微弱信號混沌檢測方法的抗噪性能研究

孫文軍，芮國勝，張 嵩，張 洋

(1.海軍航空工程學(xué)院研究生管理大隊，山東煙臺264001;

2.海軍航空工程學(xué)院信號與信息處理山東省重點實驗室，山東煙臺264001)

0 引言

強噪聲背景下微弱信號的檢測廣泛應(yīng)用于工業(yè)故障診斷及通信信號接收等領(lǐng)域，對新技術(shù)研究及相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展具有重要的意義［1－2］。噪聲對弱信號檢測實現(xiàn)的影響是該領(lǐng)域中的一個重要課題。文獻［3］討論了高斯白噪聲對弱信號混沌檢測的影響，文獻［4］主要研究了色噪聲背景下微弱正弦信號的混沌檢測方法，文獻［5］研究了基于混沌相平面變化的微弱信號檢測算法，實現(xiàn)了信噪比為－48 dB條件下微弱信號的檢測。

應(yīng)用混沌相平面檢測算法對各種噪聲條件下系統(tǒng)的檢測性能進行了研究，對基于Duffing方程的混沌系統(tǒng)在白噪聲、色噪聲及脈沖噪聲等各種噪聲背景下的免疫性進行了仿真分析，為進一步探究混沌系統(tǒng)優(yōu)良抗噪性能的機理，降低強噪聲背景下可檢測信號的信噪比門限提供了一定的依據(jù)和借鑒。

1 基于Duffing振子的正弦信號檢測

混沌動力學(xué)系統(tǒng)主要有Duffing模型和Lorenz模型和Vanderpol模型等，其中Duffing方程研究的比較充分，在微弱信號檢測領(lǐng)域應(yīng)用廣泛［6］。Holmes型Duffing方程標(biāo)準形式如下:

式中，γcos(ωt)為系統(tǒng)內(nèi)置周期策動力，k為阻尼比，－x+x3為非線性恢復(fù)力。

基于Duffing方程構(gòu)成的混沌系統(tǒng)對周期策動力的強度γ有強烈的敏感性，在阻尼比固定的情況下，隨著周期性策動力的強度變化，系統(tǒng)將歷經(jīng)同宿軌道、分叉軌跡、混沌狀態(tài)、臨界狀態(tài)以及大尺度周期狀態(tài)等，表現(xiàn)出豐富的非線性動力學(xué)特性［7］。其中，系統(tǒng)在混沌態(tài)對應(yīng)的相圖為一定區(qū)域內(nèi)永不封閉的軌跡，在大尺度周期態(tài)對應(yīng)的相圖為封閉曲線，二者截然不同，因此，常將系統(tǒng)由混沌狀態(tài)到大尺度周期狀態(tài)的轉(zhuǎn)變作為微弱信號檢測的依據(jù)，如圖1所示(圖2均略去了過渡狀態(tài)點)。

弱信號檢測原理:將待測信號作為作為Duffing方程周期策動力的攝動，當(dāng)系統(tǒng)周期策動力γ=γd時，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。但是此時若有滿足特定條件的信號加入到系統(tǒng)中，即使信號的幅值極小，系統(tǒng)也將發(fā)生相變由混沌狀態(tài)進入大尺度周期狀態(tài)，然后根據(jù)系統(tǒng)是否發(fā)生相變來判定信號的存在與否及被測信號幅度、頻率等物理量。

2 噪聲影響分析

如果在微弱信號檢測中不考慮噪聲的影響，系統(tǒng)在混沌態(tài)和大尺度周期態(tài)下的相平面軌道都是平滑的。但是，事實上在任何信號檢測過程中，檢測過程中的噪聲都是不可避免的。

假設(shè)n(t)為檢測過程中的噪聲，添加噪聲n(t)后，系統(tǒng)檢測方程為:

分析表明，Duffing系統(tǒng)在外加周期驅(qū)動力時的平衡態(tài)為雙曲平衡態(tài)。假設(shè)系統(tǒng)檢測方程在臨界狀態(tài)下的解為x，用Δx(t)表示噪聲對系統(tǒng)檢測輸出x(t)的微小擾動，其中，假設(shè)噪聲的均值為0，方差為σ2，經(jīng)整理得出噪聲存在的情況下系統(tǒng)的隨機微分方程形式［8］:

相比系統(tǒng)檢測輸出x(t)，Δx(t)的值很小，所以略去Δx(t)的高階量，得到式(3)的矢量微分方程形式:

其中，主要矢量分別表示為:

該矢量微分方程存在一個滿足某個初始條件的唯一的解，可以表示為:

式中，Φ為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣。由于主要對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時的性能進行分析，而式(10)第1項為暫態(tài)解，將很快衰減為0，對于第2項，考慮其統(tǒng)計特性，有:

其中，

ΓYY(u，v)，ΓXX(t，s)分別表示輸入噪聲在時刻u和v，輸出噪聲在時刻t和s的相關(guān)函數(shù)矩陣。在式(11)中，令 u=v，t=s，t0= － ∞，可以得到噪聲在某時刻的均方值:

由上可以得出結(jié)論:噪聲并沒有對系統(tǒng)原軌跡產(chǎn)生根本的影響，只是使系統(tǒng)的運行軌跡變得不再光滑，在理想軌跡附近有波動，即噪聲使系統(tǒng)輸出相軌道上布滿了“毛刺”，其粗糙程度的大小由方差決定，但總體均值為零。另外，由于上述推導(dǎo)過程中對噪聲分布的問題并沒有進行限定，因而理論上，對于任意分布的平穩(wěn)隨機噪聲，基于Duffing方程的混沌系統(tǒng)都具有良好的免疫性能。

