美國《州共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》解讀

范文貴，李偉華

(1．天津師范大學(xué)初等教育學(xué)院，天津 300387; 2．撫順師范高等專科學(xué)校，遼寧撫順 113006）

美國《州共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》解讀

范文貴1，李偉華2

(1．天津師范大學(xué)初等教育學(xué)院，天津 300387; 2．撫順師范高等專科學(xué)校，遼寧撫順 113006）

美國州長協(xié)會最佳實(shí)踐中心和州首席教育官員理事會共同頒布了首部《州共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》?！稑?biāo)準(zhǔn)》闡述了幼兒園、1～8年級、高中三個階段的教學(xué)內(nèi)容?！稑?biāo)準(zhǔn)》旨在實(shí)現(xiàn)如下特征:發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)的實(shí)踐能力、強(qiáng)調(diào)理解數(shù)學(xué)、技術(shù)對數(shù)學(xué)產(chǎn)生巨大影響、明確了美國中小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)內(nèi)涵。標(biāo)準(zhǔn)的研制工作與國際基準(zhǔn)存在差距，幾何內(nèi)容的設(shè)計(jì)尚需教學(xué)實(shí)踐的檢驗(yàn)。

美國;《州共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

2010年6月2日，在亞特蘭大市舉行的一個新聞發(fā)布會上，美國州長協(xié)會最佳實(shí)踐中心和州首席教育官員理事會共同頒布了首部《州共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》［1］，以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》。該《標(biāo)準(zhǔn)》將對美國基礎(chǔ)教育未來的走向影響深遠(yuǎn)。［2］《標(biāo)準(zhǔn)》不僅重視程序性技能，同時(shí)重視概念性理解，以及掌握兩類知識之間的聯(lián)系，確保學(xué)生掌握走向未來所需的關(guān)鍵知識。該標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)部分旨在解決美國數(shù)學(xué)不夠連貫和重點(diǎn)不突出的問題，解決美國數(shù)學(xué)課程寬泛而不夠深入的問題。

一、《標(biāo)準(zhǔn)》的內(nèi)容結(jié)構(gòu)

(一)幼兒階段

在幼兒階段，教學(xué)內(nèi)容主要集中在兩個重要領(lǐng)域:一是正整數(shù)的表征(描述)、聯(lián)系、運(yùn)算、初步的物體集合;二是描述形狀和空間。在幼兒園期間，孩子應(yīng)該把學(xué)習(xí)時(shí)間用在數(shù)的學(xué)習(xí)上，而不是其它主題。幼兒應(yīng)學(xué)會應(yīng)用數(shù)字，包含寫出數(shù)字、表征數(shù)量、解決與數(shù)量有關(guān)的問題，學(xué)會選擇、合并和應(yīng)用有效策略來解答數(shù)量問題。包括快速數(shù)出較少量的物體集合的基數(shù)，數(shù)出給定數(shù)目的物體，數(shù)出并集合物體的數(shù)目，從一物體集合中拿走一些后再數(shù)出剩余物體的數(shù)目。學(xué)會用幾何思想(形狀、方向、空間關(guān)系)和幾何詞匯來描述他們生活的現(xiàn)實(shí)世界。能夠識別、描述基本的二維圖形，如四邊形、三角形、圓、長方形、六邊形，同時(shí)用不同的方法描述現(xiàn)實(shí)世界;同樣的還有三維形式，如立方體、錐體、球、圓柱。

(二)1～8年級

1年級:逐漸深化對加、減法概念的理解，強(qiáng)化20以內(nèi)加、減法策略學(xué)習(xí);發(fā)展對正整數(shù)和數(shù)位作用的理解，包括個位和十位的組合;理解長度單位制，并重復(fù)用標(biāo)準(zhǔn)長度單位來測量長度;說明幾何圖形的特征，分解和組合幾何圖形。

2年級:拓展對十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的理解;熟練地建立加、減法算式;使用測量的標(biāo)準(zhǔn)單位;描述和分析圖形。

3年級:理解整數(shù)的乘、除法運(yùn)算，掌握100以內(nèi)乘、除法的運(yùn)算策略;發(fā)展對分?jǐn)?shù)的理解，尤其是單位分?jǐn)?shù);發(fā)展對長方陣列和面積的理解;描述和分析二維圖形。

