有限單元法概述及其基本概念的分析

孫洪鐵

(中國(guó)天辰工程有限公司，天津 300400)

1 有限單元法概述

有限單元法是一種獲得工程問(wèn)題近似解的數(shù)值分析方法，它通過(guò)離散的有限個(gè)單元集合體來(lái)代替真實(shí)的結(jié)構(gòu)，通過(guò)對(duì)單元的分析，進(jìn)而得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的近似解，在工程設(shè)計(jì)中，這種近似解已能滿足工程的需要，有足夠的精確度。有限單元法是最初結(jié)構(gòu)力學(xué)中桿系結(jié)構(gòu)的矩陣位移法的一種推廣，并應(yīng)用于二維和三維問(wèn)題。然而，與桿系結(jié)構(gòu)不同，二維和三維實(shí)體沒(méi)有明顯的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，這就需要建立許多人為的節(jié)點(diǎn)，將連續(xù)體離散化為許多任意形狀的單元，用此方法，連續(xù)體便可用有限個(gè)自由度的系統(tǒng)來(lái)近似表示，并求得其近似解。

2 有限元分析過(guò)程

從求解未知量角度來(lái)看，有限元法可分為應(yīng)力場(chǎng)，位移場(chǎng)及混合場(chǎng)三種場(chǎng)變量，本文以應(yīng)用較為普遍的位移場(chǎng)為例來(lái)闡述有限元的分析過(guò)程，其主要分析步驟為:連續(xù)體的離散化，選擇位移函數(shù)，有限元模型的建立，集合離散化單元形成系統(tǒng)方程組，求解節(jié)點(diǎn)位移及通過(guò)位移計(jì)算單元的應(yīng)變和應(yīng)力。

2.1 連續(xù)體的離散化

離散化主要目標(biāo)是將物體分成充分小的單元，使得簡(jiǎn)單的位移模型即能足夠近似的表示精確解，在這個(gè)過(guò)程中，將人為通過(guò)網(wǎng)格劃分出有限個(gè)單元，單元與單元之間以節(jié)點(diǎn)相連。以二維問(wèn)題為例，節(jié)點(diǎn)的設(shè)置要遵循以下幾點(diǎn)要求:集中載荷處，分布載荷突變處，幾何形狀不連續(xù)處，材料性質(zhì)突變處，幾何形狀的凹角處等，單元的形狀主要有三角形，矩形等，三角形要求不要出現(xiàn)鈍角;矩形盡量不要采用長(zhǎng)寬比較大的矩形，否則都會(huì)影響近似解的精度。

2.2 選擇位移函數(shù)

有限元法的基本原理是分塊近似，即把所要研究的區(qū)域，分割成有限個(gè)子區(qū)域，然后假設(shè)一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)表示每個(gè)子區(qū)域中的解，這些假定的函數(shù)被稱為位移函數(shù)，位移場(chǎng)或位移模式。

一般多項(xiàng)式被作為位移函數(shù)，如二維位移函數(shù)一般為:

