滑坡概率分析中降雨的聯(lián)合概率結構

范文亮，陳朝暉，李正良，余德祥，王 清

（1.重慶大學a.土木工程學院；b.山地城鎮(zhèn)建設與新技術教育部重點實驗室，重慶400045；2.重慶市沙坪壩區(qū)氣象局，重慶400030）

滑坡是常見的地質災害，其形成除與邊坡自身的巖土特性有關外，尚取決于許多外部觸發(fā)因素，如地震、降雨和邊坡的不合理開挖等。其中，由降雨觸發(fā)的滑坡（即降雨型滑坡）在世界上分布最廣，發(fā)生頻率最高，給人類造成的危害最大［1］。因此，降雨型滑坡的預測是防災減災工程的主要內容之一。

降雨型滑坡預測方法主要分為2類：基于過程的預測模型（亦稱為物理模型）和經(jīng)驗模型。雨水滲入導致巖土體內的孔隙壓力增大、有效應力減小和巖土體的抗剪強度降低是降雨型滑坡發(fā)生的主要機制［1］。滑坡預測的物理模型則從上述機制出發(fā)判斷滑坡的狀態(tài)，即充分考慮降雨數(shù)據(jù)、降雨入滲過程及其對巖土體的影響，結合巖土體滑坡的穩(wěn)定性分析，最終確定引發(fā)滑坡的降雨量，從而判定滑坡是否發(fā)生［2－9］。然而，該模型所需輸入信息，如局部地形條件、巖土的力學參數(shù)和水文學參數(shù)等都很難準確獲得，阻礙了該模型的實際應用［10］。經(jīng)驗模型則部分體現(xiàn)了滑坡產(chǎn)生的機制，僅通過對降雨和滑坡的歷史數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計給出滑坡的降雨閾值。模型不同，降雨閾值所采用的控制變量亦不相同，所適用的地區(qū)亦不相同。但由于簡便易行，經(jīng)驗模型是目前滑坡預測中最為實用的方法。

本質上，無論是物理模型還是經(jīng)驗模型，均是通過將降雨數(shù)據(jù)和滑坡的降雨閾值進行對比來判定滑坡的發(fā)生與否，只不過前者的降雨閾值是基于物理機制分析得到的，而后者則是通過經(jīng)驗統(tǒng)計給出的。借鑒可靠度理論的概念，滑坡概率Pf可表示為

式中：Pr｛·｝表示事件發(fā)生的概率；R表示當前降雨數(shù)據(jù)，類似于可靠度分析中的效應；［R］表示降雨閾值，類似于可靠度分析中的抗力。然而，由于降雨型滑坡影響因素的復雜性，很難由單一控制變量判定，因此R和［R］均為向量，而在可靠度分析中，效應和抗力均為標量。

目前，關于降雨型滑坡的研究主要集中于降雨與滑坡的關系、降雨的入滲和邊坡的穩(wěn)定性分析方面［11－16］，即更多地關注［R］，對于降雨數(shù)據(jù)R的概率描述鮮有研究涉及。筆者力圖針對重慶地區(qū)的歷年降雨數(shù)據(jù)，建立可用于重慶地區(qū)滑坡概率預測的降雨特征的概率模型。

欲建立R的概率模型，必須先將其具體化，明確其分量。文獻［10］詳細列舉了各研究者曾經(jīng)使用過的控制變量，包括日降雨量、前期累計降雨量、降雨強度和降雨持時等共25種。結合文獻［13］和［17］，筆者取日降雨量和前期累計降雨量為控制變量，且取10d為前期降雨的計算時間段。

1 滑坡概率分析

若記日降雨量為R1，10d累計降雨量為R10，與之對應的閾值分別為 ［R1］、［R10］，那么式（1）可改寫為式（2）。

值得指出的是，現(xiàn)有研究中關于R1、R10的處理方式是截然不同的。日降雨量往往用降雨等級表示，即將R1視為離散變量，而10d累計降雨量則采用真實的數(shù)據(jù)，即R10視為離散變量，然后根據(jù)日降雨量的不同等級再結合10d累計降雨量的具體數(shù)值判定滑坡狀態(tài)。

