大氣噪聲模型參數(shù)的非線性回歸估計(jì)

1 引言

在超低頻通信系統(tǒng)中，大氣噪聲的干擾一直困擾著通信工作者。大氣噪聲是由雷電等噪聲源引起，是一種典型的非高斯噪聲[1-3]。然而目前通信系統(tǒng)的最優(yōu)接收機(jī)都是在高斯噪聲背景假設(shè)的前提下設(shè)計(jì)的，在實(shí)際中往往達(dá)不到預(yù)期的性能，甚至有時(shí)會(huì)導(dǎo)致接收機(jī)性能的惡化。隨著電子技術(shù)的蓬勃發(fā)展以及對(duì)通信質(zhì)量的需求的不斷提升，對(duì)于大氣噪聲的研究越來越引起超低頻工作者的興趣[4,5]。大氣噪聲的研究，早在上個(gè)世紀(jì)50年代就已開展，但那時(shí)主要的工作集中于對(duì)大氣噪聲模型的建立。模型流派主要有兩類，一類是經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停硪活愂欠治瞿Ｐ?。其中分析模型雖然比經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ捅磉_(dá)式更復(fù)雜，但因?yàn)橛袑?shí)際的物理過程支撐，且同實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)也有更好的一致性，因此得到了長(zhǎng)足的發(fā)展。分析模型中最著名也應(yīng)用最廣的是Middleton的統(tǒng)計(jì)物理模型，該模型通過對(duì)噪聲源泊松分布的假設(shè)，詳細(xì)分析了噪聲傳播過程，推導(dǎo)了噪聲的概率模型[6,7]。該模型主要可分為Class A 噪聲模型和Class B噪聲模型。Class A 噪聲帶寬小于接收機(jī)帶寬，一般應(yīng)用于寬帶系統(tǒng)；Class B噪聲帶寬大于接收機(jī)帶寬，較多應(yīng)用于窄帶系統(tǒng)。由于在實(shí)際中，超低頻接收機(jī)一般設(shè)計(jì)為窄帶接收機(jī)，因此本文研究的大氣噪聲模型為Class B噪聲模型。

自Class B模型的誕生之后，由于其概率密度函數(shù)表達(dá)式復(fù)雜，信號(hào)處理難度較大，因此有些學(xué)者將α穩(wěn)定過程作為Class B模型的一種簡(jiǎn)化形式，以此來研究非高斯噪聲[8,9]。然而，在實(shí)際中，接收機(jī)不僅受到非高斯噪聲的影響，而且同時(shí)會(huì)受到高斯噪聲影響。這部分高斯噪聲不僅會(huì)來自于接收機(jī)系統(tǒng)內(nèi)部，也會(huì)來自于外部。因此，在實(shí)踐中，α穩(wěn)定過程作為大氣噪聲模型在性能比Class B模型要差[7]。然而，由于Class B模型的復(fù)雜，對(duì)Class B噪聲的研究甚少，特別在Class B參數(shù)估計(jì)上，只有Middleton的一些成果。而且這些成果一般都基于經(jīng)驗(yàn)分析，在實(shí)際中性能不理想，特別是難以應(yīng)用于實(shí)時(shí)信號(hào)處理中，特別是接收機(jī)的設(shè)計(jì)中。本文從特征函數(shù)出發(fā)，采用非線性回歸估計(jì)，并設(shè)計(jì)了初始值估計(jì)方案和特殊序列，快速估計(jì)了Class B噪聲模型參數(shù)。實(shí)驗(yàn)表明，該方法精度高，迭代收斂快，有很高的實(shí)用價(jià)值。

2 Class B模型

Middleton通過對(duì)噪聲產(chǎn)生和傳播機(jī)制的建模，推導(dǎo)出Class B噪聲模型。Middleton假設(shè)噪聲由高斯背景噪聲N(t)和脈沖噪聲X(t)構(gòu)成。X(t)由一系列接收到的干涉波形組成。

其中Uj(t,θ)代表第j個(gè)干擾源產(chǎn)生的波形，θ代表相關(guān)的各種參數(shù)。假設(shè)在時(shí)間和空間上波形產(chǎn)生服從泊松分布，最終可推得概率密度函數(shù)[7]

其中A是“重疊系數(shù)”(overlap index)，也稱為“脈沖系數(shù)”(impulsive index)，指干擾源在單位時(shí)間平均發(fā)射的數(shù)目。α是空間傳輸密度因子，一般取0＜α＜2。Ω為歸一化因子。Γ(x)代表Γ函數(shù)，而Φ(a;b;x)指的是合流超幾何分布。從式(2)可以看出Class B噪聲模型的概率密度表達(dá)式是級(jí)數(shù)形式，表達(dá)式復(fù)雜，且是正負(fù)項(xiàng)交替，收斂速度慢。也正因?yàn)檫@，使得對(duì)Class B噪聲模型參數(shù)估計(jì)造成了很大難度。雖然其概率密度表達(dá)式復(fù)雜，但特征函數(shù)卻相對(duì)簡(jiǎn)單，且是閉合形式[7]。