不僅因?yàn)槠湓谖⒎峙c積分計(jì)算中比較容易，而且任一階的多項(xiàng)式可以近似表示真實(shí)解，我們知道無(wú)限多次多項(xiàng)式與精確解相對(duì)應(yīng)，我們?cè)诓煌碾A次將其截?cái)?，就得到不同程度的近似?如圖1a)～圖1c)所示);其次有限元法作為一種數(shù)值計(jì)算，所選擇的位移函數(shù)一定要保證其收斂或趨向于問(wèn)題的精確解，必須要滿足以下三個(gè)條件:1)位移函數(shù)在單元內(nèi)必須連續(xù)，并且相鄰單元的位移必須協(xié)調(diào)。單元內(nèi)的連續(xù)性，通過(guò)選擇具備連續(xù)性的多項(xiàng)式即能滿足，相鄰單元之間的位移協(xié)調(diào)，要求單元之間不能開(kāi)裂、重疊，這要求單元邊界的位移僅與該邊界上各節(jié)點(diǎn)的位移有關(guān)。2)位移函數(shù)必須包含單元的剛體位移，即單元一定要產(chǎn)生但不引起應(yīng)力的那部分位移，如平面應(yīng)力單元會(huì)在平面內(nèi)任意方向產(chǎn)生均勻移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)而不引起應(yīng)變。在多項(xiàng)式位移函數(shù)中，常數(shù)項(xiàng)提供單元的剛體位移。3)位移函數(shù)必須包含單元的常應(yīng)變狀態(tài)，從物理上我們可以理解常應(yīng)變狀態(tài)的必要性，設(shè)想表示結(jié)構(gòu)集合體的單元越來(lái)越多，則在極限情況下，每個(gè)單元趨近于一個(gè)非常小的尺寸，單元內(nèi)的應(yīng)變接近為常量，所以位移函數(shù)中必須包含常應(yīng)變，才能使計(jì)算收斂于正確解，多項(xiàng)式一次項(xiàng)提供了單元的常應(yīng)變。以上1)條稱為有限單元的協(xié)調(diào)性;2)，3)條稱做有限單元的完備性，如單元既完備又協(xié)調(diào)，則收斂是單調(diào)的，即以某種模來(lái)度量的分析結(jié)果的精度會(huì)隨著單元數(shù)目的增加而不斷提高，如果只具備完備但不協(xié)調(diào)，則分析結(jié)果在極限時(shí)也可能收斂于“精確”結(jié)果，但一般收斂是不單調(diào)的，但在實(shí)際工程中，非協(xié)調(diào)元有時(shí)比與它密切相關(guān)的協(xié)調(diào)單元要好，原因在于采用的近似解的性質(zhì)，我們都知道，利用假定的位移函數(shù)得到的近似結(jié)構(gòu)比實(shí)際結(jié)構(gòu)要更剛一些，但由于允許單元分離，重疊使這種近似結(jié)構(gòu)變?nèi)崃耍@兩種影響相互抵消，常常得到好的結(jié)果，比如非協(xié)調(diào)元在板單元中的運(yùn)用。選擇位移函數(shù)的另一個(gè)因素，即該函數(shù)與局部坐標(biāo)系的方位無(wú)關(guān)，即在任何一組相對(duì)于單元來(lái)說(shuō)的方向固定的荷載作用下，單元的反應(yīng)(指在和單元一起移動(dòng)的坐標(biāo)系中的單元應(yīng)變能或應(yīng)變)不依賴于單元本身及它的荷載在全局坐標(biāo)xy中的方向，單元的這種性質(zhì)叫做單元的幾何各向同性或幾何不變性，對(duì)于一般的多項(xiàng)式位移函數(shù)，按帕斯卡三角形(如圖1d)所示)對(duì)稱選取即可。

圖1 位移函數(shù)

2.3 有限元模型的建立

作為位移場(chǎng)中有限單元的建立，我們所要求的是連接有限個(gè)單元體的節(jié)點(diǎn)的位移與節(jié)點(diǎn)力之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即確定單元的剛度矩陣。有限元矩陣的建立一般分廣義坐標(biāo)有限模型和等參有限元模型，前者在2.2節(jié)中位移函數(shù)式(1)我們已經(jīng)看到，其中α1，α2，α3，…，αm被稱為廣義坐標(biāo)，通過(guò)廣義坐標(biāo)將單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移與單元節(jié)點(diǎn)位移相聯(lián)系，并且通過(guò)一個(gè)非奇異矩陣來(lái)求得以節(jié)點(diǎn)位移及節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)表示的單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移。而等參有限元模型建立的基本思想是:直接通過(guò)使用插值函數(shù)(或稱形函數(shù))來(lái)得到單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移和單元節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。在實(shí)際分析中，使用等參有限元有時(shí)更為有效，可以避免在廣義坐標(biāo)計(jì)算中出現(xiàn)奇異矩陣的可能性，也減少了矩陣運(yùn)算的次數(shù);同時(shí)二次或高階等參單元既可以模擬直邊也可以模擬曲邊，在模擬曲線邊界的結(jié)構(gòu)時(shí)非常有用。然而廣義坐標(biāo)有限元模型的建立，能更好的讓我們加深對(duì)有限元法的理解，因此本文以廣義坐標(biāo)法為例來(lái)介紹有限單元模型的建立，即求解單元?jiǎng)偠染仃嚨倪^(guò)程。從推導(dǎo)方法來(lái)看，分為三類:1)直接法，該方法易于理解，適用于簡(jiǎn)單的問(wèn)題。2)變分法，把有限元?dú)w結(jié)為求泛函的極值問(wèn)題，比如固體力學(xué)中的最小勢(shì)能原理的應(yīng)用，它使有限元法建立在更加堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，擴(kuò)大了有限元法的應(yīng)用范圍。3)加權(quán)余數(shù)法，不需要利用泛函的概念，而直接從基本的微分方程出發(fā)，求出近似解，對(duì)于不存在泛函的工程領(lǐng)域，提供了有效的解決方法。

