雙邊定數(shù)截尾情形下一個(gè)兩參數(shù)有浴盆形狀失效率的壽命分布參數(shù)的Bayes估計(jì)

田 霆 劉次華 陳家清

（國(guó)立華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院1） 泉州 362021） （華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2） 武漢 430074）（武漢理工大學(xué)理學(xué)院3） 武漢 430063）

0 引 言

在可靠性分析中常用的壽命分布（如Weibull分布）的失效率函數(shù)或單調(diào)增加或單調(diào)減少，這些常用的壽命分布不能很好擬合有浴盆形狀失效率的壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù).因?yàn)楫a(chǎn)品的失效一般經(jīng)歷3個(gè)階段：失效率減少階段（早期失效期），失效率幾乎是常數(shù)階段（偶然失效期）和失效率增加階段（耗損失效期），即產(chǎn)品的失效率函數(shù)一般有浴盆形狀.為此人們提出了一些有浴盆形狀失效率的壽命分布，Chen［1］給出了一個(gè)有浴盆形狀失效率或單調(diào)增加失效率的二參數(shù)模型，并討論了有關(guān)參數(shù)的最大似然估計(jì)和區(qū)間估計(jì).Wu等［2］討論了由Chen提出的二參數(shù)模型的最優(yōu)參數(shù)估計(jì).本文討論了由Chen提出的一個(gè)2參數(shù)有浴盆形狀失效率的壽命分布參數(shù)的Bayes估計(jì)，這個(gè)壽命分布的分布函數(shù)為［3］

其密度函數(shù)為

設(shè)產(chǎn)品的壽命服從上述分布（1），現(xiàn)假定有n個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行壽命試驗(yàn)，到有r個(gè)產(chǎn)品失效時(shí)停止試驗(yàn)（即定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)），其次序失效數(shù)據(jù)為

而在實(shí)際問(wèn)題的處理中由于試驗(yàn)手段的原因，有部分?jǐn)?shù)據(jù)未觀察到.假設(shè)前s－1個(gè)數(shù)據(jù)丟失，則此時(shí)觀察到的次序失效數(shù)據(jù)為

此即為雙邊定數(shù)截尾樣本.該種類(lèi)型的截尾樣本方式在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用.

已有很多文獻(xiàn)對(duì)上述類(lèi)似情況作了討論，文獻(xiàn)［4］利用Lindley近似方法在定數(shù)截尾情形下獲得了2參數(shù)EW分布參數(shù)和可靠性指標(biāo)的Bayes估計(jì).文獻(xiàn)［5］在雙邊定數(shù)截尾情形下，給出了2參數(shù)指數(shù)－威布爾分布（EW）形狀參數(shù)的Bayes估計(jì).文獻(xiàn)［6］給出了負(fù)相伴樣本情形下線(xiàn)性指數(shù)分布參數(shù)的漸近最優(yōu)的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì).本文參考上述文獻(xiàn)討論了在雙邊定數(shù)截尾情形下一個(gè)2參數(shù)有浴盆形狀失效率的壽命分布參數(shù)在平方損失下基于無(wú)信息先驗(yàn)下和共軛先驗(yàn)信息下的Bayes估計(jì).

1 極大似然估計(jì)

對(duì)于雙邊定數(shù)截尾樣本（4），假定參數(shù)β已知，當(dāng)產(chǎn)品來(lái)自分布（1），則此樣本的似然函數(shù)為：（記＝（xs，xs＋1，…，xr－1，xr））

由式（6）即可得參數(shù)θ的極大似然估計(jì)，記為：＾θML.

2 Bayes估計(jì)

在對(duì)分布參數(shù)作Bayes分析時(shí)，大都選取無(wú)信息先驗(yàn)（均勻分布）作為未知參數(shù)的先驗(yàn)分布，這在一定程度上使得估計(jì)的結(jié)果會(huì)有較大的偏差.而在實(shí)際應(yīng)用中，通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)，根據(jù)專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)和歷史信息，可以獲得關(guān)于未知參數(shù)的部分先驗(yàn)信息，從而選取合適的先驗(yàn)分布.

1）無(wú)信息先驗(yàn)下參數(shù)θ的Bayes估計(jì) 參數(shù)β給定時(shí)，用無(wú)信息先驗(yàn)均分布作為θ的先驗(yàn)分布，即

由式（5）和（7），可得θ的后驗(yàn)分布為

在平方損失下，參數(shù)θ的Bayes估計(jì)為

記作：＾θBs.

2）共軛先驗(yàn)信息先驗(yàn)下參數(shù)θ的Bayes估計(jì) 參數(shù)β給定時(shí)，可用共軛先驗(yàn)信息Γ（γ，δ）作為θ的先驗(yàn)分布［7］，即

式中：超參數(shù)γ，δ可由歷史專(zhuān)家或?qū)＜医?jīng)驗(yàn)給出.則由式（5）和（10），可得θ的后驗(yàn)分布為

仿式（9）的方法，得

則在平方損失下，參數(shù)θ的Bayes估計(jì)為

3 Monte－Carlo模擬及結(jié)論

當(dāng)此分布參數(shù)β已知（假定β＝0.2），參數(shù)θ的真值取為θ＝0.6，為了比較參數(shù)θ的極大似然估計(jì)＾θML，和在平方損失下基于無(wú)信息先驗(yàn)下和共軛先驗(yàn)信息下（超參數(shù)γ＝3，δ＝3）的Bayes估計(jì)＾θBs和.為此本文作了大量的Monte－Carlo模擬實(shí)驗(yàn)，其部分模擬結(jié)果見(jiàn)表1.

表1 部分模擬結(jié)果

由表1可見(jiàn)，當(dāng)樣本n較大時(shí)，r愈大，s愈小，即丟失數(shù)據(jù)的數(shù)目愈小，Γ先驗(yàn)的Bayes估計(jì)與極大似然估計(jì)差不多，更接近于真值，都比無(wú)先驗(yàn)的Bayes估計(jì)要好.故應(yīng)盡量避免數(shù)據(jù)丟失，而且還要充分利用歷史信息，獲得關(guān)于未知參數(shù)的部分先驗(yàn)信息，從而對(duì)分布的參數(shù)作更好的估計(jì).

［1］CHEN Z.A new two－parameter lifetime distribution with bathtub shape or increasing failure function［J］.Statistics ＆ Probability Letters，2000，49：155－161.

［2］WU J W，WU C C，TSAI M H.Optimal parameter estimation of the two－parameter bathtubshaped lifetime distribution based on a type－II right censored sample［J］.Applied Mathematics and Computation，2005，17：807－819.

［3］王炳興.一個(gè)兩參數(shù)有浴盆形狀失效率的壽命分布的參數(shù)估計(jì)［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2008，23（4）：408－414.

［4］FERNSNDEZ A J.Bayesian from type II doubly censored Rayleigh data［J］.Statistics ＆ Probability Letters，2000，48：393－399.

［5］馮 艷，師義民，周巧娟.雙邊定數(shù)截尾情形下指數(shù)－威布爾分布參數(shù)的Bayes估計(jì)［J］.系統(tǒng)工程，2006，9（24）：117－120.

［6］陳家清，彭紅偉，董 銳.負(fù)相伴樣本情形下線(xiàn)性指數(shù)分布參數(shù)的漸近最優(yōu)的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)：交通科學(xué)與工程版，2011，35（2）：387－391.

［7］茆詩(shī)松.貝葉斯統(tǒng)計(jì)［M］.北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，1999.