其中b1α是α的函數(shù)，是高斯噪聲分量。如果單獨(dú)取式(3)中的第1項(xiàng)作為近似，則Class B噪聲模型就退化成對(duì)稱α穩(wěn)定分布(Sα S)。其實(shí)高斯分布本質(zhì)上也是Sα S分布的特例，即α=2。從另一個(gè)方面說，Class B模型可以看成對(duì)稱α穩(wěn)定過程(Sα S)和獨(dú)立高斯過程(G)的混和模型。下一節(jié)將從式(3)出發(fā)，推導(dǎo)非線性回歸模型。

3 非線性回歸估計(jì)

不妨將式(3)中，用γ替換Ab1α，指代Sα S過程中的離差(dispersion)，于是式(3)等價(jià)于

根據(jù)特征函數(shù)的定義有

若設(shè)觀測(cè)到的數(shù)據(jù)為{xk},k= 1 ,… ,N，則式(5)的估計(jì)為

結(jié)合式(4)和式(6)有

因此通過特定的序列{λk}，可以利用非線性回歸方法求解式(7)。

設(shè)θ= {α,γ,δG} = {θ1,θ2,θ3}為F(iλ)的參數(shù)空間。將F(iλi,θ)在θ0展開有

對(duì)于式(9)，可以通過線性回歸方法求解，即

設(shè)平方誤差為

因此，為了使在迭代過程中滿足式(12)不斷收斂，優(yōu)化后的非線性回歸算法為：

步驟1 估計(jì)初始參數(shù)θ0;

4 初始值估計(jì)和{λk}序列的生成

由于對(duì)估計(jì)Class B的參數(shù)的文獻(xiàn)較少，沒有已知的較好的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)方案，因此本文提出一種新的思路粗略估計(jì)Class B參數(shù)作為初始值?？梢钥吹?，Class B噪聲模型本質(zhì)上是兩個(gè)α穩(wěn)定過程的混和模型，其中一個(gè)是α=2的高斯過程，另一個(gè)是α＜ 2 的穩(wěn)定過程。而在大氣噪聲中，往往是α＜2的穩(wěn)定過程表達(dá)得多，占了主要的部分。因此，不妨先假設(shè)接收到的數(shù)據(jù){xk}滿足α＜2的穩(wěn)定過程，首先估計(jì)參數(shù)α和γ，然后在估計(jì)高斯分量的δG。

觀察大氣噪聲數(shù)據(jù)中，其非高斯特性的表達(dá)主要由高幅度的脈沖體現(xiàn)出來。若將高幅度脈沖數(shù)據(jù)剔除掉，那么其非高斯特征就會(huì)減弱。因此，設(shè)f0.75(xk)為75%分位點(diǎn)，取xk＜f0.75(xk)的所有值，并計(jì)算其方差，即可得到估計(jì)值σ2。由于在其中包含了非高斯部分的表達(dá)，σ2的值會(huì)高于。進(jìn)一步扣除掉非高斯噪聲的能量，有 =σ2-2γ(α穩(wěn)定過程γ相當(dāng)于高斯過程中的/2)，這樣就能較好地初步估計(jì)出了高斯分量的δG。

解決了迭代的初始值估計(jì)，還有存在{λk}序列選取的問題。由于實(shí)際中一般可以假設(shè)收到的大氣噪聲數(shù)據(jù)服從對(duì)稱分布，因此有

下面我們引入定理[10]：

圖1 N (i λ )的零點(diǎn)擺動(dòng)現(xiàn)象

定理1對(duì)于任意固定值N＜∞，當(dāng)k→∞時(shí)，有TN,k→AN。(證明從略)

因此，只要構(gòu)造足夠長(zhǎng)的序列{TN,k}，就可以無限逼近AN。在實(shí)際中，為了計(jì)算方便，可以取α= 1 。只要獲得了AN的值，就可通過將區(qū)間(0,AN)劃分為T等分，來構(gòu)造序列{λk|λk=k(AN/T),k=1,…,T} 。

5 仿真及實(shí)際結(jié)果

在本文中統(tǒng)計(jì)的參數(shù)為θ= {α,γ,δG} ={θ1,θ2,θ3} 。由于Class B噪聲模型可以看成是對(duì)稱α穩(wěn)定過程(Sα S)和獨(dú)立高斯過程(G)的混和模型。因此噪聲的產(chǎn)生由兩個(gè)噪聲源相加，一個(gè)Sα S噪聲源，利用文獻(xiàn)[11]中的方法產(chǎn)生；另一個(gè)是高斯噪聲源。一般地，以均平方相對(duì)錯(cuò)誤率(MSNRE)作為標(biāo)準(zhǔn)，即