以下我們將通過(guò)比較直觀易于理解的直接法來(lái)了解一下有限元模型的建立過(guò)程，以彈性力學(xué)平面應(yīng)力問(wèn)題為例(見(jiàn)圖2):首先假定線性多項(xiàng)式為位移函數(shù)，使廣義坐標(biāo)α個(gè)數(shù)等于單元節(jié)點(diǎn)位移個(gè)數(shù):

可以寫成:

可簡(jiǎn)寫為:

此為單元內(nèi)部點(diǎn)位移與廣義坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，為了求出節(jié)點(diǎn)位移與單元內(nèi)部點(diǎn)位移的關(guān)系，需要求出節(jié)點(diǎn)位移{δ}(e)與{α}的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

三角形單元的節(jié)點(diǎn)位移可以表示為:

{δ}(e)= ［{δ1}，{δ2}，{δ3}］T=［υ1v1υ2v2υ3v3］T。

三角形單元的節(jié)點(diǎn)的力向量可以表示為:

{F}(e)= ［{F1}，{F2}，{F3}］T=［u1υ1u2υ2u3υ3］T。

我們要找到{δ}(e)與{F}(e)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，即{F}(e)=［k］(e)×{δ}(e)，其中，［k］(e)為單元的剛度矩陣。以節(jié)點(diǎn)的水平分量為例代入式(2)，可以寫成:

節(jié)點(diǎn)1:υ1=α1+α2x1+α3y1;節(jié)點(diǎn)2:υ2=α1+α2x2+α3y2;節(jié)點(diǎn)3:υ3=α1+α2x3+α3y3。

由上面三個(gè)方程，易得 α1，α2，α3;同理，通過(guò)節(jié)點(diǎn)豎直分力，可得α4，α5，α6，最終可以得到一個(gè)廣義坐標(biāo)與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式:

其中，［A］為一個(gè)只與三角形單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的矩陣。將式(5)代入式(4)，得:

至此單元內(nèi)部任意點(diǎn)位移已由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及節(jié)點(diǎn)位移表示。接下來(lái)可以求解單元的應(yīng)變與位移的關(guān)系，在彈性力學(xué)平面問(wèn)題中由:

求得:

轉(zhuǎn)換矩陣［B］是一個(gè)僅僅與三角形單元的幾何性質(zhì)有關(guān)的常量，被稱為幾何矩陣，由上式我們確定單元位移場(chǎng)的應(yīng)變狀態(tài)。

為引入單元材料性質(zhì)的影響，需要通過(guò)應(yīng)力與應(yīng)變的本構(gòu)方程，求解單元應(yīng)力:

轉(zhuǎn)換矩陣［D］被稱為彈性矩陣，對(duì)平面應(yīng)力問(wèn)題:

接下來(lái)，由單元應(yīng)力推算節(jié)點(diǎn)力，需要用到平衡方程，在有限元法中通常用虛功原理來(lái)代替平衡方程。在平面應(yīng)力問(wèn)題中虛功原理表達(dá)式為:

