中國股票市場波動率跳躍模型實證研究

金榮載，賀 晗

（韓國釜山國立大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)系，韓國 釜山 609735）

1 研究背景

波動率（Volatility）是衡量標(biāo)的資產(chǎn)價格或投資回報率變化的劇烈程度的指標(biāo)。在統(tǒng)計上，它是以復(fù)利形式計算的標(biāo)的資產(chǎn)投資回報率的標(biāo)準(zhǔn)差。在風(fēng)云變化的金融市場中，各種復(fù)雜多變的信息影響著收益率不斷波動變化，而新的重要信息往往會使波動率產(chǎn)生超預(yù)期劇烈變化，這個現(xiàn)象被稱之為跳躍（Jump Behavior）。跳躍過程最開始是由 Press（1967）［1］提出的，他認(rèn)為股價的變化應(yīng)包括兩個方面:一個是連續(xù)的擴(kuò)散過程；另一個是不連續(xù)的跳躍過程。他將泊松（Poisson）跳躍過程加入幾何布朗（Brown）運動中，用來描述超預(yù)期信息引起的波動率異常變化。諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者M(jìn)erton（1976）［2］成功運用利用幾何布朗（Brown）運動和跳躍過程建立了經(jīng)典的期權(quán)B－S定價模型，為期權(quán)定價理論作出了杰出貢獻(xiàn)。諸多研究都顯示使用跳躍過程的模型能夠較好的捕捉波動率的異常變動。

自20世紀(jì)90年代初中國建立股票市場以來，至今已有了長足的發(fā)展，但與發(fā)達(dá)國家的成熟市場相比，仍然是一個新興市場，在交易機(jī)制、監(jiān)管制度和法律法規(guī)方面都存在不完善、不健全的方面。這些年來，學(xué)者們對我國股票市場做了大量的研究，對股票市場的波動也已有較深入的研究，但基于跳躍過程的波動率模型的研究卻很鮮見。本文在Chan and Maheu（2002）提出的 GARJI－ND模型基礎(chǔ)上建立了EGARJI－ND模型，并根據(jù)廣義誤差分布函數(shù)建立了GARJI－GED和EGARJI－GED模型，然后使用上海證券綜合指數(shù)每日收盤數(shù)據(jù)對四個模型進(jìn)行參數(shù)估計，最后比較四個模型的擬合效果。

2 文獻(xiàn)回顧

Jorion（1988）［3］將泊松跳躍強(qiáng)度設(shè)定為常數(shù)，建立了混合ARCH跳躍模型 （Mixed ARCH－Jump Model），研究結(jié)果顯示外匯市場存在跳躍現(xiàn)象，而股票市場這一現(xiàn)象卻不明顯。

Bates（1996）［4］將 Merton（1976）的跳躍擴(kuò)散理論和Heston（1993）的SV模型相結(jié)合，將跳躍引入隨機(jī)波動率過程，提出了隨機(jī)波動率和跳躍模型（Stochastic Volatility Model with Jump Returns），即 SVJ模型，并分析了1984至1991年德國馬克兌換美元的外匯選擇權(quán)。

Duffie，Pan ＆ Singleton（2000）［5］提出了 SVCJ 模型（Stochastic Volatility Model with Independent Jumps in Returns and Volatility）和 SVIJ模型（Stochastic Volatility Model with Correlated Jumps in Returns and Volatility）。這兩個模型和Jorion（1988）所建立的模型一樣，同樣都是假設(shè)跳躍事件是獨立的，而事實上，跳躍事件往往是非獨立事件。SV系列模型并不能很好的描述跳躍過程。

Chan and Maheu （2002）［6］將跳躍－擴(kuò)散過程引用GARCH模型，建立了自回歸跳躍強(qiáng)度模型（Auto－regression Conditional Jump Intensity Model）， 即 GARJI模型，并設(shè)定其條件分布服從正態(tài)分布（Normal Distribution）。因為如果泊松跳躍強(qiáng)度為常數(shù)就無法反映跳躍行為的聚集現(xiàn)象，于是Chan and Maheu（2002）將跳躍強(qiáng)度設(shè)定為類似自回歸的ARMA過程。然后，他們分析了1928年至1984年的道瓊斯工業(yè)指數(shù)（Dow Jones Industrial Average），發(fā)現(xiàn)GARJI模型的擬合效果良好。

