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    單排隊(duì)模型的隨機(jī)模擬

    2012-08-16 19:13:12詹曉琳
    關(guān)鍵詞:排隊(duì)模型服務(wù)臺(tái)排隊(duì)

    詹曉琳,張 瑜

    (上海第二工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,上海201209)

    單排隊(duì)模型的隨機(jī)模擬

    詹曉琳,張 瑜

    (上海第二工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,上海201209)

    單服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)模型(M/M/1等待制排隊(duì)模型)是排隊(duì)論中簡(jiǎn)單且重要的排隊(duì)系統(tǒng)。隨機(jī)模擬是求解排隊(duì)系統(tǒng)和分析排隊(duì)系統(tǒng)非常有效的方法。針對(duì)單服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)模型,給出了兩種不同隨機(jī)模擬的方法和必要的數(shù)學(xué)算法,并進(jìn)一步比較了兩種算法的優(yōu)劣。

    單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型;隨機(jī)模擬;排隊(duì)系統(tǒng)

    0 引言

    排隊(duì)論又稱為隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論。隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)是指對(duì)隨機(jī)發(fā)生的需求提供服務(wù)的系統(tǒng)。現(xiàn)實(shí)世界中廣泛存在著各種各樣的隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng),如病人候診、飛機(jī)等待起飛、原材料等待加工、電話等待轉(zhuǎn)接等等。這里將要求得到服務(wù)的對(duì)象稱為“顧客”,將提供服務(wù)的服務(wù)者稱為“服務(wù)臺(tái)”。這里“隨機(jī)”是指顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔和服務(wù)時(shí)間這兩個(gè)量中至少有一個(gè)是隨機(jī)的。排隊(duì)系統(tǒng)研究的主要內(nèi)容是排隊(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)和排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化問(wèn)題。隨機(jī)模擬方法是利用隨機(jī)數(shù)對(duì)隨機(jī)系統(tǒng)的仿真,通常是利用計(jì)算機(jī)并通過(guò)建立數(shù)學(xué)邏輯模型對(duì)現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)進(jìn)行仿真,最終實(shí)現(xiàn)模擬的目的,又稱為計(jì)算機(jī)模擬方法[1-2]。這是一條解決具有隨機(jī)因素的復(fù)雜實(shí)際問(wèn)題的有效途徑。因此,隨機(jī)模擬是研究排隊(duì)系統(tǒng)性能、求解排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行指標(biāo)非常有效的方法。本文針對(duì)單服務(wù)臺(tái)等待制的排隊(duì)模型提供兩種不同的模擬思想,并給出相應(yīng)的具體算法,最終利用Matlab軟件實(shí)現(xiàn)算法。最后,對(duì)兩種算法的優(yōu)劣進(jìn)行比較。

    1 排隊(duì)系統(tǒng)及主要運(yùn)行指標(biāo)

    實(shí)際的排隊(duì)系統(tǒng)各有不同,但概括起來(lái)都由3個(gè)基本部分組成:輸入過(guò)程,排隊(duì)及排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)機(jī)制。輸入過(guò)程是說(shuō)明顧客按怎樣的規(guī)律到達(dá)系統(tǒng);排隊(duì)及排隊(duì)規(guī)則是排隊(duì)隊(duì)伍是否有限和服務(wù)臺(tái)對(duì)排隊(duì)顧客進(jìn)行服務(wù)時(shí)所遵循的規(guī)則;服務(wù)機(jī)制主要包括服務(wù)臺(tái)的數(shù)量及其連接形式(串聯(lián)或并聯(lián))、顧客是單個(gè)還是成批接受服務(wù)及服務(wù)時(shí)間的分布。