如圖3所示中，令實(shí)際受力狀態(tài)在虛設(shè)位移狀態(tài)上作虛功，由{ε*}=［B］{δ*}(e)得:

代入式(10)中，由于{δ*}為任意的，整理后得:

因在常應(yīng)變?nèi)切螁卧校跙］，{σ}均為常量，則:

結(jié)合式(7)及式(8)得:

其中，［k］(e)為單元的剛度矩陣。至此，我們已經(jīng)完成了單元分析，為單元的集成提供了必要的條件。

圖2 平面應(yīng)力三角形單元節(jié)點(diǎn)位移及節(jié)點(diǎn)力

圖3 平面應(yīng)力三角形單元節(jié)點(diǎn)力虛設(shè)位移

2.4 有限單元的集成及形成系統(tǒng)方程組

單元?jiǎng)偠燃傻姆椒ɑ诟饔邢迒卧w連接節(jié)點(diǎn)處的協(xié)調(diào)性要求，即有限單元在相互連接的節(jié)點(diǎn)處，必須具有相同的位移，這里的位移為廣義位移，它可以是位移、轉(zhuǎn)角。出于這種考慮，我們采用直接剛度法建立整體剛度矩陣［K］，因?yàn)閱卧獎(jiǎng)偠染仃嚕踜］(e)與整體剛度矩陣［K］的階數(shù)并不相同，需要將單元?jiǎng)偠染仃嚁U(kuò)大成與整體剛度矩陣同階數(shù)，擴(kuò)大后的矩陣叫做單元的貢獻(xiàn)矩陣，它們表示每個(gè)單元單獨(dú)變形時(shí)對(duì)整體剛度矩陣提供的貢獻(xiàn)。然后根據(jù)局部編碼和整體編碼的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)行單元?jiǎng)偠染仃嚨寞B加，節(jié)點(diǎn)荷載也采用同樣的方式進(jìn)行疊加。在有限元法中，通常在整體剛度矩陣［K］形成后，引入已知的邊界條件，而后形成可求解的有限元系統(tǒng)方程組:{F}=［K］{δ}，其中，［K］為整體剛度矩陣;{F}為結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)力;{δ}為結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移。

2.5 結(jié)構(gòu)位移及單元應(yīng)力的求解

有限元系統(tǒng)方程組一旦建立，我們可以根據(jù)適用于計(jì)算機(jī)處理的方程組的解法，如高斯消元法等，求解出結(jié)構(gòu)各有限單元節(jié)點(diǎn)處的位移，然后按式(7)及式(8)即可算出有限單元任意點(diǎn)處應(yīng)力及應(yīng)變分量，然而我們必須指出一點(diǎn)，單元的應(yīng)力并不能保證單個(gè)單元的平衡條件，即在單元的節(jié)點(diǎn)處內(nèi)應(yīng)力和所加載荷是不一定平衡的，我們通常用應(yīng)力平均值來(lái)代表單元的應(yīng)力，最常用的平均法是采用單元形心處的應(yīng)力。

3 結(jié)語(yǔ)

有限單元法現(xiàn)今已成為工程師進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析的有效工具，并可廣泛的應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，然而有限單元的分析過(guò)程，基本都是通過(guò)計(jì)算機(jī)編程來(lái)完成的，本文力求通過(guò)對(duì)有限單元的概述，使工程設(shè)計(jì)人員對(duì)其基本概念有個(gè)宏觀的認(rèn)識(shí)，以便使工程設(shè)計(jì)人員更好的使用有限元分析軟件來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

［1］龍馭球.有限元法概論［M］.北京:人民教育出版社，1979:381.

［2］R.D.庫(kù)克.有限元分析的概念和應(yīng)用［M］.何 窮，程耿東，譯.北京:科技出版社，1981.

［3］K.J.巴特，E.L.威爾遜.有限元分析中的數(shù)值方法［M］.林公豫，羅 恩，譯.北京:科技出版社，1985.