Chan and Maheu（2004）［7］在原有 GARJI模型的基礎(chǔ)上加入過去跳躍的影響，對美國11家公司的股價進(jìn)行了詳細(xì)的分析，研究發(fā)現(xiàn)無論樣本內(nèi)的適配性或是樣本外的波動性預(yù)測都達(dá)到了較好的效果。

在中國，對跳躍模型實證研究的文獻(xiàn)較少。

謝赤和鄧藝穎（2003）［8］推導(dǎo)出 GARCH－JUMP 模型，并對利率動態(tài)變化中的正常波動與跳躍波動行為進(jìn)行分析。

童漢飛和劉宏偉（2006）［9］采用 Jump－GARCH 模型對滬深兩市A股B股的跳躍性特征進(jìn)行實證分析，結(jié)果表明，該模型能夠有效地估計出滬深兩市收益率和波動率的跳躍性變化過程，比同樣服從正態(tài)分布的GARCH模型更合理。

朱波和毛華富（2008）［10］將跳躍過程引入到GARCH模型，對上證A股市場收益的跳躍性進(jìn)行了分析，并通過蒙特卡洛方法對樣本內(nèi)和樣本外進(jìn)行了預(yù)測。

以往對跳躍波動的研究很多都是采用GARCH模型作為理論基礎(chǔ)，本文將建立EGARCH形式的模型，并使用兩種的條件分布函數(shù)，比較分析四個模型的實證效果。

引理 4[7] 假設(shè)一個頂點u相鄰兩個2-點v,w,并且與一個3-圈(u,x,y)相關(guān)聯(lián),則min{d(x), d(y)}≥4。

3 模型設(shè)定

Chan and Maheu（2002）提出的 GARJI模型將影響收益率的信息分為每期互相獨立的at和bt，可表示為:

at表示一般信息，它引起收益率的連續(xù)性變化，它服從條件均值為0，條件波動率為εt的正態(tài)分布，設(shè)定GARCH方程，可表示為:

其中，Var（at｜It－1）＝σt以及 ct－1＝at－1＋bt－1。

bt表示非一般信息，它引起收益率的跳躍性變化，它服從條件均值為0，條件跳躍強(qiáng)度為λt的泊松跳躍過程，可表示為:

上述（1）至（5）式即為 Chan and Maheu（2002）建立的GARJI模型，其中εt服從正態(tài)分布（Normal Distribution），即 εt～NID（0，1），本文將采用此模型并將其命名為GARJI－ND模型。本文將基于 GARCH模型的GARJI－ND模型設(shè)定為EGARCH形式，并命名為EGARJI－ND，可以表示為:

4 實證分析

4.1 數(shù)據(jù)處理

本文將使用以上四個模型對中國股票市場進(jìn)行實證分析。相關(guān)資料取自上海證券交易所官方網(wǎng)站，數(shù)據(jù)類型為日收盤價，樣本空間為1990年12月19日到2011年05月10日期間所有交易日數(shù)據(jù)，樣本數(shù)量為4993個。在獲得數(shù)據(jù)以后，將數(shù)據(jù)取對數(shù)后差分獲得指數(shù)收益率，具體數(shù)據(jù)處理辦法如下，

（11）式中，rt為指數(shù)收益率，pt為第 t期的收盤價，pt－1為第t－1期的收盤價。

中國證券市場較發(fā)達(dá)國家起步晚，從90年代初設(shè)立上海證券綜合指數(shù)以來，一直摸索前行，一直不斷地完善交易制度，建立健全監(jiān)督機(jī)制，構(gòu)建法律法規(guī)體系。直到1999年7月，作為新中國第一部證券法典的《中華人民共和國證券法》正式實施，它的橫空出世標(biāo)志著我國新興證券市場具備了持續(xù)、穩(wěn)定、健康發(fā)展的法律基礎(chǔ)。從圖1中，可以清楚的發(fā)現(xiàn)，在2000年之前，由于股票市場尚未健全，股市經(jīng)常暴漲暴跌，導(dǎo)致收益率大幅異常波動，為了更好的考察模型效果，本文將數(shù)據(jù)分為兩個樣本分別進(jìn)行分析，第一個樣本為1990至1999年共計2253個數(shù)據(jù)，第二個樣本為2000年至2011年共計2740個數(shù)據(jù)。

