蔡元定“因數(shù)明理”的三種方式——數(shù)學(xué)在象數(shù)易學(xué)中的作用初探

庹永

一、蔡元定“因數(shù)明理”的三種方式

宋代象數(shù)易學(xué)可分為象學(xué)派和數(shù)學(xué)派。象學(xué)派認(rèn)為象在數(shù)先，有把象作為本體的傾向，代表人物有周敦頤、朱震等。數(shù)學(xué)派認(rèn)為數(shù)在象先，有把數(shù)作為本體的傾向，代表人物有劉牧、邵雍等。數(shù)學(xué)派把“數(shù)”作為表征天地萬物之理的符號，這個“數(shù)”不能等同于數(shù)學(xué)科學(xué)中的數(shù)字，但又確實(shí)和數(shù)字有關(guān)，其中也包含一些簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算。那么，數(shù)學(xué)（指數(shù)學(xué)科學(xué)）在數(shù)學(xué)派的理論中到底起到怎樣的作用？

我們以蔡元定的象數(shù)學(xué)為例考察這個問題。蔡元定（1135-1198），字季通，學(xué)者稱西山先生，福建建陽人，被譽(yù)為“朱門領(lǐng)袖”、“閩學(xué)干城”。他曾參與朱熹《易學(xué)啟蒙》的寫作，著有《律呂新書》探討樂律問題，著有《皇極經(jīng)世指要》闡發(fā)邵雍先天學(xué)。蔡元定是邵雍學(xué)說的主要繼承者之一，他特別重視數(shù)的作用，并且有意模仿《周易》構(gòu)建一個“數(shù)”的系統(tǒng)?！段魃焦芬耳Q林玉露》說：“濂溪、明道、伊川、橫渠之講道盛矣，因數(shù)明理，復(fù)有一邵康節(jié)出焉；晦庵、南軒、東萊、象山之講道盛矣，因數(shù)明理，復(fù)有一蔡西山出焉?！保?］695將蔡元定與邵雍并列，認(rèn)為二人學(xué)術(shù)的特色與貢獻(xiàn)都在于“因數(shù)明理”，即以“數(shù)”為主要的工具來闡發(fā)“理”。從數(shù)學(xué)科學(xué)的角度看，蔡元定“因數(shù)明理”有三種方式：設(shè)計(jì)模型、賦予哲理和類比關(guān)聯(lián)。

（一）設(shè)計(jì)模型：為明理的需要而設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

邵雍在《皇極經(jīng)世》中經(jīng)常采用一種四乘四的數(shù)學(xué)模型。以對圣人地位的說明為例，《皇極經(jīng)世·觀物內(nèi)篇》說：“士士之民一之一，士農(nóng)之民一之十，士工之民一之百，士商之民一之千。農(nóng)士之民十之一，農(nóng)農(nóng)之民十之十，農(nóng)工之民十之百，農(nóng)商之民十之千。工士之民百之一，工農(nóng)之民百之十，工工之民百之百，工商之民百之千。商士之民千之一，商農(nóng)之民千之十，商工之民千之百，商商之民千之千?！边@就是將士、農(nóng)、工、商四者進(jìn)行排列組合，從而將民劃分為十六種，同時將一、十、百、千也排列組合，與前者對應(yīng)。士士之民一之一就表明這類人層次是最高的，士中之士即是圣人，這個模型很好地展現(xiàn)了對人的等級劃分。蔡元定很看重這個模型，他評價說：“是故元會運(yùn)世、春夏秋冬、生長收藏各相因而為十六，皇帝王伯、易書詩春秋、道德功力亦各相因而為十六，十六者四象相因之?dāng)?shù)也。凡天地之變化、萬物之感應(yīng)、古今之因革損益皆不出乎十六，十六而天地之道畢矣?！保?］635把這個模型神圣化了，認(rèn)為它可以窮盡天地萬物的道理。

從今天的角度看，雖然這個模型很好地表達(dá)了作者的某種觀念，但其中的數(shù)學(xué)運(yùn)算并不表示相關(guān)事物的任何內(nèi)在規(guī)律性，數(shù)學(xué)在其中只起到了外在編號和排序的作用。這個模型幾乎可以用在任何的事物上，反過來，用三乘三或者五成五等其他模型也可以表達(dá)同樣的觀念。邵雍之所以選擇了四乘四，只不過是對應(yīng)四季、四民、四象這樣的傳統(tǒng)說法。關(guān)鍵在于，這里不是通過數(shù)學(xué)運(yùn)算推演出某個結(jié)果，而是先認(rèn)定了某種觀念，然后設(shè)計(jì)一個數(shù)學(xué)模型去匹配，去表達(dá)這個觀念。

