基于高精基準(zhǔn)的面對面垂直度評定與軟件開發(fā)

林翔

（福建商業(yè)高等?？茖W(xué)校，福建福州350012）

1 垂直度評定的核心問題

按國標(biāo)《GB/T 1958-2004》[1]規(guī)定，面對面垂直度誤差屬于位置公差中的定向誤差范疇，指實際被測平面要素相對于給定基準(zhǔn)平面在垂直方向上的變動量，此變動量要符合“最小條件”原則，即將被測平面上的測點投影于基準(zhǔn)平面，求取這些投影點的二維直線度誤差，此即為被測平面相對于給定基準(zhǔn)平面的垂直度誤差值。

如果基準(zhǔn)平面是已知的，即其平面方程（可記為π0∶a0x+b0y+c0z+d0=0的法矢T=(a0,b0,c0)已給出，從文獻(xiàn)[1]中關(guān)于被測平面對于基準(zhǔn)平面垂直度誤差的概念描述可知，只要把被測平面上各點投影到基準(zhǔn)平面，則求垂直度誤差實際上就是求全體投影點的二維直線度誤差，如此則空間問題就轉(zhuǎn)化為二維的問題；如果基準(zhǔn)平面要素是通過測量獲得的（設(shè)基準(zhǔn)上測量點集為P={Pk(xk,yk,zk),k=1,…,n}），毫無疑問要以測量點為依據(jù)擬合出平面作為基準(zhǔn)平面π0，然后進(jìn)行垂直度誤差評定。按照文獻(xiàn)[1]規(guī)定，擬合平面π0必須是通過平面度誤差計算過程而獲得的，才可以作為基準(zhǔn)平面，進(jìn)一步在π0的基礎(chǔ)上繼續(xù)進(jìn)行面對面垂直度誤差計算。

顯然，問題的核心是如何求得符合“最小條件”的基準(zhǔn)平面，只有在擬合出高精度基準(zhǔn)平面的基礎(chǔ)上，才有可能求取高精度的面對面垂直度誤差。為此，業(yè)界專家們推出了不同的平面擬合方法：文獻(xiàn)[2-3]提出以“最小二乘平面”法求取基準(zhǔn)平面，雖然合乎文獻(xiàn)[1]規(guī)定但計算精度有局限；文獻(xiàn)[4]用“直接比較法”與“坐標(biāo)法”求取，對狹長平面之類的特殊情況用“光軸法”、“水平儀法”求取，方法簡便易行但精度不高；文獻(xiàn)[5]也有類似的情況。本文針對求取基準(zhǔn)這一核心問題提出新算法，使基準(zhǔn)平面的求取過程與垂直度誤差評定過程均符合“最小條件”的原則，從而得到高精度的面對面垂直度誤差值。

2 基準(zhǔn)平面擬合

設(shè)基準(zhǔn)平面上測量得到的點集P={pk(xk,yk,zk),k=1～n}，擬合平面π0的法向量為T=(a0,b0,c0)，如圖1。由文獻(xiàn)[1]規(guī)定可知，要使π0符合“最小條件”成為最佳擬合基準(zhǔn)，π0的平面度誤差值計算過程必須要滿足“最小區(qū)域”原則，即須求得一對平行的平面包容點集P，且令兩平面間距離達(dá)到最小。

求最佳擬合基準(zhǔn)的總體思路是：首先以“最小二乘法”求取初始擬合平面，進(jìn)而將擬合平面的平面度誤差計算向“最小區(qū)域”靠近，令結(jié)果滿足“最小條件”。記由“最小二乘法”得到的初始擬合平面方程為π0（求取的算法與過程在文獻(xiàn)[2-3]中均有敘述，此不重述），初始平面度誤差為δ。經(jīng)過觀察分析，發(fā)現(xiàn)可以通過有意識地細(xì)微轉(zhuǎn)動π0（即轉(zhuǎn)動π0的法方向），使δ值降下來。