圖1 波動圖

4.2 統(tǒng)計分析

表1列出了中國上證指數(shù)股價指數(shù)收益率的基本統(tǒng)計量，可以明顯看出樣本1（1990年至1999年）的偏度顯著大于0，分布向右偏，而樣本2（2000年至2011年）的偏度則幾乎為0。兩個樣本的峰度都大于3，皆呈現(xiàn)尖峰厚尾形態(tài)。

表1 基本統(tǒng)計量

經(jīng)過 JB 正態(tài)檢驗（Jarque－Bera），可以發(fā)現(xiàn)，中國上證指數(shù)股價指數(shù)收益率兩個樣本的JB值均非常大，分別為1092918和2740，且在1%的顯著水平上拒絕正態(tài)分布的假設(shè)，正態(tài)分布的概率為0。圖2是指數(shù)收益率兩個樣本的QQ圖，直線表示正態(tài)分布，很明顯兩個樣本的的分布都顯著不同于正態(tài)分布。指數(shù)收益率兩個樣本的QQ圖和JB正態(tài)檢驗都拒絕了正態(tài)分布的假設(shè)。

圖2 QQ－Plot圖

在采用GARCH模型之前，必須先驗證其是否具有ARCH效應(yīng)，本文采用LM方法進(jìn)行檢驗中國上證指數(shù)股價指數(shù)收益率兩個樣本是否存在條件異方差。檢驗結(jié)果如表2中所示，樣本1（1990年至1999年）的檢驗結(jié)果為6.582在10%的水平上顯著，拒絕不存在ARCH效應(yīng)的假設(shè)；而樣本2（2000年至2011年）的檢驗結(jié)果較樣本1更為理想，為104.9199，在1%的水平上顯著，拒絕不存在ARCH效應(yīng)的假設(shè)。兩個樣本均通過LM檢驗，均具有顯著的ARCH效應(yīng)。

表2 LM檢驗

4.3 參數(shù)估計

本文使用統(tǒng)計學(xué)軟件SPLUS 8.0根據(jù)四個模型分別編寫程序，然后導(dǎo)入兩組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計，第一組樣本（1990年至1999年）的參數(shù)估計結(jié)果如表3所示。第二組樣本（1990年至1999年）的參數(shù)估計結(jié)果如表4所示。

4.4 結(jié)果分析

在表3中，四個模型的μ參數(shù)都不顯著，EGARJIND和EGARCH－GED模型的τ、η和θ參數(shù)也不顯著，其他參數(shù)基本在5%和10%的水平上顯著，三個模型的β和γ參數(shù)均在1%的水平上顯著。通過Ljung－Box檢驗，四個模型的Q和Q2值在5%水平上均不顯著，這說明模型是充分的?？偟膩碚f，樣本1（1990年至1999年）各模型的擬合效果較好。從參數(shù)顯著程度上看EGARJI－GED模型的相對最好，其極大似然值最高，模型效果最好。

表3 樣本1（1990年至1999年）各模型的參數(shù)估計結(jié)果

在表4中，除了EGARJI－GED模型以外三個模型的μ參數(shù)都不顯著，EGARJI－ND和EGARCH－GED模型的τ和η參數(shù)也基本不顯著，四個模型的大部分參數(shù)在1%的水平上顯著。通過Ljung－Box檢驗，四個模型的Q和Q2值在5%水平上均不顯著，這說明模型是充分的?？偟膩碚f，樣本2（2000年至2011年）各模型的擬合效果很好。從參數(shù)顯著程度上看EGARJI－GED模型的相對最好，其極大似然值最高，模型效果最好。

