節(jié)點(diǎn)法與改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法的討論

袁 韜，馮 平，楊 靜，葛 敏

(后勤工程學(xué)院機(jī)械電氣工程系，重慶 400082)

0 引言

節(jié)點(diǎn)電壓法是電路中任一節(jié)點(diǎn)對(duì)參考節(jié)點(diǎn)的電位為獨(dú)立的變量的一種分析方法，若電路中有幾個(gè)節(jié)點(diǎn)利用KCL方程列出(n－1)個(gè)獨(dú)立方程求出相應(yīng)節(jié)點(diǎn)對(duì)參考節(jié)點(diǎn)的電位，然后求出各支路元件的電壓及電流等電量。

電路是由元器件與導(dǎo)線連接的實(shí)體，計(jì)算機(jī)所能分析的是數(shù)學(xué)方程。如果想使用計(jì)算分析電路，需要先將實(shí)體電路建模成為支路組成的網(wǎng)絡(luò)模型，再采用適當(dāng)?shù)姆治龇椒ㄓ删W(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建數(shù)學(xué)方程。這種分析法主要有節(jié)點(diǎn)法、改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法、混合分析法和稀疏表格法四種，在這里選擇適用范圍較廣的改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法(MNA)進(jìn)行分析［1］。

1 節(jié)點(diǎn)電壓法(NA)

假設(shè)待分析的電路中有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路，那么取n－1個(gè)非參考節(jié)點(diǎn)電壓Un作為未知的電路變量，則可寫出NA 方程:

建立節(jié)點(diǎn)方程的關(guān)鍵是形成節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Y和等效電流源向量J。在建立方程的過(guò)程中，首先要為待求電路的支路和節(jié)點(diǎn)編號(hào)，且最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)號(hào)為參考節(jié)點(diǎn)。畫出相應(yīng)的拓?fù)鋱D。節(jié)點(diǎn)電壓方程的形成方法有表單形成法和矩陣計(jì)算法兩種。

1)表單法形成節(jié)點(diǎn)方程

表單形成法是將非理想電壓源支路通過(guò)電源等效變換為電導(dǎo)與理想電流源并聯(lián)，每個(gè)元件為一條支路，根據(jù)支路方程直接形成矩陣Y和向量J的相應(yīng)元素。這種方法僅能分析包含電阻、電導(dǎo)、電流源、電壓控制電流源以及電流控制電流源(其中，控制支路為電阻或電導(dǎo)支路)。

2)矩陣計(jì)算法形成節(jié)點(diǎn)方程

矩陣計(jì)算法是在構(gòu)建節(jié)點(diǎn)支路關(guān)聯(lián)矩陣A、支路導(dǎo)納矩陣Yb、電流源向量Is、電壓源相量Us的基礎(chǔ)上，通過(guò)矩陣運(yùn)算求得節(jié)點(diǎn)電壓方程的稀疏矩陣及右端項(xiàng)矩陣Y和向量J。

比較上述兩種形成基本節(jié)點(diǎn)電壓方程的方法可見(jiàn)，表單法只需考慮按關(guān)聯(lián)參考方向給定的單個(gè)元件的支路特性，一旦程序編好，只需給出“支路號(hào)、元件屬性、起始節(jié)點(diǎn)號(hào)、終止節(jié)點(diǎn)號(hào)、元件值、控制支路號(hào)”信息就能自動(dòng)形成方程，而且所形成的代數(shù)方程組階數(shù)為n－1，往往遠(yuǎn)小于支路數(shù)。而矩陣計(jì)算法則需要人工準(zhǔn)備A、Yb、Is和Us，且與參考支路有關(guān)。另外，矩陣計(jì)算法中A和Yb是非零元素很少的稀疏矩陣，用滿陣處理時(shí)既費(fèi)存儲(chǔ)量又費(fèi)計(jì)算時(shí)間，很不經(jīng)濟(jì)。這些對(duì)于計(jì)算實(shí)際的大規(guī)模電路是不合適的?；竟?jié)點(diǎn)電壓法NA也可以計(jì)算非理想受控電壓源，但是，需要先對(duì)電源進(jìn)行變換，而且，他們?cè)赮Un=J矩陣中的數(shù)值已經(jīng)不是元件本身的值，規(guī)律十分復(fù)雜。