既然是觀念在先，數(shù)學(xué)在后，蔡元定在運(yùn)用數(shù)學(xué)的時候就不可避免有很強(qiáng)的主觀性。有時為了滿足已經(jīng)設(shè)定好的數(shù)學(xué)模型，當(dāng)其中的某一項(xiàng)在現(xiàn)實(shí)世界中有真實(shí)數(shù)據(jù)時，蔡元定會舍棄真實(shí)數(shù)據(jù)，而采用一個他認(rèn)為完美的約數(shù)。比如在闡述邵雍的元會運(yùn)世學(xué)說時，蔡元定將一元比作一年，元會運(yùn)世之間的換算比率，正對應(yīng)年月日時之間的換算比率。1元12會、1會30運(yùn)、1運(yùn)12世對應(yīng)于 1年 12月、1月 30日、1日12辰。按照這個運(yùn)算比率，1元有360運(yùn)，1年有360天，1元有129600年，1年有129600時辰，蔡元定認(rèn)為這都是自然規(guī)律的數(shù)學(xué)表現(xiàn)。但實(shí)際上當(dāng)時已經(jīng)知道360并不是一年的準(zhǔn)確天數(shù)。當(dāng)有人對此提出疑問：“氣盈于三百六十六，朔虛于三百五十四，今經(jīng)世之?dāng)?shù)概以三百六十為率，何也？”蔡元定回答：“所以藏諸用也，消息盈虛之法在其間矣。 ”［1］640何為“藏諸用”？邵雍《皇極經(jīng)世·觀物外篇》中談到過這個問題：“顯諸仁者，天地生萬物之功，則人可得而見也。所以造萬物，則人不可得而見，是藏諸用也。……顯諸仁也，其度數(shù)之然，而不知其所以然，是藏諸用也。 ”［2］523-524所謂“顯諸仁”的，就是可以看到的現(xiàn)象，比如天地萬物的存在與運(yùn)動、日月運(yùn)行、四季更替，也就是“然”；所謂“藏諸用”的，就是不可觀察的現(xiàn)象背后的東西，也就是“所以然”。具體到上面的例子，歷法中的354天、366天，都是實(shí)際科學(xué)觀測的結(jié)果，是表面現(xiàn)象，而360這個數(shù)字是表面看不見的，是隱藏在現(xiàn)象本后的更根本的原理。

可以看出來，蔡元定已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的簡潔美，他認(rèn)為萬物背后的原理如果用數(shù)學(xué)來表達(dá)，肯定是具有美感的，所以把一年的天數(shù)簡化為360。只是這樣的操作主觀性太強(qiáng)，依然是擺弄數(shù)字，以滿足既定的設(shè)想。這樣主觀構(gòu)想出來的天地運(yùn)行原理根本不能運(yùn)用到實(shí)際的歷法當(dāng)中，數(shù)學(xué)在這里根本沒有起到表達(dá)真實(shí)規(guī)律的作用。

（二）賦予哲理：賦予某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象以哲理，或者給予某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象以哲學(xué)解釋