4年級:理解多位數(shù)乘法并熟練掌握其運(yùn)算策略，發(fā)展對除法的理解并找到被除數(shù)是多位數(shù)的除法的商;理解等值分?jǐn)?shù)，掌握同分母分?jǐn)?shù)加、減法和分?jǐn)?shù)乘以整數(shù)的運(yùn)算;理解幾何的特征，可以基于它們的性質(zhì)加以分析和證明，如平行的邊，垂直的邊，特殊角測量和對稱性。

5年級:熟練掌握異分母分?jǐn)?shù)加、減法運(yùn)算，理解分?jǐn)?shù)乘除法(限于單位分?jǐn)?shù)除以整數(shù)和整數(shù)除以單位分?jǐn)?shù));將除法擴(kuò)展至被除數(shù)是兩位數(shù)的運(yùn)算。在位值系統(tǒng)中理解小數(shù)，理解十分位到百分位的小數(shù)運(yùn)算;理解體積。

6年級:將比例、比率與整數(shù)乘法和除法聯(lián)系起來;能夠使用比例和比率概念來解決問題;理解分?jǐn)?shù)除法;將自然數(shù)概念擴(kuò)展到有理數(shù)系統(tǒng)，其中包括負(fù)數(shù);書寫、解釋、使用式和方程;發(fā)展對統(tǒng)計(jì)思維的認(rèn)識。

7年級:促進(jìn)學(xué)生理解和運(yùn)用比例關(guān)系;理解有理數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)式與一次方程問題;解決問題涉及按比例做圖和非正式的幾何做圖，解決二維和三維圖形中涉及面積、表面積和體積問題;基于樣本對總體做出推論。

8年級:經(jīng)歷推理，建立代數(shù)式和方程，包括在雙變量數(shù)據(jù)之間利用線性方程建立關(guān)聯(lián)模型，并學(xué)會求解線性方程和線性方程組;掌握函數(shù)概念，能夠利用函數(shù)來描述定量關(guān)系;使用距離、角度、相似、全等，分析二維和三維空間和圖形，理解并運(yùn)用勾股定理解決問題。

(三)高中數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)

高中的標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模，使用數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)對實(shí)驗(yàn)情景進(jìn)行分析、優(yōu)化理解、改進(jìn)決策。為給學(xué)生進(jìn)入大學(xué)或走向社會打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，高中課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定了所有學(xué)生應(yīng)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)。

1．?dāng)?shù)與量

數(shù)與數(shù)系:從幼兒園到八年級，學(xué)生不斷地?cái)U(kuò)展他們的數(shù)量概念。在8年級，學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)與無理數(shù)形成實(shí)數(shù);在高中，學(xué)習(xí)虛數(shù)，由實(shí)數(shù)和虛數(shù)組成復(fù)數(shù)。量:在高中，學(xué)生遇到更多的單位數(shù)，如加速度、貨幣折算率、人均收入、平均每場比賽得分、擊球平均數(shù)等等都與量有切實(shí)的關(guān)聯(lián)。另外，量化在科學(xué)研究中也是一個重要的方法。

2．高中代數(shù)

代數(shù)式:理解括號的使用規(guī)則和運(yùn)算順序，確保每一個代數(shù)式是明確的。創(chuàng)建一個從具體事例中抽象出來的表達(dá)式。閱讀與理解表達(dá)式，分析其基本結(jié)構(gòu)。理解同一個表達(dá)式可以表示出不同的意義。方程與不等式:有些方程給定的數(shù)系范圍沒有解，但在一個較大的數(shù)系范圍就有解。可以將解方程的方法遷移到解不等式的過程中。

兩個人說著，吃完喝完之后，打的來到付玉的住處，這個小區(qū)并不靠海，在金牛嶺的后面。付玉住在一棟樓的八樓。

3．高中函數(shù)

能夠利用函數(shù)表達(dá)式解釋許多重要現(xiàn)象，其中線性函數(shù)和指數(shù)函數(shù)是比較重要的兩個函數(shù)。包括遞歸定義的函數(shù)在內(nèi)，一個繪圖工具或計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)可用于這些函數(shù)的性質(zhì)及其圖像的研究，并建立函數(shù)的計(jì)算模型。

