免疫系統(tǒng)Marchuk模型的定性分析

崔 誠，王 曉，肖 莉，劉安平

(中國地質大學數(shù)學與物理學院，湖北 武漢 430074)

免疫系統(tǒng)的Marchuk模型是數(shù)學免疫學中一個著名模型。關于這個模型的穩(wěn)定性文獻[1－7]已有較多的研究，但對其振動性，特別是周期振動和幾乎周期振動的討論，除文獻[8－12]外，目前尚不多見，因此，筆者就這些問題在數(shù)學理論上進行深入分析。

1 Marchuk模型

以u1、u3分別表示抗原和抗體在時刻t的濃度，u2表示等離子細胞在時刻t的濃度，由u1、u2、u3組成的微分方程組如下:

式(1)即為Marchuk模型，其中α為免疫反應系數(shù)，是t的嚴格正的連續(xù)函數(shù)，其余參數(shù)均為正常數(shù)，uiτ=ui(t－ τ)，τ ＞ 0，i=1，2，3。若以f1(t，u1，u3)，f2(t，u2，u1τ，u3τ)，f3(t，u1，u2，u3)分別表示式(1)右端相應的函數(shù)，則式(1)可簡寫為:

假定α(t)是T－周期或幾乎周期的，則fi隨α(t)關于t是T－周期或幾乎周期的，從而式(1)或式(2)又稱為周期或幾乎周期Marchuk模型。

2 周期解和幾乎周期解的存在性

不難看出，f1關于 u3單調(diào)不增，f2關于 u1τ、u3τ單調(diào)不減，f3關于u1單調(diào)不增、關于u2單調(diào)不減。由定義知fi是混合擬單調(diào)的，或說向量函數(shù)f=(f1，f2，f3)具有混合擬單調(diào)性質。

假定條件1:

由此可得到:

引理如果一階線性方程:

函數(shù)h(t)是連續(xù)T－周期或幾乎周期的，K＞0(＜0)，則式(8)有唯一T－周期解或幾乎周期解x(t)，且:

這個結論可以直接驗證。

定理1設假定條件1成立，，為式(1)的一對耦合上、下解，f=(f1，f2，f3)在 Λ = ＜，＞ 上混合擬單調(diào)且滿足式(7)，則式(1)存在唯一T－周期解或幾乎周期解

證明先證明存在性。令B=C(R)是Banach空間，取其閉凸子集是T－周期或幾乎周期的，

對任意v∈S，根據(jù)引理，可知線性方程組

有唯一T－周期解或幾乎周期解:

由此確定一個定義在S上的映射:

顯然，P是列緊算子，再由f在Λ上的混合擬單調(diào)性有P(S)?S。根據(jù)schauder不動點定理，P有不動點，即u=Pu，u(t)為式(1)的T－周期解或幾乎周期解，且u(t)∈＜^u，~u＞。

再證明唯一性。采用反證法，設u(t)，v(t)都是式(1)的 T－周期解或幾乎周期解，由于u(t)≠v(t)，因而有 t*∈R，使 u(t*)－v(t*)≠0。令yi(t)=ui(t)－vi(t)，由式(1)有:

對 ε ＞0，選取充分光滑的函數(shù) θ(t)，θ(t)=0，t≤t*，0≤θ(t)≤1，θ(t)=1，t≥t*+ ε，作如下變換:

于是式(10)變?yōu)?

從而有:

由此可得到:

其中，K=K1+K2+K3。令 t*≤t≤t*+ ε，注意到右端第二項被積函數(shù)有界，于是有:

由Gronwall不等式，可得:

注意到z(t*1+ε)=θ(t*+ε)y(t*+ε)=y(t*+ε)=u(t*+ε) －v(t*+ε)，從而 u(t*+ε)－v(t*+ε)=u(t*)－v(t*)+u(t*+ε)－u(t*)－v(t*+ε)+v(t*)=u(t*)－v(t*)+(˙u－˙v)ε

由此并利用式(12)，可得:

ε＞0充分小，該式表明u(t*)=v(t*)，與假設矛盾。從而唯一性成立。定理1證畢。

3 周期解和幾乎周期解的穩(wěn)定性

在討論穩(wěn)定性之前，先敘述定理2。

定理2若定理1的條件成立，則初值問題

該定理的證明可由參考文獻[12]中相應的定理證明方法得到。

下面討論周期解和幾乎周期解的穩(wěn)定性。由于兩者證明的方法相似，因而只給出周期解的證明。設u(t)為式(13)的解，u(t)為式(1)的T－周期解。令v(t)=u(t)－u(t)，且 u－u∈Λ，t∈[－τ，0]。由式(1)有:

由式(16)，有:

從而:

根據(jù)假定條件2，且ε＞0充分小，因此有常數(shù) q＞0，使:

定理3如果假定條件1和假定條件2成立為式(1)的一對耦合上、下解，則其T－周期解或幾乎周期解是全局漸近穩(wěn)定的。

4 結論

從以上分析可以得出:免疫系統(tǒng)的Marchuk模型方程周期解和幾乎周期解具有存在性及全局漸近穩(wěn)定性。

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