投標(biāo)者為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型引入傭金的分析(二)

肖海燕

(湖北第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖北武漢430205)

拍賣理論的研究在國(guó)外已經(jīng)發(fā)展到成熟階段。MILGROM和 WEBER［1］在競(jìng)買者信息相互影響下得出一定的序關(guān)系，并對(duì)保留價(jià)和入場(chǎng)費(fèi)的引入進(jìn)行了討論。進(jìn)而許多學(xué)者在有效性［2］、非對(duì)稱［3］、共謀環(huán)［4］、多物品拍賣［5－6］、多屬性拍賣［7－8］和序貫拍賣［9］領(lǐng)域做了許多工作。

而在實(shí)際拍賣操作中賣方往往需要委托第三方(拍賣行)對(duì)物品進(jìn)行拍賣，拍賣行對(duì)成交的拍賣品收取傭金，一般由中標(biāo)者支付。王彥［10］考慮了在風(fēng)險(xiǎn)中性下，傭金收取對(duì)拍賣結(jié)果的影響。文獻(xiàn)［11］在投標(biāo)者是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型的情況下將傭金提成引入拍賣理論中，在對(duì)稱獨(dú)立私有價(jià)值情況下進(jìn)行討論，得出以下結(jié)論:傭金比例k越高，投標(biāo)者報(bào)價(jià)越低，賣方的期望收益越低，拍賣行的期望收益越大，投標(biāo)者的期望效用與k無關(guān)。因此在實(shí)際拍賣中，投標(biāo)者不用為傭金比例的高低擔(dān)心，傭金比例越高，投標(biāo)人對(duì)物品的評(píng)價(jià)會(huì)降低，最后付給賣方的價(jià)格也會(huì)降低。

這里就文獻(xiàn)［12］未研究完的問題繼續(xù)進(jìn)行探討:在投標(biāo)者為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型下，①在獨(dú)立私有價(jià)值(SIPV)傭金收取模型下，一價(jià)、二價(jià)拍賣期望收益比較;②在關(guān)聯(lián)價(jià)值模型下傭金收取對(duì)拍賣的影響。

1 SIPV模型下一價(jià)拍賣和二價(jià)拍賣時(shí)拍賣方收益比較

設(shè)拍賣方拍賣一個(gè)不可分割的物品，有N個(gè)買方對(duì)該物品感興趣，并假設(shè)每個(gè)投標(biāo)者都是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型的，具有相同的效用函數(shù)u(x)，滿足u(0)=0，u'＞0，u″＜0，且對(duì)該物品的估值為 Xi，i=1，2，…，N，只有買方自己知道 Xi的大小，賣方及其他買方都不知道，但他們會(huì)認(rèn)為Xi是［0，ω］上的概率分布函數(shù)為Fi(xi)，密度函數(shù)為fi(xi)的隨機(jī)變量?，F(xiàn)假設(shè)所有投標(biāo)者是對(duì)稱的，即?x∈［0，ω］，F(xiàn)i(x)=Fj(x)=F(x)，i=1，2，…，N，j=1，2，…，N，拍賣行按成交價(jià)的比例k收取傭金。以上所有假設(shè)對(duì)于買方和賣方及拍賣行來說是共識(shí)。由對(duì)稱性，考慮投標(biāo)者1，記為 Y1=maxj≠1Xj為除第1個(gè)投標(biāo)者以外其余N－1個(gè)投標(biāo)者估值中的最大者。于是隨機(jī)變量Y1的分布函數(shù)為G(x)=F(x)N－1，密度函數(shù)為 g(x)=G'(x)。

下面證明在一價(jià)拍賣下，賣方期望收益在投標(biāo)者是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型時(shí)比投標(biāo)者是風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)高。由文獻(xiàn)［11］可知，在風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避情況下，密封一價(jià)拍賣的報(bào)價(jià)α(x)滿足:

由式(1)可知當(dāng)投標(biāo)者為風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)(u(x)=x)，式(1)可變?yōu)?

其中，γ(x)為在SIPV模型下風(fēng)險(xiǎn)中性投標(biāo)者的均衡策略。

由于效用函數(shù) u(x)滿足 u(0)=0，u'＞0，u″＜0，因此，，則由式(1)，可得以下不等式:

由式(2)和式(3)可知:

又因?yàn)?

令H(x)=α(x) －γ(x)，由式(4)和式(5)知:

H(0)=0，且?x＞0，H'(x) ＞0

從而?x＞0，H(x) ＞0，即:

α(x) ＞ γ(x)

因此在一價(jià)拍賣下，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者的均衡報(bào)價(jià)更高，當(dāng)然賣方的期望收益也高。由文獻(xiàn)［11］可知，當(dāng)投標(biāo)者為風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)，在二價(jià)拍賣下也有，即在二價(jià)拍賣下風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型投標(biāo)者和風(fēng)險(xiǎn)中性投標(biāo)者的均衡出價(jià)相同，因而賣方的期望收益相同。再由文獻(xiàn)［12］可知，在投標(biāo)者為風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)，一價(jià)拍賣和二價(jià)拍賣產(chǎn)生相同的期望收益。由以上分析可得出如下關(guān)系:風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避下一價(jià)拍賣的期望收益＞風(fēng)險(xiǎn)中性下一價(jià)拍賣的期望收益=風(fēng)險(xiǎn)中性下二價(jià)拍賣的期望收益=風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避下二價(jià)拍賣的期望收益。