    描述一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行狀況的主要數(shù)量指標(biāo)有:(1)隊(duì)長(zhǎng)和排隊(duì)長(zhǎng),隊(duì)長(zhǎng)是指系統(tǒng)中的排隊(duì)等待的顧客數(shù)與正在接受服務(wù)的顧客數(shù)之和,排隊(duì)長(zhǎng)是指系統(tǒng)中正在排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)。(2)等待時(shí)間和逗留時(shí)間,等待時(shí)間是指從顧客達(dá)到時(shí)刻起到開(kāi)始接受服務(wù)止這段時(shí)間,逗留時(shí)間是指顧客到達(dá)時(shí)刻起到他接受服務(wù)完成止這段時(shí)間。(3)忙期和閑期,忙期是指服務(wù)臺(tái)連續(xù)忙碌的時(shí)間,閑期是指服務(wù)臺(tái)連續(xù)保持空閑的時(shí)間。以上6個(gè)量均是隨機(jī)變量,通常排隊(duì)論中關(guān)心的是當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)以上6個(gè)變量的平均值,相應(yīng)的符號(hào)定義如下:平均隊(duì)長(zhǎng)L,平均排隊(duì)長(zhǎng)Lq,平均等待時(shí)間Wq,平均逗留時(shí)間W,平均忙期B,平均閑期。

    2 M/M/1等待制排隊(duì)模型的數(shù)學(xué)特性

    本文中研究的單服務(wù)臺(tái)等待制排隊(duì)模型的定義如下:顧客源無(wú)限,顧客單個(gè)到達(dá),顧客相繼達(dá)到的時(shí)間間隔服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布;服務(wù)臺(tái)的數(shù)量是一個(gè),顧客單個(gè)接受服務(wù),服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布;排隊(duì)系統(tǒng)容量無(wú)限,允許無(wú)限排隊(duì),排隊(duì)規(guī)則為先到先服務(wù)(FCFS)。利用排隊(duì)論廣泛采用的“Kendall記號(hào)”,該模型記為M/M/1/∞/∞/FCFS ,根據(jù)排隊(duì)論的約定該模型可以簡(jiǎn)記為M/M/1。

    定義ρ= λ/μ,不難得出ρ是指系統(tǒng)中至少有一個(gè)顧客的概率,即服務(wù)臺(tái)處于忙碌狀態(tài)的概率,因而也稱ρ為服務(wù)強(qiáng)度或服務(wù)利用率。此外,只有在ρ<1的條件下才能使系統(tǒng)達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡。由概率統(tǒng)計(jì)的理論分析可以得到M/M/1系統(tǒng)在平衡狀態(tài)時(shí)的6個(gè)重要指標(biāo)的數(shù)學(xué)特性如下[3]

    這是6個(gè)指標(biāo)的理論值,由理論值的表達(dá)式不難看出,他們之間有如下關(guān)系:L=λW,Lq=λWq,W=前兩個(gè)關(guān)系稱為L(zhǎng)ittle公式,是排隊(duì)論中一個(gè)非常重要的公式。在M/M/1系統(tǒng)的隨機(jī)模擬中,本文僅關(guān)注其中的3個(gè)指標(biāo):平均排隊(duì)長(zhǎng)Lq, 平均等待時(shí)間Wq, 平均忙期B, 以及服務(wù)利用率, 期望得到上述4個(gè)指標(biāo)的模擬值。通過(guò)模擬值與理論值的誤差大小說(shuō)明模擬的有效性。其余3個(gè)運(yùn)行指標(biāo)的模擬值可以用類似算法得到。

    3 M/M/1等待制排隊(duì)模型的隨機(jī)模擬

    M/M/1等待制排隊(duì)模型在現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見(jiàn),它是一種簡(jiǎn)單而重要的排隊(duì)模型,對(duì)于該模型的隨機(jī)模擬的研究可以幫助研究更復(fù)雜的多服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)模型的隨機(jī)模擬。當(dāng)多服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)在輸入過(guò)程、排隊(duì)及排隊(duì)規(guī)則或是服務(wù)機(jī)制中的一方面或多方面比較復(fù)雜時(shí),有關(guān)它的運(yùn)行指標(biāo)的理論值將很難獲得,這時(shí),隨機(jī)模擬成為一種獲得近似值的唯一方法。同時(shí),當(dāng)單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)的1ρ<的條件不滿足時(shí),系統(tǒng)無(wú)法達(dá)到平衡,此時(shí)6個(gè)運(yùn)行指標(biāo)的理論值失效,但這些運(yùn)行指標(biāo)的實(shí)際值可以通過(guò)隨機(jī)模擬近似獲得。本文在以下三點(diǎn)假設(shè)下,對(duì)M/M/1系統(tǒng)在兩種不同的模擬思想下提出兩種不同的模擬算法對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了隨機(jī)模擬。

