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    線性相位FIR濾波器頻域特性的教學(xué)探索

    2012-10-12 03:28:06陳后金
    關(guān)鍵詞:頻率響應(yīng)信號(hào)處理頻域

    薛 健,陳后金,胡 健

    (北京交通大學(xué)電子信息工程學(xué)院,北京100044)

    0 引言

    FIR數(shù)字濾波器是指系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h[k] 僅在有限范圍內(nèi)有非零值的濾波器。M階FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)可表示為

    由于FIR數(shù)字濾波器很容易設(shè)計(jì)成線性相位的濾波器,在實(shí)際中FIR濾波器有著廣泛的應(yīng)用。

    線性相位FIR濾波器的頻域特性,是“數(shù)字信號(hào)處理”課程中的一個(gè)重要內(nèi)容?,F(xiàn)有的教材在分析這個(gè)問(wèn)題時(shí)采用了幾乎相同的方法,即利用四種線性相位FIR濾波器的時(shí)域?qū)ΨQ特性,分別求出對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng),分析其頻域特性。

    本文給出了一種與傳統(tǒng)教材不同的分析方法。該方法以Ⅰ型線性相位系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為基礎(chǔ),將其他三種類型線性相位系統(tǒng)的頻率響應(yīng)表示為Ⅰ型線性相位系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與一簡(jiǎn)單函數(shù)的乘積。該方法的特點(diǎn)是當(dāng)Ⅰ型線性相位FIR濾波器的頻率響應(yīng)給出后,可以很容易地推得其他類型線性相位FIR濾波器的頻率響應(yīng)。由于將Ⅱ型、Ⅲ型和Ⅳ型線性相位FIR濾波器的幅度函數(shù)表示為Ⅰ型線性相位系統(tǒng)的幅度函數(shù)與三角函數(shù)的積,可由幅度函數(shù)表達(dá)式方便的得出不同類型線性相位FIR濾波器的頻域特性。

    1 線性相位條件

    若M階FIR濾波器頻率響應(yīng)H(ejΩ)可寫為

    式中,α和β是與Ω無(wú)關(guān)的常數(shù),A(Ω)是一可正可負(fù)的實(shí)函數(shù),則該濾波器稱為廣義線性相位系統(tǒng),A(Ω)稱為系統(tǒng)的幅度函數(shù)。

    如果M階FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h[k] 是實(shí)數(shù),則可以證明系統(tǒng)是線性相位的充要條件為[1-3]

    當(dāng)h[k] 滿足h[k] =h[M-k] ,稱h[k] 為偶對(duì)稱。當(dāng)h[k] 滿足h[k] =-h[M-k] ,稱h[k] 為奇對(duì)稱。由于按對(duì)稱性h[k] 可分為偶對(duì)稱和奇對(duì)稱,按階數(shù)h[k] 又可分為M奇數(shù)和M為偶數(shù),所以線性相位的FIR數(shù)字濾波器有四種類型,如圖1所示。

    如采利用線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h[k] 的對(duì)稱性,可得

    2 線性相位系統(tǒng)的頻域特性

    四種不同類型的線性相位FIR系統(tǒng),由于h[k] 的對(duì)稱性及濾波器階數(shù)M的奇偶不同,其頻域特性各有其特點(diǎn)。

    1)Ⅰ型線性相位濾波器(h[k] 偶對(duì)稱,M偶數(shù))

    M階Ⅰ型線性相位濾波器的頻率響應(yīng)可表示為[4-10]

    由上式知,Ⅰ型線性相位系統(tǒng)幅度函數(shù)A(Ω)的周期為2π,且有

    2)Ⅱ型線性相位濾波器(h[k] 偶對(duì)稱,M奇數(shù))

