非線性反應(yīng)擴(kuò)散問題兩網(wǎng)格混合有限元法的數(shù)值分析

楊繼明，李 熙

（湖南工程學(xué)院 理學(xué)院，湘潭411104）

0 引 言

反應(yīng)擴(kuò)散方程在實際生產(chǎn)和科研中有許多應(yīng)用，水文、物理、化學(xué)、生物學(xué)和人口動力學(xué)中眾多的數(shù)學(xué)模型就是反應(yīng)擴(kuò)散方程，這類方程描述了水污染、地下水滲流、污染物遷移等諸多現(xiàn)象，所以研究這類方程的數(shù)值解法具有重要的現(xiàn)實意義.在許多情況下，不但需要求出函數(shù)值，而且其導(dǎo)數(shù)值也是很重要的量，需要盡量提高離散解精度，所以人們往往選擇用混合有限元方法來求解此類問題，并做了一些理論研究.但由于這類問題離散后得到的非線性系統(tǒng)求解比較困難，需要采用高效的數(shù)值算法.兩重網(wǎng)格算法就是其中的一種.

文獻(xiàn)［1］最先提出兩重網(wǎng)格算法（1949年），求出非線性問題在粗網(wǎng)格上的解以后，再利用Taylor展式將粗網(wǎng)格上的解外推到細(xì)網(wǎng)格上去.文獻(xiàn)［2］將兩重網(wǎng)格算法結(jié)合特征線法用于求解對流占優(yōu)的對流擴(kuò)散問題，極大地提高了計算效率.陳艷萍教授［3－4］等對一類非線性反應(yīng)擴(kuò)散問題給出了混合有限元方法的兩重網(wǎng)格算法.但關(guān)于兩重網(wǎng)格算法數(shù)值實現(xiàn)的文獻(xiàn)較少.本文將兩重網(wǎng)格算法用于一類更復(fù)雜的非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程，構(gòu)造兩網(wǎng)格混合有限元算法并從數(shù)值角度進(jìn)行分析.

1 混合有限元法

考慮滲流力學(xué)中的下列非線性反應(yīng)擴(kuò)散問題

其中Ω?R2為有界凸區(qū)域，pt＝?P／?t，J＝（0，T］.K為對稱的一致正定張量，即存在兩個正常數(shù)K＊和K＊使得對于任意的z∈R2，有K＊‖z‖2≤zTK（x）z≤K＊‖z‖2，x∈Ω.p未知，f為已知的二次連續(xù)可微函數(shù).

采用混合有限元方法進(jìn)行離散.

設(shè)L2（Ω）為Ω 中平方可積函數(shù)的集合，（L2（Ω））2為每個分量在L2（Ω）中的二維向量函數(shù)空間，H（Ω，div）為（L2（Ω））2中散度仍在L2（Ω）中的向量空間.設(shè)V＝H（Ω，div），W＝L2（Ω）.記Vh和Wh分別為V和W 的離散子空間.Vh和Wh分別采用標(biāo)準(zhǔn)的混合有限元空間即k階的RT空間［5］或k階的Brezzi－Douglas－Marni空間（BDM）［6］.

設(shè)置變量u＝－K2p，則問題（1）的解（p，u）∈W×V即為下列變分問題的解：

令

在t＝tn時刻，（2）可以改寫為：

于是，離散時間的混合有限元格式為：尋找（pnh，unh）∈Wh×Vh使得

2 兩網(wǎng)格混合有限元算法

非線性系統(tǒng)（3）一般采用牛頓迭代法求解，在每一個時間層上都需要進(jìn)行若干次迭代運(yùn)算.我們采用兩重網(wǎng)格算法.

設(shè)Vh×Wh和VH×WH?Vh×Wh為網(wǎng)格尺寸分別為h和H（h＜H＜1）的擬一致網(wǎng)格剖分上的混合有限元空間.

給出如下的兩網(wǎng)格混合有限元算法.首先在粗網(wǎng)格上求解非線性方程組，然后在細(xì)網(wǎng)格上執(zhí)行一次牛頓迭代，求解的是線性代數(shù)系統(tǒng).

第一步：在粗網(wǎng)格上求解非線性系統(tǒng)求得解

3 數(shù)值實驗分析

考慮下面的非線性反應(yīng)擴(kuò)散問題：

表1 兩網(wǎng)格混合有限元方法的誤差和計算時間

表2 混合有限元方法的誤差和計算時間

從以上數(shù)據(jù)可以看出，為了達(dá)到相同的精度階數(shù)，兩網(wǎng)格混合有限元方法比單純的混合有限元方法計算的速度更快，效率更高.

對于非線性反應(yīng)擴(kuò)散問題，混合有限元法離散后的代數(shù)系統(tǒng)，需要采用比較耗時的非線性迭代運(yùn)算求解.兩網(wǎng)格算法引入后，我們只要在粗網(wǎng)格上進(jìn)行非線性迭代，在所需求解的細(xì)網(wǎng)格上進(jìn)行的只是線性運(yùn)算，這樣便節(jié)約了大量計算時間，使計算效率大大提高.

［1］ Xu J.A Novel Two Grid Method for Semilinear Elliptic equations［J］.SIAM J Sci Comp，1994，15：231－237.

［2］ Qin X Q.Two Grid Method for Characteristics Finite Element Solution of 2DNonlinear Convection Dominated Diffusion Problem［J］.Applied Mathematics and－Mechanics，2005，26（11）：1506－1514.

［3］ Chen Y P，Liu H W，Liu S.Analysis of Two－Grid Methods for Reaction－Diffusion Equations by Expanded Mixed Finite Element Methods［J］.Int J Numer Meth Engng，2007，69：408－422.

［4］ Chen L，Chen Y P.Two－Grid Method for Nonlinear Reaction－Diffusion Equations by Mixed Finite Element Methods［J］.J Sci Comp，2011，49（3）：383－401.

［5］ Raviart PA，Thomas TM.A Mixed Finite Element Method for Second Order Elliptic Problems［M］.In Mathematical Aspects of FEM，Lecture Notes in Mathematics，Springer：Berlin，1977，292－315.

［6］ Brezzi F，Douglas Jr J，Marini LD.Two Families of Mixed Finite Elements for Second Order Elliptic Problem［J］.Numerische Mathematik，1985，47：217－235.