注重一題多解提升解題能力

☉江蘇省南通市通州區(qū)石港中學(xué) 何永峰

同學(xué)們知道，所謂一題多解，就是指從各種不同的角度，運用不同的思維方法去解決同一個問題.由于一題多解所涉及的定理、性質(zhì)比單一解題的面更廣，方法更靈活多變，有時甚至是奇離巧合，曲徑通幽，因此，一題多解不僅能鍛煉解題的基本技能，而且可以有效地發(fā)展邏輯思維能力，全面提高分析問題和解決問題的能力.

解題方法豐富，培養(yǎng)多解能力，積累一題多解的經(jīng)驗，不存在什么秘訣，全憑持之以恒的勤奮探索，及時歸納、小結(jié)和加強訓(xùn)練.通過一題多解，可以加深對基本概念、性質(zhì)、公式和定理的理解，并能從中篩選出最佳解法.

一、牢固掌握“雙基”

“雙基”即基礎(chǔ)知識和基本技能，它是解題的基礎(chǔ)，而熟練掌握“雙基”，則是獲得一題多解的前提條件.

解決問題的多種思路、方法與技巧來源于準(zhǔn)確地掌握基礎(chǔ)知識和基本技能.要準(zhǔn)確理解和運用數(shù)學(xué)概念，牢固記憶和靈活運用定理、公式等基礎(chǔ)知識，還要對題目的特點進(jìn)行認(rèn)真地分析，對有關(guān)圖形進(jìn)行細(xì)致地觀察，將涉及到的有關(guān)基礎(chǔ)知識進(jìn)行有機的聯(lián)想.基礎(chǔ)知識掌握得不準(zhǔn)確，解題過程就會漏洞百出.因此，在平常的學(xué)習(xí)中，首先要重視基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，其次要重視知識鏈的歸納和完善，掌握解題依據(jù).

對高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課來說，教師應(yīng)根據(jù)大綱要求、教材的知識點及考綱的基本要點，結(jié)合近幾年高考試題越來越重視學(xué)生的適應(yīng)應(yīng)用能力考查等特點，進(jìn)一步明確教學(xué)目標(biāo)與復(fù)習(xí)要求.通過對歷年高考試題的分析，在復(fù)習(xí)中不能拘泥于課本習(xí)題，搞毫無新意的機械照搬或簡單重復(fù)，也不能脫離書本，搞題海戰(zhàn)術(shù)，而應(yīng)著力于課本習(xí)題的潛在功能的挖掘，使學(xué)生的復(fù)習(xí)有更大的收獲.在復(fù)習(xí)課中，應(yīng)用一題多解的訓(xùn)練，可以牽動多面的知識和技能，對數(shù)學(xué)思想的滲透、發(fā)散思維的培養(yǎng)有較大的作用，是培養(yǎng)解題能力的良好方法.

二、注重觀察、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化

解題時注意觀察、聯(lián)想和轉(zhuǎn)化，對開拓解題思路，探索一題多解的途徑，提高解題能力，有著十分重要的作用.

觀察，是審題、解題過程中重要的一環(huán).通過觀察，全面理解和掌握題目的條件和結(jié)論.具體來說，它包含如下兩個方面：第一，搞清題中的條件和結(jié)論，弄懂題中所給概念和詞語的含義，并對條件和結(jié)論進(jìn)行分解；第二，對于條件和結(jié)論，應(yīng)盡量使用數(shù)學(xué)符號來表示，有時還要畫出草圖，以助思考.通過觀察，還要注意理解和掌握題目的特征，挖掘隱藏著的一些條件和啟示.

聯(lián)想，即從題目的特征包括問題的已知條件和結(jié)論聯(lián)想有關(guān)知識.聯(lián)想有：接近聯(lián)想、類比聯(lián)想、對比聯(lián)想等.

轉(zhuǎn)化，即解題的過程實際是連續(xù)的轉(zhuǎn)化命題，直到所得結(jié)果成為已知為止.當(dāng)然，是所求的結(jié)論更好.

轉(zhuǎn)化：原問題的求解轉(zhuǎn)化為求cos（α+β）的值.

轉(zhuǎn)化：原問題的求解轉(zhuǎn)化為求sin（α+β）的值.

解決一個數(shù)學(xué)問題，往往是通過各種手段把它轉(zhuǎn)化為已掌握的問題，用已掌握的方法加以解決.要轉(zhuǎn)化就需要聯(lián)想，聯(lián)想已學(xué)過的有關(guān)知識和方法.

三、溝通各章節(jié)，要善于思考

從數(shù)學(xué)各章節(jié)之間的橫向聯(lián)系來看，數(shù)學(xué)各章節(jié)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，為我們開拓了一題多解的解題思路.只要我們能逐步養(yǎng)成將各部分知識融匯成一體地去分析、探究解題途徑的習(xí)慣，那么我們的觀察力和想象力就會不斷提高，多解的思路就會一一涌現(xiàn).比如在幾何圖形中通過作高、切線、弦心距等構(gòu)造得到直角三角形，可以利用銳角三角函數(shù)知識，用三角方法來求解.又如對代數(shù)題，應(yīng)盡可能立足于對條件及結(jié)論幾何性質(zhì)的分析，養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的解題習(xí)慣.