4．高中建立數(shù)學(xué)模型

模型設(shè)計(jì)取決于多項(xiàng)因素:創(chuàng)建和分析模型受數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)和技術(shù)水平的制約，也涉及到如何識別變量以及它們之間的關(guān)系等因素。數(shù)學(xué)模型見解之一，就是基于看似不同的現(xiàn)實(shí)情境，卻可以構(gòu)建本質(zhì)上相同的數(shù)學(xué)或統(tǒng)計(jì)模型結(jié)構(gòu)。

5．高中幾何

高中幾何開始學(xué)習(xí)更精確的定義并開展演繹證明。學(xué)生可以從幾何變換角度理解全等、相似、對稱性的概念。理論基礎(chǔ)是剛性的運(yùn)動:平移、旋轉(zhuǎn)、反射以及這些變換的組合都是以假設(shè)保持距離和角度不變?yōu)榍疤岬?。反射和旋轉(zhuǎn)具有特定類型的對稱性，如等腰三角形具有反射對稱性，它的底角是全等的。學(xué)會運(yùn)用判斷三角形全等的公理以及判斷三角形相似的公理。利用勾股定理，定義角的正弦、余弦和正切。再將勾股定理推廣到一般三角形的余弦定理。

《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)了概率與統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，有多達(dá)50個條目涉及概率、統(tǒng)計(jì)的相關(guān)內(nèi)容?；跀?shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)為描述變異性提供工具，以便人們做出決定。從收集、展示、概括、檢驗(yàn)的數(shù)據(jù)中，解釋發(fā)現(xiàn)的模型和偏差。利用概率模型，人們可以數(shù)學(xué)化地描述隨機(jī)過程:一個列表或相應(yīng)結(jié)果(樣本空間)的描述，實(shí)際上就涉及概率問題。

二、《標(biāo)準(zhǔn)》旨在實(shí)現(xiàn)如下特征

發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)的實(shí)踐能力?！稑?biāo)準(zhǔn)》特別強(qiáng)調(diào):所有的學(xué)生都需要發(fā)展數(shù)學(xué)的實(shí)踐能力，如解決問題、建立關(guān)聯(lián)、理解數(shù)學(xué)思想的多種表征、證明推理等;所有學(xué)生都了解數(shù)學(xué)內(nèi)容的概念性知識和程序性知識，以及掌握兩類知識之間的聯(lián)系;課程材料應(yīng)根據(jù)有關(guān)兒童如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的研究來組織安排預(yù)期的學(xué)習(xí)進(jìn)程;在整個數(shù)學(xué)課程中，所有的學(xué)生都有機(jī)會進(jìn)行推理，并讓他們相信數(shù)學(xué)是睿智的、賦有價(jià)值并切實(shí)可行的?！稑?biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模的思想，識別模式或結(jié)構(gòu)的能力，這是NCTM所沒有涉及的。同樣NCTM中倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)交流，《標(biāo)準(zhǔn)》也未提及。

強(qiáng)調(diào)理解數(shù)學(xué)。能夠?qū)?shù)學(xué)論斷(mathematical statement)為何為真、記憶數(shù)學(xué)規(guī)則的來源進(jìn)行判斷。例如，能夠記得乘法公式(a+b)(x+y)展開規(guī)則，能解釋這個規(guī)則是如何而來的。強(qiáng)調(diào)理解有助于解決不熟悉的問題，理解數(shù)學(xué)算理，并在相似的任務(wù)中，會有更多成功的機(jī)會。數(shù)學(xué)理解和程序性的技能同樣重要，這兩者都可以通過繁復(fù)的數(shù)學(xué)任務(wù)予以評價(jià)。

技術(shù)對數(shù)學(xué)產(chǎn)生巨大的影響。數(shù)學(xué)工具(或數(shù)學(xué)技術(shù))的使用并不鮮見，在我國的課程標(biāo)準(zhǔn)中也有相關(guān)要求，但將其提升到核心的數(shù)學(xué)能力的組成維度無疑是突破性的。這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)技術(shù)發(fā)展(特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展的支持)對于數(shù)學(xué)家工作方式及數(shù)學(xué)思維方式的重要影響，同時(shí)這種影響也體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育中。這是數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)教育基礎(chǔ)平臺的典型例子。