設(shè)Pk(xk,yk,zk)至初始基準(zhǔn)平面 π0距離為 δk，δi，δj分別為{δk,(k=1,…,n)}之最大值與最小值，相應(yīng)點為 Pi，Pj，即 δi=max(δk),(k=1,…,n)；δj=min(δk)，(k=1,…,n)。

記初始平面度誤差 δ=δi+δj=max(δk)+min(δk)(k=1,…,n))；Ai，Aj為 Pi，Pj在 π0的投影點，從 Ai點沿AiPi距離ε處取 Ai′點（ε是一很小的值），從 Aj點沿 AjPj距ε處取 Aj′，Ai′Aj′中點記為 S ，于 π0上取點 S′，令S′S ⊥ Ai′Aj′。

以 Ai′,Aj′,S′3個點作平面 π0′，π0與 π0′之間夾角甚小，可視 π0′為 π0繞 S′S 做微小轉(zhuǎn)動而獲得；從平面方程特點視之，π0′是以π0之法向量T=(a0,b0,c0)作微小轉(zhuǎn)動后生成的。

Pi,Pj,Ai′,Aj′四點共面，記為 π1，π0經(jīng) π1剖切成如圖2所示，易見 Pi至 π0′之距 δi′＜ δi，Pj至 π0′之距為 δj′＜δj，即有 δi′+δj′＜ δi+δj，亦即當(dāng) π0經(jīng)微小轉(zhuǎn)動生成 π0′后有可能把 δ值降下來，這正是拙文之總體思路所期盼的第一個結(jié)果。

究竟能否成功地將π0轉(zhuǎn)動生成π0′而令δ降下來，還需要計算點集P對π0′的平面度值δ′，與原平面度值δ進(jìn)行比較以便判斷。比較的結(jié)果不外乎以下3種情況：

1）若 δ′＜δ，π0′取代 π0，對新 π0重復(fù)上述的微小擾動，重復(fù)計算、判斷過程；

2）若 δ′≥δ，則縮小ε并重新計算出 π0′及 δ0′，判斷是否 δ′＜δ；

3）若ε經(jīng)多次縮小而成為非常小的值，已達(dá)到精度要求，則計算終止，此時δ就是符合“最小區(qū)域”要求的平面度誤差值，π0即所求的最佳擬合基準(zhǔn)平面。

圖1 基準(zhǔn)平面擬合示意圖Fig.1 Fitting of the datum plane

圖2 點集P與平面π0，π0′關(guān)系圖Fig.2 SetP&plane π0and π0′

3 算法論證

對于上述結(jié)論的“最小條件”符合性作簡要論證。如圖2，Ai，Ai′分別為Pi在π0，π0′的投影，在ΔPiAiAi′中∠PiAi′Ai為鈍角，因鈍角之對應(yīng)邊必定小于任一鄰邊，故 Ai′Pi＜AiPi；同樣，記 Aj，Aj′為 Pj在π0，π0′的投影，∠PjAj′Aj亦為鈍角，亦成立 Aj′Pj＜AjPj。綜之有 Ai′Pi+Aj′Pj＜AiPi+AjPj，即δ′＜ δ。這表明由于π0微小轉(zhuǎn)動得到π0′后，點集P對于π0′的平面度誤差降下來了，且是單調(diào)下降，這也說明此平面度誤差的計算過程是收斂的，不斷趨于“最小區(qū)域”。

本文取用了數(shù)十例平面度誤差算例對上述算法進(jìn)行驗證，計算結(jié)果表明本文算法的精度均達(dá)到或超過原文，進(jìn)一步證明本算法的“最小條件”符合性?，F(xiàn)摘取4例列于表1予以說明。

表1 平面擬合算例結(jié)果比較Tab.1 Result comparisons of flat-to-flat fitting calculation

4 垂直度評定

4.1 面對面垂直度誤差算法

上述獲得高精度的擬合基準(zhǔn)平面為高精度評定面對面垂直度誤差打下好的基礎(chǔ)。對三維坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，使xoy面與基準(zhǔn)平面重合，被測平面上測量點在基準(zhǔn)平面的投影可視為二維平面點，記為Q={Qk(xk,yk),k=1～m}，解讀文獻(xiàn)[1]之規(guī)定，顯然求垂直度誤差就可轉(zhuǎn)化成為求點集Q的二維直線度誤差。