    由系統(tǒng)的偶對(duì)稱特性,式(4)可寫為

    由于M是奇數(shù),將z=-1代入上式可得

    所以,H(-1)=0。故Ⅱ型線性相位濾波器可表示為

    其中,H1(z)是M-1階的Ⅰ型線性相位系統(tǒng)。由式(5)可知,H1(z)的頻率響應(yīng)可表示為

    綜合式(8)和式(9),M階Ⅱ型線性相位系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可表示為

    由上式可知,Ⅱ型線性相位系統(tǒng)幅度函數(shù)的周期為4π,且

    即Ⅱ型線性相位系統(tǒng)幅度函數(shù)A(Ω)關(guān)于Ω=0偶對(duì)稱,Ω=π奇對(duì)稱,并且A(π)=0。所以Ⅱ型線性相位濾波器不能用于高通和帶阻等濾波器設(shè)計(jì)。

    3)Ⅲ型線性相位濾波器(h[k] 奇對(duì)稱,M偶數(shù))由系統(tǒng)的奇對(duì)稱特性,式(4)可寫為

    由于M是偶數(shù),將z=-1,z=1代入上式可得

    所以H(-1)=H(1)=0。故Ⅲ型線性相位濾波器可表示為

    其中,H2(z)是M-2階的Ⅰ型線性相位系統(tǒng)。

    由式(5)和式(10),M階Ⅲ型線性相位系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可表示為

    即幅度函數(shù)關(guān)于Ω=0和Ω=π奇對(duì)稱,并且有A(0)=A(π)=0。所以Ⅲ型線性相位濾波器不能用于高通和低通濾波器的設(shè)計(jì)。

    4)Ⅳ型線性相位濾波器(h[k] 奇對(duì)稱,M奇數(shù))

    由于M是奇數(shù),將z=1代入式(9)可得H(1)=-H(1),所以有H(1)=0。故Ⅳ型線性相位濾波器可表示為

    其中,H3(z)是M-1階的Ⅰ型線性相位系統(tǒng)。

    由式(5)和式(11),M階Ⅳ型線性相位系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可表示為

    由上式可知,Ⅳ型的線性相位系統(tǒng)的幅度函數(shù)A(Ω)的周期為4π,且

    即幅度函數(shù)關(guān)于Ω=0奇對(duì)稱,關(guān)于Ω=π偶對(duì)稱,并且A(0)=0。所以Ⅳ型的線性相位濾波器不能用于低通濾波器的設(shè)計(jì)。

    3 結(jié)語(yǔ)

    本文給出了一種分析線性相位FIR濾波器頻率響應(yīng)的方法,該方法簡(jiǎn)化了線性相位FIR濾波器頻率響應(yīng)的分析過(guò)程,突出了FIR濾波器頻域特性,便于學(xué)生掌握線性相位FIR濾波器頻域特性。本文推出的幅度函數(shù)的表達(dá)式與FIR濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)中用到的四種形式FIR濾波器的統(tǒng)一表示一致,但推導(dǎo)過(guò)程更加的簡(jiǎn)單明了,有利于課堂教學(xué)的進(jìn)行和學(xué)生的理解,深受學(xué)生歡迎。

    [1] S.K.Mitra,Digital Signal Processing:A Computer-Based Approach[M] .McGraw Hill,third edition,2006

    [2] John.Proakis,Digital Signal Processing:Principles,Algorithms and Application[M] ,fourth edition,Prentice Hall,2007

    [3] 黃建國(guó),劉樹(shù)棠譯,離散時(shí)間信號(hào)處理[M] ,北京:科學(xué)出版社,1998年

    [4] 胡廣書(shū),數(shù)字信號(hào)處理[M] ,第2版,北京:清華大學(xué)出版社,2003

    [5] 程佩青,數(shù)字信號(hào)處理教程[M] ,第3版,北京:清華大學(xué)出版社,2007

    [6] 高西全,丁玉美,闊永紅,數(shù)字信號(hào)處理[M] ,第2版,北京:電子工業(yè)出版社,2010

    [7] 吳鎮(zhèn)揚(yáng),數(shù)字信號(hào)處理[M] ,第2版,北京:高等教育出版社,2010

    [8] 姚天任,江太輝,數(shù)字信號(hào)處理[M] ,第3版,武漢:華中科技大學(xué)出版社,2007

    [9] 鄭南寧,程洪,數(shù)字信號(hào)處理[M] ,北京:清華大學(xué)出版社,2007

    [10] 陳后金,薛健,胡健,數(shù)字信號(hào)處理[M] ,北京:高等教育出版社,2008

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