    假設(shè)3 時(shí)間單位為分鐘,一個(gè)工作日的服務(wù)時(shí)間為8小時(shí),即480分鐘,服務(wù)滿480分鐘時(shí)不再服務(wù)下一位顧客,無(wú)論是否有顧客排隊(duì)。

    3.1 “下一顧客法”的隨機(jī)模擬

    “下一顧客法”的建模思想是以顧客為主線。首先,隨機(jī)產(chǎn)生若干位顧客的到達(dá)間隔和服務(wù)時(shí)間;其次,在服務(wù)時(shí)間內(nèi)逐個(gè)討論并記錄每個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)間、離開(kāi)時(shí)間、開(kāi)始服務(wù)時(shí)間、等待時(shí)間;最后利用這些時(shí)間記錄,分別設(shè)計(jì)算法模擬出4個(gè)運(yùn)行指標(biāo)。在記錄時(shí)間和模擬運(yùn)行指標(biāo)的過(guò)程中,都是按照先到先服務(wù)的規(guī)則,分析好前一個(gè)顧客再分析下一個(gè)顧客,一個(gè)顧客一個(gè)顧客地逐一清點(diǎn),直到服務(wù)時(shí)間結(jié)束。因此,稱這種模擬方法為“下一顧客法”。

    參數(shù)說(shuō)明:ix為第i個(gè)顧客的到達(dá)間隔;iy為第i個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間;ia為第i個(gè)顧客到達(dá)的時(shí)刻;ib為第i個(gè)顧客服務(wù)開(kāi)始的時(shí)刻;iw為第i個(gè)顧客等待的時(shí)間;il為第i個(gè)顧客的離開(kāi)時(shí)刻;iaq為第i個(gè)顧客到達(dá)時(shí)的隊(duì)長(zhǎng);ilq為第i個(gè)顧客離開(kāi)時(shí)的隊(duì)長(zhǎng)。

    具體算法如下:

    1)首先獲得關(guān)于4個(gè)時(shí)間的遞推算法

    2)其次分別討論關(guān)于4個(gè)運(yùn)行指標(biāo)的算法

    (4) Lq的算法相對(duì)復(fù)雜

    首先,將ai, li, i=1,…,n按時(shí)間先后排列起來(lái);

    其次,逐一清點(diǎn)第i個(gè)顧客到達(dá)時(shí)的隊(duì)伍長(zhǎng)度, aqi=i?1?前(i?1)人中離開(kāi)系統(tǒng)的人數(shù);

    然后,逐一清點(diǎn)第i個(gè)顧客離開(kāi)時(shí)的隊(duì)伍長(zhǎng)度, lqi=max (前一時(shí)刻的隊(duì)長(zhǎng)?1, 0);

    3.2 “下一事件法”的隨機(jī)模擬

    “下一事件法”的建模思想是以時(shí)間為主線,所以這個(gè)算法在實(shí)現(xiàn)時(shí)為系統(tǒng)設(shè)置了一個(gè)系統(tǒng)時(shí)鐘t,這個(gè)時(shí)鐘記錄著時(shí)刻的變化,并根據(jù)改變系統(tǒng)狀態(tài)的事件的發(fā)生依次向前推進(jìn),直到服務(wù)時(shí)間結(jié)束。這里的系統(tǒng)狀態(tài)是指顧客排隊(duì)長(zhǎng)度和服務(wù)臺(tái)是否空閑。在這個(gè)系統(tǒng)中,顯然“顧客到達(dá)”和“顧客離開(kāi)”這兩個(gè)事件是改變系統(tǒng)狀態(tài)的事件。

    參數(shù)說(shuō)明:t為當(dāng)前時(shí)鐘;tA為有顧客到達(dá)的時(shí)刻;tD為有顧客離開(kāi)的時(shí)刻;lW為顧客的排隊(duì)長(zhǎng)度;S為服務(wù)臺(tái)的狀態(tài)(=0S時(shí)定義服務(wù)臺(tái)空閑,=1S時(shí)定義服務(wù)臺(tái)忙);x為顧客到達(dá)的時(shí)間間隔;y為顧客的服務(wù)時(shí)間。

    具體算法如下:

    首先,在服務(wù)開(kāi)始時(shí)刻,將系統(tǒng)時(shí)鐘置為t=0,Dt=999(至少大于一個(gè)工作日的服務(wù)時(shí)間480分鐘),S=0(系統(tǒng)當(dāng)前處于空閑狀態(tài)),Wl=0(當(dāng)前隊(duì)列中無(wú)人排隊(duì))。讓系統(tǒng)產(chǎn)生一個(gè)到達(dá)間隔x和服務(wù)時(shí)間y,更新At。其次,對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行判斷,如果當(dāng)前服務(wù)臺(tái)為空,則直接為顧客提供服務(wù),并產(chǎn)生一個(gè)服務(wù)時(shí)間y, 同時(shí)更新顧客離開(kāi)時(shí)刻Dt;若服務(wù)臺(tái)忙,則讓顧客排隊(duì),因?yàn)閷?shí)施的是等待制。之后繼續(xù)比較At、Dt大小,并讓系統(tǒng)時(shí)鐘t調(diào)至較小的時(shí)刻,若是At較小,則按照有顧客到達(dá)的情況處理;反之,則按照有顧客離開(kāi)的情況處理。若At, Dt相等,則同時(shí)處理顧客到達(dá)事件和顧客離開(kāi)事件。在處理過(guò)程中,一旦出現(xiàn)服務(wù)臺(tái)空閑就需要令Dt=999,這樣可以保證系統(tǒng)時(shí)鐘t在下一刻跳到“顧客到達(dá)”時(shí)刻。因?yàn)樵谀M過(guò)程中,讓t依事件發(fā)生的先后順序,從一個(gè)事件的發(fā)生跳到下一個(gè)事件的發(fā)生時(shí)刻。所以稱這種模擬方法為“下一事件法”。

    圖1 “下一事件法”算法流程圖Fig. 1 “Next event” algorithm flowchart

    4 結(jié)論

    通過(guò)Matlab軟件編程,分別實(shí)現(xiàn)兩種算法,并將1 000個(gè)工作日的模擬值的平均值作為最終運(yùn)行指標(biāo)的模擬值,同時(shí)計(jì)算1 000個(gè)工作日模擬值的均方差?,F(xiàn)將兩種算法的理論值、模擬值和模擬值的均方差列于表1。

    表1 兩種算法的結(jié)果比較Tab. 1 Comparison of results of the two algorithms

    通過(guò)模擬值的比較,可以看出“下一顧客法”對(duì)于服務(wù)利用率和平均忙期的模擬結(jié)果較優(yōu),“下一顧客法”對(duì)于平均排隊(duì)長(zhǎng)度和平均等待時(shí)間的模擬結(jié)果較優(yōu)。在建模思想上,“下一顧客法”的建模思想比較簡(jiǎn)單,“下一事件法”的建模思想比較巧妙。在算法的復(fù)雜性方面,“下一顧客法”因?yàn)槿菀子涗浢恳粋€(gè)顧客等待的時(shí)間,所以“平均等待時(shí)間”的算法相對(duì)簡(jiǎn)單;“下一事件法”因?yàn)槿菀子涗涱櫩偷竭_(dá)和顧客離開(kāi)時(shí)的隊(duì)長(zhǎng),所以關(guān)于“平均排隊(duì)長(zhǎng)”的算法相對(duì)簡(jiǎn)單。在算法的可推廣方面,利用“下一顧客法”和“下一事件法”的建模思想都可以推廣到多服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)模型,且推廣后的算法復(fù)雜程度基本相當(dāng)。

    [1] 高惠璇. 統(tǒng)計(jì)計(jì)算[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 1995.

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    Stochastic Simulation of Single-Server Queuing Model

    ZHAN Xiao-lin, ZHANG Yu
    ( School of Science, Shanghai Second Polytechnic University, Shanghai 201209, P. R. China )

    Single-server queuing model (i.e. M/M/1 waiting queuing model) is the simplest and most important queuing system in the queuing theory. Stochastic simulation is a very effective method to analyze and solve queuing problems. Two different stochastic simulation approaches and according algorithms are given to the single-server queuing model. Advantages and disadvantages of these two approaches are also analyzed.

    single-server queuing model; stochastic simulation; queuing system

    O212

    A

    1001-4543(2012)04-0302-05

    2012-10-15;

    2012-12-18

    詹曉琳(1978-),女,安徽蚌埠人,副教授,碩士,主要研究方向?yàn)楦怕式y(tǒng)計(jì),電子郵箱xlzhan@sf.sspu.cn。

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