設(shè)Q的基準(zhǔn)直線為l0，與之平行的兩條直線為l1，l2，把Q夾緊在其間，并使得l1，l2間距 f達(dá)到最小，如圖3所示，f即為點集Q的二維直線度誤差，亦即面對面垂直度誤差值。

1）通過“最小二乘法”求得基準(zhǔn)直線l0（設(shè)斜率為k0、截距為b0，方程：y=k0x+b0），此時的 f值為初始直線度誤差，f=f1+f2。

2）在此基礎(chǔ)上細(xì)微改變k0值，即對l0進(jìn)行細(xì)微的轉(zhuǎn)動，目的是把 f值降下來。設(shè)點集Q中距l(xiāng)0的最大、最小值為 f1，f2，所對應(yīng)的點分別為 Qi，Qj，Qi，Qj在 l0的投影點為 Qi′，Qj′，在 QiQi′方向上距 Qi′距離 ξ處取 Qi′點（ ξ是很小值），同樣在 QjQj′方向上距 Qj′距離ξ處取 Qj′點，即 Qj′Qj′=Qi′Qi′= ξ。以 Qi′，Qj′作直線 l0′，易見 Qi到 l0′之距離小于Qi到 l0距離，Qj到 l0′之距離也小于Qj到 l0距離，這表明 l0′有可能把 f值降下來。

到底能否把 f降下來，該文是通過點集Q對于l0算出新的直線度 f′，與之′前的 f比較進(jìn)行判斷：1）若 f′＜f，l0取代 l0；

2）若 f′≥f，則縮小 ξ，以 ξ值重新求出直線l0′，再計算直線度 f′，觀察 f 值下降與否；

3）若ξ不斷縮小已能滿足精度要求，計算終止，最后得到的直線度誤差 f，即為垂直度誤差值。

圖3 投影點集Q與基準(zhǔn)l0示意圖Fig.3 Diagram of projection point set Q&l0benchmark

4.2 垂直度算法流程圖

按照上述的面對面垂直度誤差算法過程，依軟件開發(fā)要求作出算法流程圖如圖4所示。本算法程序用C語言編制。（程序代碼略）

圖4 垂直度算法流程圖Fig.4 Diagram of perpendicularity algorithm

4.3 算例測試

選用3個典型算例對程序加以測試，并把比較結(jié)果列于表2，對本文算法與軟件的正確性可靠性略作說明。

表2 面對面垂直度誤差算例計算結(jié)果比較Tab.2 Test calculation comparisons of flat-to-flat perpendicularity error

5 結(jié)束語

面對面垂直度誤差評定的關(guān)鍵在于基準(zhǔn)平面的確定，核心問題是基準(zhǔn)平面的平面度誤差計算，難點在于此計算必須符合“最小條件”。本文從國標(biāo)規(guī)定出發(fā)，從理論上解決了平面度誤差的高精度計算問題，從而解決了擬合基準(zhǔn)平面在“最小條件”方面的符合性；通過算例驗算與結(jié)果比較，表明此理論與算法都是正確可行的。在高精度基準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，引用文獻(xiàn)[7]所提供的成熟算法，求出高精度的面對面垂直度誤差，也就水到渠成了。

本文引用的算例有限，歡迎同行專家對拙作及相應(yīng)軟件批評指正。

[1]中華人民共和國國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫總局，中國國家標(biāo)準(zhǔn)化管理委員會.GB/T 1958-2004產(chǎn)品幾何量技術(shù)規(guī)范（GPS）形狀和位置公差檢測規(guī)定）[S].北京：中國標(biāo)準(zhǔn)出版社，2004.

[2]甘永立.形狀和位置誤差檢測[M].北京：國防工業(yè)出版社，1995：137.

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