三參數Burr分布經驗貝葉斯估計的漸近性

劉榮玄，朱先陽，安 萍

0 引言

BurrI.W.在1942年基于微分方程F(x)/dx=dF(x)(1 -F(x ))g(x , F(x ))引入了Burr分布函數,這一分布在精算學、質量控制和可靠性研究中有著廣泛的應用。因此許多學者致力于Burr分布的研究。文獻[1]討論了BurrTypeXII分布的統(tǒng)計推斷,文獻[2]討論了兩參數BurrXII分布的經驗Bayes檢驗問題,文獻[3]討論了Burr-XII。

部件可靠性指標的貝葉斯估計,文獻[4]討論了熵損失函數下Burr分布參數的Bayes估計。文獻[5]討論了指數族刻度參數EB估計的漸近最優(yōu)性。關于三參數BurrI分布中形狀參數EB估計的研究,目前尚未有文獻發(fā)表.本文將在平方損失下研究其EB估計,并討論其收斂速度。

假設在θ已知的條件下,三參數BurrI分布為：

其中，參數α,λ已知,λ為刻度參數,θ為形狀參數,α為不等式參數。由于三參數BurrI分布是一類重要的壽命分布,隨機變量X的取值x總是正的,因此不妨假設x≥ε,ε為給定的任意小的正實數。

在Bayes統(tǒng)計中,參數θ為隨機變量,假設它的先驗分布為H()θ,屬于先驗分布族F={H()θ: θ＞0, E()θδ＜∞ ,δ＞2,},則隨機變量(r.v.)X的邊緣分布為：

r.ν.θ的后驗分布為：

π(θ|x)∝f(x|θ)H′(θ)

取損失函數為平方損失,即

其中d為參數θ的僅與x有關的判決函數,顯然它是對稱損失函數。

于是可得參數θ的Bayes估計為：

其相應的Bayes風險為

這里的E(X,θ)表示對(X , θ)的聯合分布取期望.

引理1對于三參數BurrI分布(1),在均方損失函數(3)下，其形狀參數θ的Bayes估計為：

其中：

f′X(x)是fX(x)的導數。

證明：由(1.2)式可得

解得

將（6）式代入（4）式得

證畢。

將(5)式代入(4)式得

1 EB估計的構造

假設隨機向量序列(X1, θ1),(X2, θ2), …, (Xn, θn) 與(X , θ)相互獨立且有相同的分布(iid),X1, X2, …, Xn,為iid的隨機變量序列,它們是可觀測的,與X獨立且有相同的邊緣概率密度fX(x),X1, X2, …, Xn為歷史樣本,X為當前樣本,θ1, θ2, …, θn和θ為不可觀測的,但有相同的先驗分布H(θ)，并假設：

（1）fX()x ∈Cs,M, x∈R1,其中s＞2為正整數,Cs,M表示R1中的一族概率密度函數,其s階導數存在,連續(xù)且絕對值不超過M。

（2）Ki(x)(i=0, 1)為Borel可測實值核函數,滿足

①Ki(x)=0,x?(0, 1);

②Ki(x)為有界的,除有限點集外是可微的,且微分有界;

定義fX(x),f′X(x)的核估計分別為：

其中，hn＞0,當n→∞時, hn→0, nhn→∞。

?n(x)實數

這里的E?表示對隨機向量(X1, X2, …, Xn, (X , θ))的聯合分布求數學期望。

這樣構造的θ的EB估計與其Bayes估計所產生的效果相當,即在一定的條件下當歷史記錄較多時,EB估計所產生的風險近似于Bayes估計所產生的風險,結論是:

定理1在平方損失下，如果上述A、B條件成立，且滿足EX(| X|6s)＜ ∞,E(|θ |δ)＜ ∞,對 給 定的 正數s＞2,δ＞2，時,則有c為常數。

2 定理1的證明

在證明定理的過程中需要用到下列幾個引理,并假設c為常數,且在同一等式或不同等式中可以代表不同的常數。

引理2在平方損失下,有

這里的EX表示對隨機變量X取數學期望,En表示對隨機向量(X1, X2, …, Xn)的聯合分布取數學期望。

證明：見文獻[6]中的引理3。

引理3設Y, Y′分別為r.v,y, y′為實數,L＞0,則對0＜γ＜2有

證明：見文獻[7]中的引理3.1。

引理4X1, X2, …, Xn,…,為iid的隨機變量序列,滿足上述條件A、B,當hn=n-1/(1+2s),0＜γ＜2時,則有

證明：見文獻[9]中的引理3。

引理5若1/2＜γ＜1-1/(2s),EX(X6s)＜∞,s＞2為整數,則有

證明：因為

根據 H?lder不等式有

從而

又因為

而

由（13）、（14）式可知（12）式成立。

引理6對于給定的自然數δ,δ ＞2,當E(|θ |δ)＜ ∞,時,則有

由(16)、（17）式可知（15）式成立。

定理1的證明：

證明

令

由引理2有

在X已知的條件下，由引理3和引理4有

由引理5可知

由H?lder不等式和Markov不等式，對于任意給定的δ，δ＞2，有

由引理6知

在(18)和(19)式中取ν=γ(s -1)/δ(1 +2s),則有

證畢。

3 例子

下面的例子說明存在滿足定理條件的先驗分布。

設r.vX的條件概率密度為(2)式,取θ的先驗分布為其共軛分布Γ(r, ρ) ,即

于是可得r.vX的邊緣分布為：

顯然fX(x)滿足上述A,B中的條件。

由文獻[10]可知給定自然數δ,δ＞2,則有

當r較大時有

由此可知定理1中的條件全滿足,則定理1的結論成立。

[1] 王炳興.Burr TypeXII分布的統(tǒng)計推斷[J].數學物理學報,2008,28A(6).

[2] 韋程東,陳志強等.兩參數BurrXII分布的經驗Bayes檢驗問題[J].工程數學學報,2010,27(2).

[3] 王婷婷等.Burr-XII部件可靠性指標的貝葉斯估計[J].系統(tǒng)工程,2009,27(5).

[4] 陳志強,韋程東等.熵損失函數下Burr分布參數的Bayes估計[J].廣西師范學院學報(自然科學版),2007,24(3).

[5] 劉榮玄.指數族刻度參數EB估計的漸近最優(yōu)性[J].數理統(tǒng)計與管理,2010,29(6).

[6] 韋來生.連續(xù)型多參數指數族參數的漸近最優(yōu)的經驗Bayes估計[J].應用概率統(tǒng)計,1985,1(2).

[7] 趙林城.一類離散分布參數的經驗貝葉斯估計的收斂速度[J].中國數學研究與評論,1981,(1).

[8] 劉次華,李少玉.線性指數模型參數的經驗貝葉斯估計[J].華中科技大學學報,2006,34(3).

[9] 田霆,劉次華.定數截尾場合下Weibull分布的形狀參數置信上下限[J].南昌大學學報(理科版)2010,34(3).