想法1：單純從代數(shù)解法去考慮，將解析式移項、平方、整理成關(guān)于x的二次方程，就會找到利用判別式Δ≥0的解法，這種純代數(shù)解法運算量較大，稍不小心就會前功盡棄.

想法2：用導(dǎo)數(shù)法來解，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，由于文科生對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)不作要求，他們雖然想到用導(dǎo)數(shù)法來解，但是一開始下手就會自己發(fā)明公式求錯導(dǎo)數(shù).

如果我們數(shù)形結(jié)合的聯(lián)系平面幾何、解析幾何等的有關(guān)知識，多角度的去尋求解題途徑，能得到簡便的方法.

想法3：觀察函數(shù)解析式的形式，聯(lián)想解析幾何中兩點間的距離公式，建立直角坐標(biāo)系，x軸上一動點P（x，0），使它到點A（0，2），B（1，3）的距離之和為最小.依據(jù)“異側(cè)和最小，同側(cè)差最大”去求解，所以只要求出B（1，3）關(guān)于x軸的對稱點B′（1，-3）函數(shù)的最小值為

高中數(shù)學(xué)各章節(jié)之間的潛在聯(lián)系，我們只要善于思考，就可以做到相互滲透、相互轉(zhuǎn)化.所以平時要注重多角度、多方位思考問題，深入細(xì)致的觀察，挖掘各章節(jié)知識的聯(lián)系，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

四、掌握常用的解題方法和解題技巧

證明題常用方法為分析法、綜合法、反證法、同一法、數(shù)學(xué)歸納法，其中數(shù)學(xué)歸納法作為江蘇數(shù)學(xué)高考附加題、壓軸題較多，學(xué)生只要掌握它的解題步驟：（1）驗證當(dāng)n=n0（n0是使命題成立的最小正整數(shù)）時，命題成立；（2）設(shè)n=k時，命題成立，進(jìn)而證明n=k+1時命題也成立.由（1）（2）得原命題成立.由于附加題、壓軸題較難，要拿滿分比較困難，只要學(xué)生寫出它的框架，10分的題目就可以拿到6至7分，也是很可觀的.而配方法、待定系數(shù)法、換元法、解析法等重要的數(shù)學(xué)方法也是解題中常用的方法.對這些重要方法我們必須做到理論依據(jù)清楚，基本步驟明了，技巧手段嫻熟，適用范圍明確，并能根據(jù)題目的特征，迅速準(zhǔn)確的選用合適的方法.

近幾年江蘇高考題中立體幾何題，都考到了證明線面平行，我們知道要證線面平行有兩個途徑：一個是線線平行去證，一個是面面平行去證.其中用線線平行去證，我們就必須知道有哪些方法，用得較多的是線線平行的傳遞性，三角形中位線的平行以及平行四邊形的對邊平行等.而當(dāng)我們看到比例式，就要馬上想到相似三角形，多與三角形的重心的比例聯(lián)系起來考，而這部分往往是學(xué)生薄弱的地方.所以我們要這樣不斷總結(jié)，就能不斷提高.

因此，不斷總結(jié)常用的解題方法，掌握解題技巧，為靈活運用所學(xué)知識，尋找多種解法打下了堅實的基礎(chǔ).做題不能只滿足做出結(jié)果，每做完一題后，都要認(rèn)真想一想，解題時用了哪些知識、方法和解題技巧，還有哪些解法，哪種方法最簡便，解這類題有什么規(guī)律，應(yīng)該注意什么問題，在此基礎(chǔ)上若將條件加以改變，還能引出什么樣的結(jié)論等等.當(dāng)遇到問題時首先應(yīng)該想到常規(guī)方法，當(dāng)解題過程中遇到困難時要想到等價轉(zhuǎn)化的思想，化繁為簡.

高考場上的競爭就是解題能力的競爭，解題能力的強弱集中體現(xiàn)在解題思維的靈活性和解題方法的多樣性上.如今的高考題入口很寬，常常可以用多種方法求解，從各種角度思考.如果思考缺乏靈活性就會因拘泥于某種思路而浪費時間，甚至失分；如果方法單一就會因墨守成規(guī)而誤入歧途.所以在高三的復(fù)習(xí)課中要加強學(xué)生多渠道求解問題的能力.事實上，課本中許多習(xí)題由其蘊含的數(shù)學(xué)關(guān)系的復(fù)雜性和表現(xiàn)形式的多樣性，為問題的多渠道求解提供了許多信息源.要打破原有的思維認(rèn)識的禁錮，以教材的基本內(nèi)容為基礎(chǔ)，重新認(rèn)識已經(jīng)解決過的問題，以縱橫交錯的大跨度思維回顧教材知識體系，全方位、靈活尋找解題途徑，調(diào)動所有的知識點，開創(chuàng)思維的新境界.