.公路連拱橋在單車荷載下振動(dòng)的理論和實(shí)驗(yàn)研究［J］.蘭州交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，24(3):28-32.

Ding Nanhong，Lin Lixia，Sun Yingqiu.Theoretical and experimental study of highway arcade bridge’s vibration under single vehicle load［J］.Journal of Lanzhou Jiaotong University:Natural Science，2005，24(3):28-32.

［4］ Green M F，Cebon D.Dynamic response of highway bridges to heavy vehicles loads:theory and experimental vibration［J］.Journal of Sound and Vibration，1994，170(1):51-78.

［5］ 曹雪琴，劉必勝，吳鵬賢.橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析［M］.北京:中國鐵道出版社，1987:60-90.

［6］ 韓萬水.風(fēng)-汽車-橋梁系統(tǒng)空間耦合振動(dòng)研究［D］.上海:同濟(jì)大學(xué)，2006.

［7］ 李小珍，強(qiáng)士中.列車-橋梁耦合振動(dòng)研究的現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢［J］.鐵道學(xué)報(bào)，2002，24(5):113-120.Li Xiaozhen，Qiang Shizhong.State of the art review and trend of studies on vehicle-bridge interaction［J］.Journal of the China Railway Society，2002，24(5):113-120.

［8］ 沈火明，肖新標(biāo).求解車橋耦合振動(dòng)問題的一種數(shù)值方法［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，38(6):658-662.Shen Huoming，Xiao Xinbiao.Numerical method for vehicle-bridge coupling vibrations［J］.Journal of Southwest Jiaotong University，2003，38(6):658-662.

［9］ Steven C C，Raymond P C.工程數(shù)值方法［M］.6版.于艷華，傅效群，趙紅宇，等，譯.北京:清華大學(xué)出版社，2010:728-737.

［10］Anil K C.結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論及其在地震工程中的應(yīng)用［M］.2版.謝禮立，呂大剛，譯.北京:高等教育出版社，2005:124-127.

［11］徐榮橋.結(jié)構(gòu)分析的有限元法與MATLAB程序設(shè)計(jì)［M］.北京:人民交通出版社，2006:238-246.