結(jié)論1 投標(biāo)者是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型的并且具有相同效用函數(shù)，在引入傭金的SIPV模型中，賣方的期望收益在一價(jià)拍賣機(jī)制下比在二價(jià)拍賣機(jī)制下要高。

2 關(guān)聯(lián)價(jià)值模型下傭金的影響

設(shè)有N個(gè)投標(biāo)者，并假設(shè)每個(gè)投標(biāo)者都是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型的，具有相同的效用函數(shù)u(x)，滿足u(0)=0，u'＞0，u″＜0，Xi(i=1，2，…，N)為投標(biāo)者i對(duì)物品的私人信息，是一個(gè)在［0，ω］上的隨機(jī)變量，令 Vi=vi(X1，X2，…，XN)為投標(biāo)者 i關(guān)于物品的估值，并且關(guān)于其所有變量是非降、連續(xù)二次可微的，特別地，關(guān)于Xi是嚴(yán)格遞增的，f(x)為X=(X1，X2，…，XN)的密度函數(shù)，且 f關(guān)于 X=(X1，X2，…，XN) 對(duì)稱，記 為 Y1=maxj≠1Xj，設(shè)為在X1=x條件下Y1的條件概率分布，為其條件密度函數(shù)。

2.1 密封二價(jià)拍賣

由對(duì)稱性，考慮投標(biāo)者1，若投標(biāo)者1的私人信息為X1=x，其報(bào)價(jià)為βII(z)，則期望效用為:

由式(6)可推出:

由于效用函數(shù)u(x)滿足u(0)=0，u'＞0，則:

可得:

(1)賣方的期望收益為:

其中，eII(X)為關(guān)聯(lián)價(jià)值模型二價(jià)拍賣機(jī)制下的期望支付。

(2)拍賣行的期望收益為:

(3)投標(biāo)者的期望效用為:

2.2 密封一價(jià)拍賣

由對(duì)稱性，考慮投標(biāo)者1，若投標(biāo)者1的私人信息為X1=x，其報(bào)價(jià)為α1(z)，則期望效用為:

可以看出式(8)的解M(x)與k無關(guān)，并且容易證明M(x)正好是關(guān)聯(lián)價(jià)值模型下無傭金提成時(shí)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型投標(biāo)者的均衡出價(jià)。

(1)賣方的期望收益為:

(2)拍賣行的期望收益為:

(3)投標(biāo)者的期望效用為:

結(jié)論2 在關(guān)聯(lián)價(jià)值模型下，投標(biāo)者為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型且有傭金提成時(shí)，投標(biāo)者的出價(jià)為無傭金提成時(shí)投標(biāo)者出價(jià)的，并且容易得到:投標(biāo)者的期望效用與k無關(guān)，而賣方的期望收益隨k的增加而減少。

3 結(jié)論

在投標(biāo)者是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型的情況下將傭金提成引入拍賣理論中，可以得出以下結(jié)論:

(1)在獨(dú)立私有價(jià)值、有傭金提成且投標(biāo)者是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型的環(huán)境中，賣方的期望收益在一價(jià)拍賣機(jī)制下比在二價(jià)拍賣機(jī)制下要高;

(2)在關(guān)聯(lián)價(jià)值模型下，傭金比例k越高，投標(biāo)者報(bào)價(jià)越低，賣方的期望收益越低，拍賣行的期望收益越大，投標(biāo)者的期望效用與k無關(guān)。

因此，在實(shí)際拍賣中，投標(biāo)者不用為傭金比例的高低擔(dān)心，傭金比例越高，投標(biāo)人對(duì)物品的評(píng)價(jià)會(huì)降低，最后付給賣方的價(jià)格也會(huì)降低。有待進(jìn)一步研究的問題是:在關(guān)聯(lián)價(jià)值模型下，投標(biāo)者為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型，考慮一價(jià)和二價(jià)拍賣的收益比較。

［1］MILGROM PR，WEBER R J.A theory of auctions and competitive bidding［J］.Econometrica，1982，50(5):1089－1122.

［2］DASGUPTA P，MASKIN E.Efficient auctions［J］.Quarterly Journal of Economics，2000(115):341 － 388.

［3］MASKIN E，RILEY J.Asymmetric auctions［J］.Review of Economic Studies，2000(67):413 －438.

［4］MCAFEE P，MCMILLAN J.Bidding rings［J］.American Economic Review，1992(82):579 －599.

［5］ARMSTRONG M.Optimalmulti－ object auctions［J］.Review of Economic Studies，2000(67):455 －481.

［6］MANELLI A M，SEFTON M，WILNER B S.Multiunit auctions:a comparison of static and dynamic mechanisms［J］.Journal of Economic Behavior and Organization，2006(61):304 －323.

［7］BIEHLER M.An experimental analysis of multi－ attribute auction ［J］.Decision Support Systems，2000(29):249－268.

［8］孫亞輝，馮玉強(qiáng).多屬性密封拍賣模型及最優(yōu)投標(biāo)策略［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2010，30(7):1185 －1189.

［9］SALMON TC，WILSON B J.Second chance offers versus sequential auctions:theory and behavior［J］.Economic Theory，2008(34):47 －67.

［10］王彥，畢志偉，李楚霖.傭金收取對(duì)拍賣結(jié)果的影響［J］.管理科學(xué)學(xué)報(bào)，2004，7(4):45 －49.

［11］ARMSTRONG M.Optimalmulti－ object auctions［J］.Review of Economic Studies，2000(67):455 －481.

［12］肖海燕.投標(biāo)者為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型引入傭金的分析(一)［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào):信息與管理工程版，2012，34(2):250 －252.