基本節(jié)點(diǎn)電壓法還有一個(gè)致命的缺陷，那就是無(wú)法計(jì)算含有理想電壓源的電路。而改進(jìn)的節(jié)點(diǎn)電壓法正是針對(duì)這一問(wèn)題而提出的。

2 改進(jìn)的節(jié)點(diǎn)電壓法(MNA)

假設(shè)待分析的電路中有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路，其中有bv條理想電壓源支路，包括電流源控制支路。那么，取n－1個(gè)非參考節(jié)點(diǎn)電壓Vn和bv個(gè)電壓定義支路的電流Iv作為未知的電路變量。這樣列寫出來(lái)的方程稱為改進(jìn)的節(jié)點(diǎn)電壓方程，它保留了方程階數(shù)低的優(yōu)點(diǎn)，而且克服了基本節(jié)點(diǎn)法不能直接處理理想電壓源支路、阻抗為零支路以及流控器件的缺點(diǎn)。因此，改進(jìn)的節(jié)點(diǎn)電壓法得到了廣泛的應(yīng)用，改進(jìn)的節(jié)點(diǎn)電壓法將元件分為三類:第一類:用導(dǎo)納描述的元件。這些元件只需選節(jié)點(diǎn)電位作為方程變量;第二類:不用導(dǎo)納描述的元件，如獨(dú)立電壓源、受控電壓源。此外，還包括那些需要支路電流作為輸出變量的元件，如電感、互感元件等;第三類:獨(dú)立電流源。

3 含有無(wú)伴電壓源的電路情況

3.1 含有無(wú)伴電壓源和節(jié)點(diǎn)電壓

在一個(gè)電路中含有一個(gè)無(wú)伴電壓源或雖有多個(gè)無(wú)伴電壓源但它們的一端接在同一節(jié)點(diǎn)上，那末常選擇電壓源的一端(公共端)為參考節(jié)點(diǎn)，則另一端的節(jié)點(diǎn)電壓為電壓源的電壓，則不必再對(duì)該節(jié)點(diǎn)列出節(jié)點(diǎn)方程，方程數(shù)目為(n－1)節(jié)點(diǎn)數(shù)減少無(wú)伴電壓源的數(shù)目。

3.2 無(wú)伴電壓源接在兩個(gè)非參數(shù)節(jié)點(diǎn)間

當(dāng)含有無(wú)伴電壓源接在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的情況，如圖1所示。可以把無(wú)伴電壓源接在兩個(gè)非參考節(jié)點(diǎn)看作廣義節(jié)點(diǎn)［2］，他們看作一個(gè)包含電壓源及其兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的一個(gè)封閉區(qū)，對(duì)含有廣義節(jié)點(diǎn)的電路分析也可以用兩種常見(jiàn)方法進(jìn)行處理。

圖1 電路圖

(1)通常的節(jié)點(diǎn)電壓法:即把無(wú)伴電壓源中的電流作為未知量列入節(jié)點(diǎn)方程，同時(shí)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓與該無(wú)伴電壓源之間的約束關(guān)系，列出一個(gè)補(bǔ)充方程，使未知量個(gè)數(shù)仍然與方程數(shù)相等，可解出所有的未知量。

(2)在廣義節(jié)點(diǎn)處作為一個(gè)閉合區(qū)列出KCL方程同時(shí)再對(duì)含電壓源的回路列出KCL方程，如此處理獨(dú)立方程數(shù)與未知量仍為相等，同樣可解出未知量［3］，對(duì)圖(1)采用 KCL 分析得

可以得到U4－U3=Us2

對(duì)節(jié)點(diǎn)1有U1=U2，對(duì)節(jié)點(diǎn)2有

可以看到，方法(1)要列出5個(gè)方程;而方法(2)要列出4個(gè)方程。

方程數(shù)目的多少直接決定所求問(wèn)題的難易程度。因此，應(yīng)采用盡可能少方程數(shù)目的方法，降低問(wèn)題的解決難度。

按上述方法，實(shí)際上多一個(gè)無(wú)伴電壓源，節(jié)點(diǎn)電壓的數(shù)目在原有的基礎(chǔ)上多一個(gè)，那求解方程難度增加了。