一般而言，根據(jù)日降雨量大小可分為4個等級，即等級1（小雨，R1∈［0，10）mm）、等級2（中雨，R1∈［10，25）mm）、等級3（大雨，R1∈［25，50）mm）和等級4（暴雨，R1∈［50，∞）mm）。若記第i個降雨等級為Ei，那么式（2）可進一步改寫為

式中：Ωf，i表示R10｜Ei＞ ［R10］｜Ei所代表的區(qū)域；p（·）表示概率密度函數(shù)；Pr｛Ei｝為降雨等級的頻度函數(shù)。

欲獲取R10｜Ei和［R10］｜Ei的聯(lián)合概率密度函數(shù)非常困難?？紤]到［R10］｜Ei的影響因素除降雨外，尚包含局部地形參數(shù)、巖土力學參數(shù)等，而且降雨對［R10］｜Ei的影響通過Ei亦剝離了一部分，因此，為簡便實用，通?？杉俣≧10｜Ei和［R10］｜Ei相互獨立，于是式（3）可簡化為式（4）。

若已知 Pr｛Ei｝·pR10｜Ei（y）和p［R10］｜Ei（z），則滑坡概率計算頗為簡單。本文則著重于關注Pr｛Ei｝·pR10｜Ei（y）的獲取。由于Pr｛Ei｝·pR10｜Ei（y）描述了2個變量的聯(lián)合概率結構，但是此2變量分別為離散變量和連續(xù)變量，因此，文中將稱之為離散 連續(xù)混合變量的聯(lián)合概率結構。

2 離散 連續(xù)混合變量的聯(lián)合概率模型

由上所述，Pr｛Ei｝表示事件Ei發(fā)生的概率，pR10｜Ei（y）則表示隨機變量的條件概率密度，本質上仍屬于概率密度函數(shù)。根據(jù)降雨歷史數(shù)據(jù)可以方便地給出Pr｛Ei｝的統(tǒng)計值，但是欲較為準確地確定pR10｜Ei（y）的模型則較為困難。目前應用最為廣泛的由采樣數(shù)據(jù)確定隨機變量概率模型的方法是假設檢驗方法。該方法的優(yōu)點在于可以給出一個簡單的可用概率模型，但其確定亦是顯而易見的，即只能確定單峰的概率密度模型。然而，由于影響因素的復雜性，現(xiàn)實中的許多隨機變量并不能采用簡單的單峰，往往呈現(xiàn)出多峰性態(tài)。筆者擬由密度變換解獲得概率密度函數(shù)的近似值，然后引入混合分布模型對其進行建模，并通過回歸擬合確定關鍵參數(shù)，最后確定聯(lián)合概率模型。

2.1 累計降雨量的條件密度變換解及其數(shù)值逼近

根據(jù)概率論可得到關系式（5）。

此外，若將影響R10的所有隨機因素記為Θ，且R10＝H（Θ），那么式（5）左端項亦可按照式（6）計算，即

式中：ΩΘ為Θ的取值空間；I（θ，y）為示性函數(shù)，可表示為式（7）。

綜合式（5）～（7），經(jīng)簡單推導可有

式中，δ［·］表示Diracδ函數(shù)。

式（8）描述了在條件Ei下Θ和R10之間概率結構的變換關系，文中稱之為條件密度變換解。

式（8）形式簡單，但并不便于應用，主要體現(xiàn)于3方面：1）δ［·］屬于廣義函數(shù)，積分計算困難；2）H（·）無顯式表達式；3）Θ的條件概率密度函數(shù)未知。為此，引入正態(tài)密度函數(shù)形式的Diracδ函數(shù)序列［18］對式（8）進行數(shù)值逼近，即

2.2 混合變量的聯(lián)合概率模型

根據(jù)由式（10）獲得的條件概率密度函數(shù)計算值，可采用如下的混合分布模型對其進行建模，即［19］

式中：pj，i（r）表示pR10｜Ei（r）的混合模型的第j個分量密度，m表示分量密度的數(shù)量，aj，i為相應的組合系數(shù)。作為探索性研究，上述參數(shù)均由試算確定。

