傳統(tǒng)逐點比較法直線插補方法的改進

席港港，趙慶志，王 軍，田曉文

（1．山東理工大學(xué)機械工程學(xué)院，山東淄博255091；2．山東五征集團有限公司，山東日照262300）

經(jīng)濟型數(shù)控機床由于成本低、操作簡單、性價比高，從而占有比較大的市場，而該類數(shù)控機床常采用逐點比較法直線插補方法，該方法插補誤差大，直線光滑性差，雖然不少學(xué)者也提出改進后的直線逐點比較插補方法，但仍存在不足之處．本文研究一種新的插補方法，可以提高插補精度．

1 逐點比較法插補原理及其改進

傳統(tǒng)的逐點比較法直線插補包括偏差判別、坐標(biāo)進給、新點偏差計算、終點判別4個步驟，該算法在坐標(biāo)進給時不考慮進給后插補誤差的大小而直接決定進給坐標(biāo)，致使插補誤差比較大，使得刀具在每一次進給時是在X坐標(biāo)或Y坐標(biāo)進給一個脈沖當(dāng)量，而不能使得X坐標(biāo)與Y坐標(biāo)同時聯(lián)合進給［1－5]．圖1為傳統(tǒng)逐點比較法直線插補軌跡，由圖1可知插補OE斜線時產(chǎn)生了較大的插補誤差，且直線斜率越大插補誤差就越大．事實上，當(dāng)直線趨向于45°斜線時，若能將X坐標(biāo)與Y坐標(biāo)同時進給一步，插補誤差就大大減?。?－5]．經(jīng)過研究，本文提出改進后的逐點比較法插補原理，以期大大減小插補誤差，且方便開發(fā)數(shù)控系統(tǒng)控制程序．

改進后的逐點比較法插補原理調(diào)整為：先判斷基礎(chǔ)坐標(biāo)，再計算偏差、坐標(biāo)進給，確定基礎(chǔ)坐標(biāo)后，插補的4個步驟改為：兩種進給方案的新點偏差計算、偏差大小比較、單坐標(biāo)或雙坐標(biāo)進給、終點判別．即先分別計算出F、Fxy兩種進給方案新點的偏差值，然后比較兩者大小，再決定基礎(chǔ)坐標(biāo)進給還是聯(lián)合坐標(biāo)進給．這里F代表基礎(chǔ)坐標(biāo)X進給一步后的插補偏差，F(xiàn)xy代表聯(lián)合坐標(biāo)X、Y同時進給一步后的插補偏差．

1．1 改進后逐點比較法直線插補原理

以第一象限斜線OE為例由O點（坐標(biāo)原點）向E點加工，終點坐標(biāo)E（Xe，Ye），插補過程中動點的坐標(biāo)為（Xi，Yi），則傳統(tǒng)的逐點比較法直線插補原理偏差判別函數(shù)為

當(dāng)Xe≥Ye時，為保持偏差F趨于0，Xi增大的速度就比Yi快；當(dāng)Ye＞Xe時，為保持偏差F趨于0，Yi增大的速度就比Xi快．所以分如下兩種情況分析進給新點的偏差計算和坐標(biāo)進給：

①當(dāng)Xe≥Ye時，每次都進給＋X坐標(biāo)，＋X坐標(biāo)叫基礎(chǔ)坐標(biāo)［3]，只是考慮在什么條件下＋X、＋Y兩坐標(biāo)聯(lián)合進給，不再考慮單獨進給＋Y坐標(biāo)．

根據(jù)文獻［6] 可知，進給＋X坐標(biāo)新點的偏差計算公式為：F＝F－Ye，而聯(lián)合進給＋X、＋Y兩坐標(biāo)的新點的偏差計算公式為：Fxy＝Fxy－Ye＋Xe．顯然，當(dāng)｜F｜＜｜Fxy｜時，只進給＋X坐標(biāo)，F(xiàn)xy＝F；當(dāng)｜F｜≥｜Fxy｜時，聯(lián)合進給＋X、＋Y兩坐標(biāo)，F(xiàn)＝Fxy．

②當(dāng)Ye＞Xe時，每次都進給＋Y坐標(biāo)，＋Y坐標(biāo)是基礎(chǔ)坐標(biāo)，只是考慮在什么條件下＋Y、＋X兩坐標(biāo)聯(lián)合進給，不再考慮單獨進給＋X坐標(biāo)．

進給＋Y坐標(biāo)新點的偏差計算公式為：F＝F＋Xe，而聯(lián)合進給＋Y、＋X兩坐標(biāo)的新點的偏差計算為：Fxy＝Fxy＋Xe－Ye．顯然，當(dāng)｜F｜＜｜Fxy｜時，只進給＋Y坐標(biāo)，F(xiàn)xy＝F；當(dāng)｜F｜≥｜Fxy｜時，聯(lián)合進給＋Y、＋X兩坐標(biāo)，F(xiàn)＝Fxy．