三、明確美國中小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)內(nèi)涵

有問題意識，并能堅(jiān)持不懈地解決問題。具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)(Mathematically proficient)的學(xué)生往往表現(xiàn)出諸如能夠自我解釋一個問題的含義并積極尋求解決問題的突破點(diǎn);分析已知條件、限制條件、聯(lián)系性和目標(biāo);猜測多種問題解決形式并設(shè)計(jì)解決問題的路徑，而不是簡單地只嘗試一種解決問題的方法;考慮相似的問題，嘗試特殊案例并簡化原始問題的形式以獲取解決方案;監(jiān)控、評價(jià)自己解決問題的進(jìn)展過程，并在需要時(shí)做出改變等能力?；趩栴}的背景，高年級學(xué)生會轉(zhuǎn)換代數(shù)式或利用圖形計(jì)算器的圖形表示它們，以獲得需要的信息。

抽象、量化地思考。具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生能理解問題情境中的數(shù)和數(shù)量關(guān)系。解決涉及的數(shù)量關(guān)系時(shí)，能力得到互補(bǔ):脫離情境研究問題的能力——將給定情境抽象化，并利用符號表示;另一能力是融入情境研究問題的能力——在解題過程中，如需要就停下來考察符號所代表的指示物。量化的思考涉及數(shù)量單位、關(guān)注數(shù)量的含義，而不是僅僅計(jì)算，并能夠熟練地使用不同運(yùn)算性質(zhì)研究問題。

構(gòu)建切實(shí)可行的論證，評判他人的推理。在論證問題過程中，具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生能夠理解并使用已知條件、定義和以前得到的結(jié)果。能夠提出猜測，并建立合乎邏輯的證明來探究猜測的真實(shí)性。能把原問題分解成若干小問題，并能夠利用反例進(jìn)行論證。證明自己的結(jié)論是正確的，能與其他人溝通并回答其他人的疑問。

建立數(shù)學(xué)模型。具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生能應(yīng)用他們掌握的數(shù)學(xué)知識來解決在日常生活中、社會上和生產(chǎn)實(shí)踐中出現(xiàn)的問題。在低年級，這可能如列出個加法等式來描述一個情景一樣簡單。在中年級，一個學(xué)生會應(yīng)用比例推理來規(guī)劃學(xué)?；顒踊蚍治鲆粋€社區(qū)問題。到了高年級，一個學(xué)生可以用幾何理論解決一個設(shè)計(jì)問題或者用函數(shù)來解釋投資中的一個量決定另一個量的關(guān)系。具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)、能應(yīng)用其掌握的知識的學(xué)生，可以提出假設(shè)，并能將復(fù)雜情況簡單化，同時(shí)意識到將來還要改進(jìn)這些方案。在實(shí)際情況中找出重要的數(shù)量，能夠使用圖形、雙向表格、圖表、流程圖和公式等建立數(shù)量之間的關(guān)系。可以從數(shù)學(xué)的角度分析這些關(guān)系的特征，進(jìn)而得出結(jié)論。經(jīng)?；诂F(xiàn)實(shí)情境解釋數(shù)學(xué)結(jié)論。

策略地使用適合的工具。解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生會考慮可利用的工具。這些工具包括鉛筆和紙、具體的模型、尺子、量角器、計(jì)算器、電子數(shù)據(jù)表、計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)、統(tǒng)計(jì)包，或者是動態(tài)幾何軟件。當(dāng)需要某個工具時(shí)，具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生利用適合他們的工具來做出正確的結(jié)論，同時(shí)認(rèn)識到使用工具的好處和局限。

關(guān)注精確性。具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生嘗試準(zhǔn)確地表達(dá)想法。在同他人討論中，試圖在自己的說明中使用簡潔的解釋。陳述自己所選擇符號的含義，包括恰當(dāng)?shù)厥褂玫忍?。關(guān)注特殊的度量單位，并畫出數(shù)軸來闡明問題中相對應(yīng)的數(shù)量。在低年級，學(xué)生能夠彼此之間認(rèn)真解釋對問題的理解。到升入高中，學(xué)會檢查自己的論斷。