3 仿真實驗分析

(1)實驗1 混有白噪聲的正弦信號檢測

調(diào)整系統(tǒng)的內(nèi)置周期策動力強度為γ=0.80，使系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，加入高斯白噪聲并逐漸增加噪聲強度，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)仍將處于混沌狀態(tài)，如圖2(a)所示;加入混有高斯白噪聲的正弦信號，待測信號強度為0.01 V，系統(tǒng)將躍變到大尺度周期狀態(tài)，如圖2(b)所示;由于噪聲方差較小，系統(tǒng)相軌跡比較平滑，“毛刺”幾乎看不到;繼續(xù)增大白噪聲強度，系統(tǒng)軌道將變粗，“毛刺”增多，如圖2(c)所示;當(dāng)噪聲增加到一定強度時，噪聲干擾將占據(jù)主導(dǎo)地位，由系統(tǒng)相圖將無法判別系統(tǒng)是否發(fā)生相變進入了大尺度周期狀態(tài)，如圖2(d)所示。

圖2 不同信噪比下系統(tǒng)檢測相圖

系統(tǒng)可檢測信號的信噪比為:

其中，圖2(b)，圖2(c)，圖2(d)的信噪比分別為:－26 dB，－36 dB和 －46 dB。進一步的仿真實驗表明，基于Duffing方程的混沌檢測系統(tǒng)的檢測門限可達－42 dB。

(2)實驗2 混有色噪聲的正弦信號檢測

采用高斯白噪聲通過低通濾波器的方法產(chǎn)生色噪聲，其中濾波器為四階低通濾波器。系統(tǒng)傳遞函數(shù)為:

其中，通過調(diào)節(jié)濾波器參數(shù)k，可以實現(xiàn)對噪聲功率的控制。歸一化的通帶截止頻率為 ωp=0.15 Hz，阻帶起始頻率為 ωs=0.2 Hz，調(diào)整濾波器參數(shù) k，使得噪聲功率變?yōu)?.115×10－4W，待測正弦信號強度為0.01 V，加入正弦信號后系統(tǒng)的相軌跡躍變到大尺度周期狀態(tài)，此時系統(tǒng)實現(xiàn)檢測信號的信噪比為SNR= －29.633 0 dB。

(3)實驗3 混有脈沖噪聲的正弦信號檢測

該節(jié)對混有脈沖噪聲的正弦信號進行檢測實驗，噪聲的脈沖峰值分別為 Vp=0.4，0.6，0.8，1.0，1.2，1.4，對受到不同強度噪聲污染的正弦信號進行檢測實驗，待測信號強度為B=0.01 V。檢測結(jié)果表明，Vp=1.0時，系統(tǒng)相軌跡仍然非常平滑，Vp=1.2時，系統(tǒng)相軌跡在脈沖噪聲峰值處有相應(yīng)的大幅度沖擊相應(yīng)。故系統(tǒng)可檢測信號的最大信噪比表示為:

(4)實驗4 混有復(fù)雜噪聲的正弦信號檢測

對復(fù)雜噪聲條件下混沌檢測系統(tǒng)的抗噪性能進行實驗分析。這種噪聲在低振幅部分具有高斯特性，在高振幅部分具有近似于指數(shù)正態(tài)分布特性，總體可以表示為背景高斯白噪聲和脈沖噪聲的疊加，噪聲模型為:

定義偏差Vd為:

通過控制Vd的大小來模擬噪聲成分的變化。Vd較小時，噪聲中的脈沖成分所占的比例較小，噪聲主要表現(xiàn)高斯特性;而當(dāng)Vd的值增大時，噪聲中的脈沖成分所占的比例也會隨之變大，此時，脈沖成分集中了噪聲的大部分能量，將對檢測系統(tǒng)的性能產(chǎn)生顯著的影響。

Vd=2和Vd=10時的噪聲分布分別如圖3和圖4所示，由仿真可以明顯地看出2種情況下噪聲分布的差別(仿真實驗中固定常量A=1)。

圖3 Vd=2時噪聲分布示意圖

仿真實驗結(jié)果表明，Vd較小時(Vd=2)，噪聲主要表現(xiàn)高斯特性，只有極少脈沖成分。采用式(15)的信噪比計算公式，系統(tǒng)可實現(xiàn)的信號檢測門限為SNR= －41.693 3 dB;Vd較大時(Vd=4.5)，噪聲中的脈沖成分將繼續(xù)增加，系統(tǒng)可實現(xiàn)的信號檢測門限為 －39.385 1 dB;繼續(xù)增大 Vd值(Vd=7)，噪聲中的脈沖成分增加，系統(tǒng)可實現(xiàn)的信號檢測門限為－25.342 2 dB;

Vd非常大時(Vd=10)，噪聲將以脈沖成分為主，系統(tǒng)可實現(xiàn)的信號檢測門限為－17.605 5 dB。

圖4 Vd=10時噪聲分布示意圖

4 結(jié)束語

研究了基于Duffing方程的微弱信號檢測方法，采用混沌相平面檢測算法對不同噪聲條件下算法的抗噪性能進行了分析，理論分析和仿真實驗均表明基于Duffing方程的混沌檢測算法對白噪聲、色噪聲、脈沖噪聲及混疊噪聲等都具有較強的免疫性和較低的信噪比工作下限，相對于傳統(tǒng)的時域信號處理方法具有很大的優(yōu)勢。對基于Duffing方程的微弱信號檢測方法的抗噪性能進行分析，為進一步探究混沌系統(tǒng)優(yōu)良抗噪性能的機理，降低強噪聲背景可檢測信號的信噪比門限提供了一定的理論依據(jù)和借鑒?；煦鐧z測方法優(yōu)異的抗噪性能，使得它在弱信號檢測及相關(guān)領(lǐng)域極具發(fā)展前景。

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