圖1 傳統(tǒng)逐點比較法直線插補軌跡

1．2 改進后逐點比較法直線插補案例

在傳統(tǒng)的逐點比較法直線插補原理和文獻［1－5，7] 的基礎(chǔ)上，利用提出的改進后的逐點比較法直線插補原理，確定基礎(chǔ)坐標(biāo)后，按照兩種進給方案的新點偏差計算、偏差大小判別、比較進給、終點判別4個步驟，得到如圖2所示的插補軌跡，由圖2可知，插補誤差大大減?。唧w插補過程見表1．

圖2 改進后的逐點比較法直線插補軌跡

當(dāng)Ye＞Xe時，＋Y為基礎(chǔ)坐標(biāo)，表1中的F＝F－Ye變?yōu)镕＝F＋Xe，其他計算相似．

2 改進后的逐點比較法其他區(qū)域直線的插補公式與坐標(biāo)進給

圖3所示的4個象限被兩條過坐標(biāo)原點交叉的45°直線分為8個區(qū)域，OA直線歸1號區(qū)域，OD直線歸3號區(qū)域，OB直線歸5號區(qū)域，OC直線歸7號區(qū)域．

當(dāng)直線位于2號區(qū)域時，直線終點Xe＜Ye，＋Y為基礎(chǔ)坐標(biāo)，把Yi＝Y(jié)i＋1帶入（1）式，則

即

把Yi＝Y(jié)i＋1，Xi＝Xi＋1帶入（1）式，則得

式（2）和式（3）就是2號區(qū)域直線的插補偏差計算公式，得結(jié)論：2區(qū)域直線F＝F＋Xe，F(xiàn)xy＝Fxy＋Xe－Ye，若｜F｜＜｜Fxy｜，則Fxy＝F，進給＋Y一步；否則聯(lián)合進給＋Y、＋X各一步，F(xiàn)＝Fxy．如直線終點坐標(biāo)為E（3，5），插補軌跡如圖4所示．

其他6個區(qū)域的插補偏差坐標(biāo)、聯(lián)合進給坐標(biāo)和插補公式按表2確定．

改進后的逐點比較法直線插補原理框圖如圖5所示．

圖3 4個象限8個基礎(chǔ)坐標(biāo)區(qū)域圖

圖4 位于2區(qū)域直線的逐點比較法插補軌跡

表2 4個象限8個區(qū)域內(nèi)直線的插補公式

3 改進后的逐點比較法直線插補特點

本文介紹的改進后的逐點比較法插補原理有如下特點：

（1）將傳統(tǒng)的逐點比較法插補公式提煉成表2所示的兩套公式，插補思路更加清晰，插補誤差明顯減?。?/p>

圖5 改進后的逐點比較法插補原理框圖

（2）改進后的逐點比較法框圖符合結(jié)構(gòu)化程序一進口兩出口分支結(jié)構(gòu)的特點，使得開發(fā)數(shù)控系統(tǒng)控制程序更加方便．

（3）該方法避免了有關(guān)文獻所述方法中涉及的導(dǎo)數(shù)計算、斜率無窮大、三分支判斷計算復(fù)雜等缺點．

（4）該方法通用性強，包括兩條坐標(biāo)軸方向的直線插補都包括在表2所示插補公式之中，避免了有關(guān)文獻所述插補方法中出現(xiàn)斜率無窮大而難以處理的問題．

該方法已在作者開發(fā)的數(shù)控系統(tǒng)中得到了實際應(yīng)用，效果很好．

［1] 馬斌．逐點比較法的改進及軟件實現(xiàn)［J] ．渝州大學(xué)學(xué)報，2002，19（2）：77－79．

［2] 高有行．對逐點比較法的改進算法［J] ．西安電子科技大學(xué)學(xué)報，1998，25（4）：299－303．

［3] 劉云．基于統(tǒng)一偏差判別函數(shù)的各象限直線的逐點比較插補算法［J] ．長春師范學(xué)院學(xué)報，2001，30（3）：1－4．

［4] 張濤，王曉明．實現(xiàn)步進電動機雙軸聯(lián)動的改進逐點比較法［J] ．化學(xué)工程與裝備，2011（2）：6－7．

［5] 范希營，郭永環(huán)．提高數(shù)控系統(tǒng)基準(zhǔn)脈沖直線插補速度及精度的研究［J] ．制造技術(shù)與機床，2010（3）：89－91．

［6] 吳祖玉，秦鵬飛．?dāng)?shù)控機床［M] ．北京：機械工業(yè)出版社，1992．

［7] 王敏．差分插補方法及其在數(shù)控線切割機中的應(yīng)用（一）［J] ．電加工，1981（4）：16－22．