繼而，可建立日降雨量和累計降雨量的聯(lián)合概率模型pEi，R10（·）如式（12）。

于是根據(jù)式（4），滑坡概率可簡寫為式（13）。

3 重慶市日降雨量與累計降雨量的聯(lián)合概率結構建模

3.1 重慶市降雨資料及處理

重慶市氣象局提供了重慶市自1980年至2009年共30a的小時降雨數(shù)據(jù)和2003年至2009年間的分鐘降雨數(shù)據(jù)?；谝陨蠑?shù)據(jù)可獲得日降雨量和10d累計降雨量的聯(lián)合觀測樣本共10 818條。其中，日降雨等級為小雨的樣本10 007條，日降雨等級為中雨的樣本530條，日降雨等級為大雨的樣本211條，日降雨等級為暴雨的樣本70條。

需指出的是，10 007條小雨樣本中日降雨量為0且累計降雨量很小的記錄占有很大比例。一方面，這樣的降雨基本不會引起滑坡，另一方面，這些數(shù)據(jù)會極大地引起建模困難。例如，兩者均為0的樣本約占16.7%，而理論上連續(xù)隨機變量取任意值的概率均為零。為簡單且便于應用，對日降雨等級為小雨時累計降雨量的概率建模時僅考慮了累計降雨量超過20mm的數(shù)據(jù)，共3 763條。此時，E1發(fā)生時滑坡的概率為

式中：b1為未考慮樣本占E1樣本的比例，文中b1＝0.624為由剩余樣本確定的條件概率密度函數(shù)，且可類似于式（12）建立其概率模型。需指出的是，式（14）的推導中將降雨等級為小雨且累計降雨量不超過20mm的樣本處理為日降雨量和累計降雨量均為0的樣本。由于這兩類樣本均不引起滑坡，所以上述處理方式不影響滑坡概率的計算。

將式（14）代入式（4）即可獲得修正后的滑坡概率為式（15）所示。

3.2 10d累計降雨量的概率密度估計

首先，利用條件密度變換解的Diracδ逼近對降雨等級為小雨實測樣本中選取的3 763條累計降雨量超過20mm的樣本子集進行累計降雨量的概率密度估計，結果如圖1所示。為驗證密度估計的準確性，將其與頻數(shù)直方圖和經(jīng)驗累積分布函數(shù)進行了對比。圖1（a）和（b）分別表示與等間距直方圖和等頻數(shù)直方圖的對比，其中等頻數(shù)直方圖分10個等頻率區(qū)間，圖1（c）表示與經(jīng)驗累積分布函數(shù)的比較，下同。不難發(fā)現(xiàn)，計算結果和三者均吻合良好。

圖1 日降雨等級為小雨時累計降雨量的概率密度函數(shù)

類似地，可給出降雨等級為中雨、大雨和暴雨時的密度估計，結果分別示于圖2～4。通過與直方圖、經(jīng)驗累積分布函數(shù)的比較可知上述密度估計是合理且準確的。

值得注意的是，圖2中等間距直方圖和等頻數(shù)直方圖在累計降雨較小時存在著顯著差異，甚至體現(xiàn)于圖形趨勢上。究其原因在于此區(qū)間存在大量樣本，在等間距直方圖內均位于同一條帶內，不能描述出更精細的概率變化；而等頻數(shù)直方圖可以較好地彌補了這一缺陷。

圖2 日降雨等級為中雨時累計降雨量的概率密度函數(shù)

3.3 10d累計降雨量的混合分布概率模型

顯然，上述密度估計值是不便于應用的，為此需建立解析的概率模型。

圖3 日降雨等級為大雨時累計降雨量的概率密度函數(shù)

圖4 日降雨等級為暴雨時累計降雨量的概率密度函數(shù)

首先，采用常用的概率模型對其進行建模。由于累計降雨量存在明顯的邊界（即≥0），因此，可嘗試用對數(shù)正態(tài)分布和3參數(shù)Weibull分布對其進行建模，建模準則為均值和標準差一致。將不同降雨等級的建模結果與直方圖、密度估計結果進行對比，分別示于圖5～8，其中（a）圖均為與等間距直方圖的比較，（b）圖則為與等頻數(shù)直方圖的比較。