蔡元定著有一部樂律學(xué)著作《律呂新書》，論及從黃鐘生十一律的時候，用到了九進(jìn)制：“黃鐘九寸，以三分為損益，故以三歷十二辰得一十七萬七千一百四十七，為黃鐘之實(shí)……其寸分厘毫絲之法皆用九數(shù)，故九絲為毫，九毫為厘，九厘為分，九分為寸，為黃鐘?！保?］660此處所述的是三分損益法生十一律計(jì)算之前的準(zhǔn)備工作。三分損益法，如果以黃鐘的長度9寸作為計(jì)算的起始值，那么其他十一律的長度會出現(xiàn)不少無限小數(shù)，影響精確度。從黃鐘生出十一律，2/3與4/3間隔相乘11次，最后的分母就是311?！叭龤v十二辰”即從30=1到311=177147。所以，如果預(yù)設(shè)黃鐘的長度為311，那么運(yùn)算到最后311和311相除的結(jié)果是1，就避免了小數(shù)的出現(xiàn)。于是把黃鐘的數(shù)值設(shè)定為311即177147，稱為“黃鐘之實(shí)”。但這個大數(shù)只是為了運(yùn)算方便，它并不表示具體的長度，用它運(yùn)算出的其他十一律的數(shù)值也是如此，這些數(shù)值還需要除以“寸分厘毫絲之法”才能得出長度值?！胺ā钡木唧w數(shù)值《律呂新書》中有載，這里不再贅述。值得注意的是，“分厘毫絲之法皆用九數(shù)，故九絲為毫，九毫為厘，九厘為分，九分為寸”，就是說三分損益法各單位之間的換算采用的是九進(jìn)制，即1寸=9分，1分=9厘，1厘=9毫，1毫=9絲。這樣運(yùn)算會帶來一個結(jié)果，就是其運(yùn)算結(jié)果的數(shù)值是以九進(jìn)制形式表示的。這有一個好處，因?yàn)閯偛旁O(shè)定的那些大數(shù)都是3的n次方，采用九進(jìn)制運(yùn)算，其結(jié)果就不會出現(xiàn)無限小數(shù)。若采用十進(jìn)制運(yùn)算，因?yàn)?/3=0.333…，運(yùn)算結(jié)果中就會出現(xiàn)無限小數(shù)。所以，這里九進(jìn)制的采用是為了運(yùn)算的方便和結(jié)果的精確性，完全是一個數(shù)學(xué)計(jì)算上的技術(shù)問題，這一點(diǎn)蔡元定在《律呂新書·律呂辯證》中也有說明：“黃鐘九寸以三損益，數(shù)不出九，茍不盈分者十之則其奇零無時而能盡……夫自絲以下雖非目力之所能分，然既有其數(shù)，而或一算之差，則法于此而遂變，不以約十為九之法分之則有終不可得而齊者?！保?］675采用九進(jìn)制算法，其目的就是為了數(shù)值的精確。

雖然九進(jìn)制的采用只是計(jì)算上的技術(shù)問題，蔡元定還是對其做出了哲學(xué)的解釋，當(dāng)有人問：“徑圍之分以十為法，而相生之分厘毫絲以九為法，何也？”蔡元定回答說：“以十為法者，天地之全數(shù)也，以九為法者，因三分損益而立也。全數(shù)者即十而取九，相生者約十而為九，即十而取九者體之所以立，約十而為九者用之所以行，體者所以定中聲，用者所以生十一律也。”［1］660“以十為法”即采用十進(jìn)制，是因?yàn)槭翘斓刂珨?shù)，“以九為法”即采用九進(jìn)制，是因?yàn)槿謸p益法計(jì)算的需要，二者之間是體用關(guān)系。十進(jìn)制是體之所以立，九進(jìn)制是用之所以行。以體定中聲，即黃鐘的尺寸是用十進(jìn)制表示的，以用生十一律，即生十一律時采用的是九進(jìn)制運(yùn)算。這是用易學(xué)中的“天地之?dāng)?shù)”概念以及傳統(tǒng)哲學(xué)中的“體用”范疇來解釋樂律計(jì)算中出現(xiàn)的純數(shù)學(xué)現(xiàn)象。雖然蔡元定明確說明這是技術(shù)問題，其目的是為了計(jì)算的方便和計(jì)算結(jié)果的精確性，但仍然對此給予了哲學(xué)解釋?！霸O(shè)計(jì)模型”是觀念在先，數(shù)學(xué)配合，“賦予哲理”是數(shù)學(xué)現(xiàn)象在先，哲理配合。

（三）類比關(guān)聯(lián)：指當(dāng)兩種理論中出現(xiàn)了同樣的數(shù)字時，就可以據(jù)此將二者聯(lián)系起來，并對此現(xiàn)象做出哲學(xué)解釋

