淺析函數(shù)的定義域

郭君琴

（定襄中學(xué)校，山西 忻州 035400）

函數(shù)是一種對應(yīng)關(guān)系，是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的對應(yīng)。對應(yīng)法則、定義域、值域是函數(shù)的三要素。而值域由定義域和對應(yīng)法則唯一確定，由此可以看出定義域的重要性。以下筆者從兩方面談?wù)労瘮?shù)的定義域：一是函數(shù)的定義域怎么求；二是定義域的重要性。

我們首先來談第一個問題，定義域怎么求？定義域是自變量x的取值范圍，有3種情況：

（1）如果給的是具體函數(shù)，只要建立一個關(guān)于自變量x的一個不等式組，求其解即可。

（2）如果是實(shí)際問題，除函數(shù)解析式有意義外，還應(yīng)考慮自變量取值的實(shí)際意義；如某單位計(jì)劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)關(guān)系式？

解：設(shè)矩形的長為xm，則寬為（50-x）m，由題意得：

函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x）

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量的范圍。因?yàn)楫?dāng)自變量取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量的范圍：（0，50）。

（3）如果是抽象函數(shù)該怎么辦呢？抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體的函數(shù)表達(dá)式的函數(shù)，由于其表現(xiàn)形式的抽象性，使得定義域的求解難度增大，解題思路不明顯，做起題來感覺很困難。

事實(shí)上，只要抓住兩點(diǎn)就能使該問題很明朗。第一，函數(shù)定義域的概念：是自變量的取值范圍，所以y=f[g（x）]的定義域依舊是x的范圍，而不是中間變量g（x）范圍。第二,函數(shù)的精髓：f（x）中的x可以用任意數(shù)或式替換（在給定范圍內(nèi)），但替換部分應(yīng)與x取值相同，即范圍相同。所以，y=f[g（x）]中的 g（x）的取值范圍與f（x）中的x的取值范圍是相同的。抓住此兩條，抽象函數(shù)求定義域的問題就會不攻而破。

例1：f（x）定義域?yàn)閇-1，1]，求y=f（1-x2）定義域。

分析：求y=f（1-x2）的定義域就是求y=f（1-x2）中自變量x的范圍，因?yàn)閒（1-x2）中的1-x2與f（x）中x的范圍一致，所以-1≤1-x2≤1。解不等式得，即函數(shù)的定義域?yàn)閇-

例2：y=f（3-2x）定義域?yàn)椋?1，2），求f（x）定義域。

分析：f（x）中x與y=f（3-2x）中3-2x的范圍一致。因?yàn)閥=f（3-2x）定義域?yàn)椋?1，2），所以由-1＜x＜2 推出 -1＜3-2x＜5。所以f（x）定義域?yàn)椋?1，5）。

接下來我們談第二個問題，即函數(shù)定義域的重要性。函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂，研究函數(shù)性質(zhì)時，一定要從定義域出發(fā)。定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域是函數(shù)的三要素，定義域不同，函數(shù)就不同。所以，離開定義域研究函數(shù)是沒有任何意義的。下面筆者就此舉幾個日常容易犯錯誤的幾個例子。

例3：已知函數(shù)y=x2-4x+6，在下列條件下分別求值域。

（1）x綴{-1，0，1，3，4} （2）x綴R （3）x綴（1，5] （4）x綴（2，5）

分析：同一對應(yīng)關(guān)系下，定義域不同，函數(shù)就不是同一個函數(shù)，值域就很可能不同。

在（1）中，定義域只包含幾個孤立的數(shù)，相應(yīng)的值域也是由幾個孤立的數(shù)構(gòu)成。這幾個數(shù)是由自變量x的取值通過對應(yīng)關(guān)系計(jì)算得到的，于是值域?yàn)閧11、6、3}。

在（2）中，定義域?yàn)?R，函數(shù)在（-∞，2）上是減函數(shù)，在(2，+∞)上是增函數(shù)。當(dāng)x=2時，函數(shù)有最小值，值域?yàn)椋篬2，+∞)。

在（3）中，區(qū)間內(nèi)包含對稱軸，對稱軸左側(cè)函數(shù)為減函數(shù)，右側(cè)為增函數(shù)，所以當(dāng)x=2時，函數(shù)有最小值。而在離對稱軸較遠(yuǎn)的x=5的位置有最大值，值域?yàn)閇2，11]。

在（4）中，區(qū)間在對稱軸右側(cè)，函數(shù)為增函數(shù)，所以f（2）＜y＜f（5），值域?yàn)椋?，11）。

方法總結(jié)，雖然函數(shù)解析式相同，但定義域不同值域可能就不一樣，因此，求函數(shù)值域不是簡單地代區(qū)間端點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，每一類題目都有不同的解題方法。當(dāng)無章可循時，可考察其單調(diào)性，利用單調(diào)性求值域是一種很好的方法。

事實(shí)上，函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞），不關(guān)于原點(diǎn)對稱，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

由上述幾個例子可以看出，定義域是解決函數(shù)問題時首先要考慮的問題，一定要以定義域優(yōu)先為準(zhǔn)則，避免不必要的錯誤。

總的來說，我們不僅要會求函數(shù)的定義域，而且在解決函數(shù)問題時要先考慮定義域，一定要從定義域出發(fā)。