3.3 含有無(wú)伴電壓源電路的簡(jiǎn)化節(jié)點(diǎn)電壓法

(1)基本方法

這里仍以圖(1)為例說(shuō)明含有無(wú)伴電壓源的簡(jiǎn)化節(jié)點(diǎn)電壓法的方法。令電導(dǎo)Gi=1/Ri，仍選0點(diǎn)為參考節(jié)點(diǎn)，各節(jié)點(diǎn)電位為U1;U2;U3;U4列出各節(jié)點(diǎn)電壓方程如下:

若求出U3，則U4便已知，故實(shí)際上U2;U3組成了一組完備的獨(dú)立方程變量組:

綜合上述可得:GiUi=I。這里的I為流入節(jié)點(diǎn)的電流代數(shù)和。

由上述分析可知:電路的獨(dú)立節(jié)點(diǎn)n=4，由于有兩個(gè)無(wú)伴電壓源，最終電路簡(jiǎn)化為用兩個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓來(lái)表示的兩個(gè)獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)電壓方程組求解問(wèn)題。總之，當(dāng)電路有 n個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)和m個(gè)無(wú)伴電壓源時(shí)，節(jié)點(diǎn)獨(dú)立電壓方程數(shù)目為(n－m)個(gè)，從而簡(jiǎn)化了求解方程的難度。

(2)討論直接寫出(n－m)個(gè)方程:

以節(jié)點(diǎn)3為例，由KCL可得:

線性電路方程必須是線性方程，故有

由此可得［結(jié)論］各獨(dú)立電源為零時(shí)，節(jié)點(diǎn)電壓等于流入節(jié)點(diǎn)的電流代數(shù)和。

現(xiàn)我們?nèi)砸詧D(1)為例，對(duì)節(jié)點(diǎn)2有:

對(duì)節(jié)點(diǎn)3有:

3.4 改進(jìn)節(jié)點(diǎn)電壓法

含有無(wú)伴電壓源和無(wú)伴受控源電路的情況下，受控源具有電源的性質(zhì)和電阻的性質(zhì)，故一般情況可將受控源與獨(dú)立電流一樣對(duì)待，只是受控量用節(jié)點(diǎn)電壓表示即可，因而多一個(gè)控制量方程，方程數(shù)目增多。受控源不能單獨(dú)作用于電路，但當(dāng)電路中有獨(dú)立源時(shí)，并考慮獨(dú)立源對(duì)受控源的影響，那末，受控源可像獨(dú)立源一樣施予電路影響，也就是具有一般電源的性質(zhì)，這樣改進(jìn)的節(jié)點(diǎn)電壓法同樣可以推廣到含有無(wú)伴受控源的電路。

4 結(jié)語(yǔ)

對(duì)含有無(wú)伴電壓源和受控源電路，利用節(jié)點(diǎn)電壓法求解時(shí)，一般有三種方法:

(1)在常規(guī)的方法中，把無(wú)伴電壓源作為未知量引入節(jié)點(diǎn)方程，但每引一個(gè)未知量電流，必同時(shí)增加一個(gè)約束方程，以保證獨(dú)立方程數(shù)與未知量數(shù)目相等，同樣可求解未知量

(2)引入廣義節(jié)點(diǎn)并把其作為一個(gè)閉合區(qū)，立出KCL方程，以保持獨(dú)立方程數(shù)與未知量數(shù)目相等，同樣可求解未知量。

(3)改進(jìn)的節(jié)點(diǎn)電壓法，在每?jī)上噜徆?jié)點(diǎn)含有無(wú)伴電壓源或無(wú)伴受控源時(shí)，只需列出一個(gè)節(jié)點(diǎn)方程，使方程數(shù)目大為減少，降低求解難道，帶來(lái)較大的便利，對(duì)于這類問(wèn)題是其他方法無(wú)法比擬的，具有明顯的優(yōu)越性。

［1］ 李瀚蓀.電路分析基礎(chǔ)(第3版)［M］北京:高等教育出版社，1991

［2］ 裴留慶.電路理論基礎(chǔ)［M］北京:北京師范大學(xué)出版社，1982

［2］ 范世貴.電路基礎(chǔ)［M］西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，2000