當(dāng)有人問：“日辰之?dāng)?shù)由天五地六錯綜而生，律呂之?dāng)?shù)由黃鐘九寸損益而生，二者不同，至數(shù)之成則日有六甲、辰有五子為六十日，律呂有六律五聲為六十調(diào)，若合符節(jié)，何也？”就是說歷法中有六甲五子，律呂中有六呂五聲，二者在數(shù)字上類似。日辰之?dāng)?shù)在易學(xué)看來是天地之?dāng)?shù)交錯形成的，而律呂之?dāng)?shù)是由單個黃鐘通過三分損益法得出來的，方法不同，但結(jié)果都是60。這二者之間看起來好像有什么聯(lián)系，到底怎么回事呢？但蔡元定回答說：“夫理必有對待，數(shù)之自然者也。以天五地六合陰與陽言之，則六甲五子究于六十，其三十六為陽，二十四為陰。以黃鐘九寸紀(jì)陽不紀(jì)陰言之，則六律五聲究于六十，亦三十六為陽，二十四為陰。蓋一陽之中又自有陰陽也，非知天地之化育者不能與于此?！保?］667蔡元定認(rèn)為這個不是巧合，這是陰陽運(yùn)行規(guī)律的體現(xiàn)，二者之所以若合符節(jié)，就是因?yàn)槎叨甲裱庩栠\(yùn)行的規(guī)律。從現(xiàn)代科學(xué)的角度來看，如果兩個系統(tǒng)出現(xiàn)了類似的運(yùn)算結(jié)果，當(dāng)然有理由對二者的關(guān)系進(jìn)行研究，這種思路并無不妥。但問題在于，蔡元定不只是猜測二者之間有聯(lián)系，而是直接肯定兩種理論之間必然有聯(lián)系，并找來現(xiàn)成的陰陽理論給予解釋。所以，數(shù)學(xué)在這里也沒有起到探索萬物規(guī)律的作用，而只是一個類比聯(lián)想的中介符號。

二、兩點(diǎn)發(fā)現(xiàn)

其一，數(shù)學(xué)在蔡元定象數(shù)學(xué)中只是被作為一種表達(dá)“理”的象征性工具，從“設(shè)計(jì)模型”這一方式就可以看出來。蔡元定之所以選擇“數(shù)”作為表達(dá)“理”的工具，表明他已經(jīng)看到數(shù)學(xué)可以表達(dá)事物的規(guī)律。但在這種方式中，數(shù)學(xué)所反映的不是事物之間真實(shí)的數(shù)量關(guān)系，而只是被作為一種象征符號。這種思路，《系辭》已有，《系辭》說“乾之策二百一十有六，坤之策百四十有四，凡三百有六十，當(dāng)期之日；二篇之策，萬有一千五百二十，當(dāng)萬物之?dāng)?shù)也”，“當(dāng)”就是象征，朱熹曾明確指出這一點(diǎn)：“二篇之策當(dāng)萬物之?dāng)?shù)者，不是萬物盡于此數(shù)，只是取象自一而萬，以萬數(shù)來當(dāng)萬物之?dāng)?shù)耳。”［1］633所謂的萬物之?dāng)?shù)不是真實(shí)萬物的數(shù)量，而只不過是一種模擬和象征。

其二，數(shù)學(xué)混合在易學(xué)哲學(xué)當(dāng)中，尚未獨(dú)立出來。通過“賦予哲理”這一方式可以看出，在蔡元定的思考方式中，科學(xué)思維與哲學(xué)思維是混同的，他不能接受在哲學(xué)上找不到依據(jù)的純粹科學(xué)現(xiàn)象，或者說，他不會僅僅去描述純粹科學(xué)或技術(shù)的現(xiàn)象而不追問背后的根據(jù)。這是一種事實(shí)與價值合一的整體性思維。整體性思維在今天很有價值，有助于提醒人們對科學(xué)進(jìn)行價值引導(dǎo)。但需要指出的是，蔡元定并不是從技術(shù)出發(fā)，深入反思其價值依據(jù)，他只是拿一些現(xiàn)成的理論去搭配要解釋的現(xiàn)象，采用的只是簡單的聯(lián)想、類比思維。在“類比關(guān)聯(lián)”這一方式中，蔡元定所運(yùn)用的也只是簡單的類比思維。要形成數(shù)學(xué)科學(xué)，沒有嚴(yán)密的邏輯思維是不可能的。

[1]蔡元定.西山公集[C].四庫全書存目叢書·集部346冊.濟(jì)南：齊魯書社，1997.

[2]邵雍.皇極經(jīng)世書[M].鄭州：中州古籍出版社，2007.