其中此時(shí)的N為仿真實(shí)驗(yàn)次數(shù)，θi為第i個(gè)參數(shù)實(shí)際值，為第j次實(shí)驗(yàn)第i個(gè)參數(shù)的估計(jì)值。

在仿真實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置α=0.5,γ=2,= 5 ,{λk}的長(zhǎng)度為T為40。每次實(shí)驗(yàn)運(yùn)行100次。當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度K為2500時(shí)，圖2為經(jīng)驗(yàn)曲線、理論曲線以及估計(jì)曲線三者關(guān)系的示意圖，X軸為λ的值，Y軸為lnF(iλ)，其中經(jīng)驗(yàn)曲線通過FN(iλ)的估計(jì)獲得?？梢钥吹剑疚奶岢龅姆桨腹烙?jì)出的參數(shù)與實(shí)際參數(shù)有很高的一致性。如圖3所示，當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為1000, 2500, 5000時(shí)，迭代次數(shù)同MSNRE的關(guān)系圖。數(shù)據(jù)表明，本方案迭代次數(shù)少，一般都能在10次迭代中得到收斂，同時(shí)從圖中容易觀察到隨著數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的增加，迭代的精度也隨之增加。

表1 α的初步估計(jì)值

圖2 經(jīng)驗(yàn)曲線，估計(jì)曲線及理論曲線關(guān)系

圖3 不同數(shù)據(jù)長(zhǎng)度對(duì)MSNRE的影響

圖4 大氣噪聲信號(hào)

圖5 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)及估計(jì)結(jié)果的APD

6 結(jié)論

通過對(duì)Class B噪聲模型的研究，本為提出了一種利用非線性回歸模型估計(jì)Class B噪聲模型的方法。由于概率密度函數(shù)表達(dá)式復(fù)雜且收斂慢等因素，本文從特征函數(shù)出發(fā)，推導(dǎo)了非線性回歸模型，并優(yōu)化了迭代算法，使其加快了收斂速度并減少迭代次數(shù)。特別地，利用Class B模型的特殊性，設(shè)計(jì)了初始值估計(jì)方案。同時(shí)，分析實(shí)際中情況，設(shè)計(jì)了{(lán)λk}選取的方案。最后仿真結(jié)果及實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的估計(jì)結(jié)果表明，本文提出的算法收斂快，精度高，估計(jì)出的參數(shù)能很好地反映實(shí)際情況。本文的研究結(jié)果對(duì)超低頻非高斯噪聲信道的檢測(cè)和估計(jì)具有較重要的理論和實(shí)際意義。

[1]Abraham D A. Detection threshold approximation for non-Gaussian backgrounds[J].IEEE Journal of OceanicEngineering, 2010, 35(8): 335-341.

[2]許玲, 靳致文, 王西乾. SLF/ULF大氣噪聲譜密度全球分布預(yù)測(cè)[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 25(4): 773-778.

Xu Ling, Jin Zhi-wen, and Wang Xi-qian. Estimation of SLF/ULF noise global distribution[J].Chinese Journal of Radio Science, 2010, 25(4): 773-778.

[3]Goken C, Gezici S, and Arikan O. Optimal signaling and detector design for power-constrained binary communications systems over non-Gaussian channels[J].IEEE Communications Letters, 2010, 14(2): 100-102.

[4]蔣宇中. 非高斯噪聲中的 Turbo碼的性能改進(jìn)研究[J]. 應(yīng)用科學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 24(4): 336-340.

Jiang Yu-zhong. Performance improvement of Turbo code in non-Gaussian noise[J].Journal of Applied Science, 2006,24(4): 336-340.

[5]Rosado-Munoz A. FPGA implementation of an adaptive filter robust to impulsive noise: two approaches [J].IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2011, 58(3): 860-870.

[6]Middleton D. Statistical-physical models of electromagnetic interference[J].IEEE Transactions on Electromagnet Compact, 1977, 19(5): 106-127.

[7]Middleton D. Non-Gaussian noise models in signal processing for telecommunications: new methods and results for Class A and Class B noise models[J].IEEE Transactions on Information Theory, 1999, 45(4): 1129-1149.

[8]Nikias C L and Shao M. Signal Processing with Alpha-Stable Distribution and Applications[M]. New York: Wiley, 1995.

[9]Khalil H K. Performance of an optimal receiver in the presence of alpha-stable and Gaussian noises[J].IEEE Statistical Signal Processing Workshop(SSP), 2011, 56(8):573-576.

[10]Welsh A H. Implementing empirical characteristic function procedures[J].Statistics and Probabilitys Letters, 1986, 4(7):65-67.

[11]Chambers J M, Mallows C L, and Stuck B W. A method for simulation stable random [J].Variables, Journal of American Statistical Association, 1976, 71(5): 340-344.