在重復(fù)的推理中，探求并表達(dá)規(guī)律。具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生認(rèn)識到如果可以重復(fù)計(jì)算，既可找到一般的方法又可以找到計(jì)算的捷徑。解決問題時(shí)，具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生一直關(guān)注問題解決的全過程，而不是只考慮其中的某些細(xì)節(jié)，并會不斷地評估中間結(jié)果的合理性。

四、《標(biāo)準(zhǔn)》評析

尋找教學(xué)指導(dǎo)與教師的教學(xué)創(chuàng)造之間的平衡態(tài)。該《標(biāo)準(zhǔn)》只是數(shù)學(xué)課程體系的一個起始點(diǎn)，只描述了學(xué)生在理解和使用兩個維度需要到達(dá)的程度，并未過多涉及教學(xué)過程、教學(xué)方法等方面的問題，這在一方面給予了學(xué)校、教師及教材編寫者更大的進(jìn)行課程和教學(xué)實(shí)踐研究的空間，但同時(shí)較少涉及教學(xué)過程、教學(xué)方法的指導(dǎo)，這樣難免會造成缺少通過教學(xué)過程、教學(xué)方法承載課程理念的環(huán)節(jié)，進(jìn)而無法完全實(shí)現(xiàn)課程與教學(xué)的統(tǒng)一。

標(biāo)準(zhǔn)的研制工作與國際基準(zhǔn)的差距?！稑?biāo)準(zhǔn)》中許多有關(guān)算術(shù)與運(yùn)算、位值制內(nèi)容的呈現(xiàn)遠(yuǎn)比排名靠前的國家的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)要滯后一、兩年甚至更多。也就是說美國學(xué)生學(xué)到的數(shù)學(xué)程度要低于其它國家同年級的學(xué)生，因此無法證明共同標(biāo)準(zhǔn)與排名靠前國家的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)處于同一水平。

幾何內(nèi)容的設(shè)計(jì)尚需教學(xué)實(shí)踐的檢驗(yàn)?！稑?biāo)準(zhǔn)》在代數(shù)方面的內(nèi)容，特別是對于幫助學(xué)生進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、代數(shù)思想的理解方面下了一定的功夫，這無疑為其它數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)(如函數(shù)、解析幾何)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。而對于改革的關(guān)注點(diǎn)——幾何，《標(biāo)準(zhǔn)》采用了變換幾何作為主要證明工具的方式。對幾何部分內(nèi)容的處理方法很是罕見，比如，它用歐氏幾何及其拓展內(nèi)容來定義全等和相似的概念，并有一定的定理證明的要求。從數(shù)學(xué)上來說，這一做法是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，但一般認(rèn)為只有到大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的幾何課上才會用此方法。該部分內(nèi)容的設(shè)計(jì)尚需教學(xué)實(shí)踐的檢驗(yàn)。

［1］The National Governors Association Center for Best Practices(NGA Center)and the Council of Chief State School Officers(CCSSO)．Common Core State Standards for Mathematics［DB/OL］．http://www．maine．gov/education/lres/math/standards．html

［2］楊光富．美國首部全國《州共同核心課程標(biāo)準(zhǔn)》解讀［J］．課程·教材·教法，2011(3)．

Interpretation of the Common Core State Standards for Mathematics of the US

FAN Wengui1，LI Weihua2

(1．Primary Education College，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China;
2．Fushun Teachers College，F(xiàn)ushun Liaoning 1130061，China)

The National Gvoernors Association Center for Best Practices and The Council of Chief State School Office released theCommon Core State Standards for Mathematics．The standards include teaching contents of kindergarten，grade 1 －8，and senior high school，whose characteristics are as follows:develop practical ability of students;emphasize understanding of mathematics;technology plays an important role in mathematics;definite the mathematical proficiency of American primary and secondary students．There is gap between the development work of Standards and international benchmarks;design of the content of geometric still needs to test in teaching practice．

the USA;Common Core State Standards for Mathematics;mathematical proficiency

2011－12－11

范文貴，天津師范大學(xué)初等教育學(xué)院教授，博士，碩士研究生導(dǎo)師;李偉華，撫順師范高等?？茖W(xué)校初教二系講師，碩士。

［責(zé)任編輯:崔一心］