通過表3和表4，比較四個模型的顯著程度，可以發(fā)現(xiàn)樣本1的模型效果明顯比樣本2效果差。這是因為1999年以前我國的股票市場不成熟，交易制度不完善、監(jiān)督監(jiān)管不到位、法律法規(guī)不健全導(dǎo)致的，在1995年之前實行的是t＋0制度，尚未恢復(fù)漲停板制度，那時候市場經(jīng)常暴漲暴跌，這在一定程度影響了模型的效果。另外，GARJI－GED 和 EGARJI－GED 這兩個條件分布服從廣義誤差分布的模型效果略好于服從正態(tài)分布的GARJI－ND和EGARJI－ND模型。這是因為眾所周知收益率本來就存在尖峰厚尾 （Fat Tail）的特性，而GED分布具有比正態(tài)分布更厚的尾部，所以條件分布服從廣義誤差分布的模型可以更好的描述這組數(shù)據(jù)特征。

5 研究結(jié)論

本文采集了中國上海證券交易所從1990年12月19日至2011年05月10日期間所有交易日的收盤數(shù)據(jù)，并將數(shù)據(jù)分為了兩個樣本，建立并使用帶有跳躍過程和服從不同條件分布的四個模型對樣本進(jìn)行參數(shù)估計，通過研究結(jié)果可以得出以下幾個結(jié)論:

第一，含有跳躍過程的四個模型都有良好擬合效果，驗證了中國股票市場存在跳躍現(xiàn)象，含有跳躍過程的模型適用于中國股票市場，并有良好的研究和實用價值。

第二，條件分布服從廣義誤差分布的模型效果好于服從正態(tài)分布的模型，更能反映中國股票市場收益率的尖峰厚尾特征，但不能認(rèn)為服從GED分布的模型就一定優(yōu)于服從正態(tài)分布的模型，只能說明更適合中國股票市場，或者說更適合這套數(shù)據(jù)。

第三，與GARCH模型相比，EGARCH模型的效果更好，一般復(fù)雜的模型包含的參數(shù)更多，擬合效果會更好，但是不是越復(fù)雜越好，那樣會導(dǎo)致過分?jǐn)M合，降低模型效果。

第四，2000年以前的中國股票市場，市場秩序?qū)嶋H上是非?；靵y的，機(jī)制不健全，缺乏監(jiān)督，頻繁出臺政策，政府不斷干預(yù)市場，導(dǎo)致市場波動異常，難以獲得良好的擬合效果。雖然近年來，中國股票市場有了長足的發(fā)展，日趨穩(wěn)定，但相比發(fā)達(dá)國家的成熟市場，還是一個新興的不成熟不完善的市場，在具有中國特色的經(jīng)濟(jì)模式下仍需不斷摸索前行。

表4 樣本1（2000年至2011年）各模型的參數(shù)估計結(jié)果

［1］Press，S.I.，1967， A compound events model for security prices， Journal of Business，40，317－335.

［2］Merton，R.C.，1976， Option pricing when the underlying stock returns are discontinuous，Journal of Financial Economics，3，125－144.

［3］Jorion， Philippe， 1988， On jump processes in the foreign exchange and stock markets， Reviews of Financial Studies，1，427－445.

［4］Bates（1996）

［5］Duffie，Pan ＆ Singleton，2000，Transform analysis and asset pricing for affine jump diffusions， Econometrica，68 （6），1343－1376.

［6］Chan，W.H.and Maheu，J.M.， 2002， Conditional jump dynamics in stock market return，Journal of Business＆ Economic Statistics，20，377－389.

［7］Maheu， J.M.and McCurdy，T.H.，2004， New arrival，Jump dynamics and volatility components for individul stock returns＂， the Journal of Finance， 2，755－793.

［8］謝赤和鄧藝穎，2003，描述利率動態(tài)行為的GARCHJUMP模型，數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，3.

［9］童漢飛和劉宏偉，2006，中國股市收益率與波動率跳躍性特征的實證分析，南方經(jīng)濟(jì)，5.

［10］朱波和毛華富，2008，跳躍GARCH模型在我國股票市場中的應(yīng)用研究，Available at CFRN: http:／／www.cfrn.com.cn ／getPaper.do？id＝1505