由圖5可知，3參數(shù)Weibull分布可以很好地描述降雨等級為小雨時的累計降雨量條件概率密度函數(shù)，其概率密度函數(shù)為

此模型的累積分布函數(shù)與經(jīng)驗累積分布函數(shù)的比較示于圖9，吻合良好。

圖5 日降雨等級為小雨時累計降雨量的概率密度函數(shù)計算值與對數(shù)正態(tài)分布和Weibull分布的比較

圖6 日降雨等級為中雨時累計降雨量的概率密度函數(shù)計算值與對數(shù)正態(tài)分布和Weibull分布的比較

圖7 日降雨等級為大雨時累計降雨量的概率密度函數(shù)計算值與對數(shù)正態(tài)分布和Weibull分布的比較

圖8 日降雨等級為暴雨時累計降雨量的概率密度函數(shù)計算值與對數(shù)正態(tài)分布和Weibull分布的比較

圖6和圖7表明此2種情形對數(shù)正態(tài)分布較Weibull分布更接近于計算結果，但效果均不理想；圖8表明降雨等級為大暴雨時無論是對數(shù)正態(tài)分布還是Weibull分布均與實際分布相差太遠。為此需要采用式（11）所描述的混合模型對此三者進行建模。

根據(jù)試算，可得到降雨等級分別為中雨、大雨和暴雨時累計降雨量的混合模型分別為式（17）、（18）、（19）。

圖9 日降雨等級為小雨時模型的累積分布函數(shù)與經(jīng)驗累積分布函數(shù)的比較

各模型與相應的直方圖以及經(jīng)驗累積分布函數(shù)的比較示于圖10～12。不難發(fā)現(xiàn)，較常用的單峰概率模型，混合模型的建模效果更為理想。

圖10 日降雨等級為中雨時模型與等間距直方圖、等頻數(shù)直方圖和經(jīng)驗累積分布函數(shù)的比較

圖11 日降雨等級為大雨時模型與等間距直方圖、等頻數(shù)直方圖和經(jīng)驗累積分布函數(shù)的比較

圖12 日降雨等級為暴雨時模型與等間距直方圖、等頻數(shù)直方圖和經(jīng)驗累積分布函數(shù)的比較

3.4 聯(lián)合概率模型

由式（12）可知，欲建立日降雨量與累計降雨量的聯(lián)合概率結構，除累計降雨量的條件概率密度模型外，尚需確定Pr｛Ei｝。根據(jù)降雨實測數(shù)據(jù)，可統(tǒng)計出不同降雨等級的頻度函數(shù)，如表1所示。

將表1的頻度函數(shù)和第3.3節(jié)累計降雨量的條件概率密度模型代入式（12）即可得到重慶市日降雨量和累計降雨量的聯(lián)合概率模型。

表1 降雨等級的頻度函數(shù)

4 結 論

降雨型滑坡的概率分析和預測中，作為主要輸入的降雨是關鍵參數(shù)。筆者以日降雨量和累計降雨量為降雨量的控制參數(shù)，結合重慶氣象局提供的降雨觀測數(shù)據(jù)，建立了日降雨量和累計降雨量的聯(lián)合概率模型。與經(jīng)典意義上的聯(lián)合概率結構不同，文中沿用降雨型滑坡分析的習慣，將日降雨量視為離散變量，而累計降雨量為連續(xù)變量。在此基礎上導出了離散變量和連續(xù)變量的聯(lián)合概率模型和條件密度變換解及其Diracδ函數(shù)序列逼近，并提出了基于上述計算結果建立可用的聯(lián)合概率模型的思路。然后，將上述思路用于重慶市的降雨數(shù)據(jù)，建立了適用于重慶地區(qū)的日降雨量和累計降雨量的聯(lián)合概率模型。

值得指出的是，文中借鑒可靠度概念建立的滑坡概率分析方法思路清晰、簡單、直接，但相比較而言，對相關數(shù)據(jù)的要求卻更為嚴格，除了降雨量的概率模型之外，尚需獲得降雨閾值的概率結構。

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