應(yīng)用MATLAB研究帶電粒子的擺線運(yùn)動——兼對一幅2011年高考試題插圖的商榷

朱國強(qiáng)

（浙江紹興市第一中學(xué)，浙江 紹興 312000）

2011年福建高考試題第22題是一道新穎的考題.

題1.如圖1（甲），在x＞0的空間中存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場和垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場，電場強(qiáng)度大小為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.一質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處，以初速度v0沿x軸正方向射人，粒子的運(yùn)動軌跡見圖1（甲），不計(jì)粒子的重力.

（甲）

圖1

（1）求該粒子運(yùn)動到y(tǒng)＝h時(shí)的速度大小v；

（2）現(xiàn)只改變?nèi)肷淞Ｗ映跛俣鹊拇笮?，發(fā)現(xiàn)初速度大小不同的粒子雖然運(yùn)動軌跡（y－x曲線）不同，但具有相同的空間周期性，如圖1（乙）所示；同時(shí)，這些粒子在y軸方向上的運(yùn)動（y－t關(guān)系）是簡諧運(yùn)動，且都有相同的周期

Ⅰ.求粒子在一個周期T內(nèi)，沿x軸方向前進(jìn)的距離s；

Ⅱ.當(dāng)入射粒子的初速度大小為v0時(shí)，其y－t圖像如圖1（丙）所示，求該粒子在y軸方向上做簡諧運(yùn)動的振幅A，并寫出y－t的函數(shù)表達(dá)式.

分析：該題以帶電粒子在勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場的正交疊加場中的運(yùn)動為基本情景，考查了力和運(yùn)動關(guān)系，包括受力分析、運(yùn)動分析、牛頓運(yùn)動定律以及動能定理等主干知識.命題者對該題的命制意圖主要是考察學(xué)生的理解能力、推理能力、臨場接受新知識的能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力.由于設(shè)問角度巧妙，知識補(bǔ)充到位，即使沒有競賽訓(xùn)練背景的學(xué)生也有可能解決該題，能力立意較高.

該題暗含勻速直線運(yùn)動，明示簡諧運(yùn)動，因顧及中學(xué)教學(xué)的實(shí)際，沒有直接指出粒子到底做什么運(yùn)動.理論推導(dǎo)可知，該帶電粒子實(shí)際上做擺線運(yùn)動.

擺線是數(shù)學(xué)中最迷人的曲線之一.物理中可以這樣定義：一個圓輪，沿一直線做純滾動，輪上一定點(diǎn)P所經(jīng)過的軌跡稱為擺線，又叫滾輪線.設(shè)圓輪半徑為R，取一條直線為x軸，再設(shè)P點(diǎn)與圓心點(diǎn)的距離為r，起始時(shí)刻P點(diǎn)位置在y軸上，θ為圓輪轉(zhuǎn)過的角度.當(dāng)圓輪做純滾動時(shí)，P點(diǎn)的運(yùn)動看作是隨圓心沿x軸前進(jìn)距離Rθ的直線運(yùn)動與繞圓心轉(zhuǎn)過角度θ的圓周運(yùn)動這兩者的疊加，寫出方程x＝Rθ－rsinθ，y＝R－rcosθ.假設(shè)圓輪是做勻速率滾動，角速度為ω，則θ＝ωt.P點(diǎn)運(yùn)動的參數(shù)方程為x＝Rωtrsinωt，y＝R－rcosωt.

運(yùn)用Matlab軟件繪制擺線運(yùn)動軌跡如圖2所示.

圖2

由圖2可知，P點(diǎn)的軌跡，有4種情況，依次為長幅擺線、普通擺線、短幅擺線、直線.（1）P點(diǎn)在動圓外，r＞R，P點(diǎn)的軌跡為長幅擺線，如圖2中r＝1.5所指示；（2）P點(diǎn)在輪緣上，r＝R，P點(diǎn)的軌跡為普通擺線，如r＝1所指示；（3）P點(diǎn)在動圓內(nèi)，r＜R，P點(diǎn)的軌跡為短幅擺線，如r＝0.5所指示；（4）P點(diǎn)在圓心，r＝0，P點(diǎn)的軌跡為平行于x軸的直線，如r＝0所指示.

再觀察圖1，不符合擺線的特征：（1）拱寬2πR，（2）普通擺線和短幅擺線，拱高≤2r.故該題圖1所示的圖線不是擺線，值得商榷.

下面首先證明該帶電粒子在題設(shè)條件下做擺線運(yùn)動，再用計(jì)算機(jī)繪制相關(guān)圖像，并提出對圖1的修改建議.

1 理論推導(dǎo)

設(shè)勻強(qiáng)電場場強(qiáng)為E，沿y軸負(fù)方向，勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，沿z軸負(fù)方向.帶電粒子質(zhì)量為m，帶電荷量為q，q＞0，t＝0時(shí)從原點(diǎn)以初速度v0沿x軸入射，求帶電粒子運(yùn)動的速度、軌跡.

解析：對帶電粒子進(jìn)行受力分析，電場力為

磁場力為

根據(jù)牛頓第二定律得，x方向上有

y方向上有

由（1）、（2）式得

代入（2）式得

帶電粒子運(yùn)動的位置坐標(biāo)為

由（5）、（6）式化簡得

2 計(jì)算機(jī)作圖

2.1 程序

運(yùn)用Matlab軟件繪制該帶電粒子運(yùn)動軌跡的程序如下.

2.2 模擬

運(yùn)行結(jié)果如圖3所示.圖中動圓的半徑R＝10，拱寬為2πR＝62.8.

圖3

（ii）當(dāng)k＝0，即v0＝0時(shí)，為普通擺線，這是大部分中學(xué)試題的命題情景——初速為0；

3 修正建議

帶電粒子在勻強(qiáng)電場、磁場中運(yùn)動ZGQSTUDIO

圖4

2010年以前，以帶電粒子在正交的電磁場中的運(yùn)動為情景的高考試題，大多數(shù)取粒子初速為0，即k＝0，v0＝0，如2008年江蘇高考試題14題.

題2.在場強(qiáng)為B的水平勻強(qiáng)磁場中，一質(zhì)量為m、帶正電q的小球在O點(diǎn)靜止釋放，小球的運(yùn)動曲線如圖5所示.已知此曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的2倍，重力加速度為g.求：

（1）小球運(yùn)動到任意位置P（x，y）的速率v.

（2）小球在運(yùn)動過程中第一次下降的最大距離ym.

（3）當(dāng)在上述磁場中加一豎直向上場強(qiáng)為E（E＞mg／q）的勻強(qiáng)電場時(shí)，小球從0點(diǎn)靜止釋放后獲得的最大速率vm.

簡析：該高考試題屬于初速v0＝0的情景，只是把豎直向下的電場力換成重力，小球做普通擺線運(yùn)動.拱高h(yuǎn)＝2R，拱寬L＝2πR，所配插圖是普通擺線，比較科學(xué).

4 幾種解法

應(yīng)用高等數(shù)學(xué)微積分解題超過大部分中學(xué)生的認(rèn)知能力和認(rèn)知要求.高考命題者根據(jù)應(yīng)用高等數(shù)學(xué)推出的結(jié)果，采用等效思維的方法，把需要用高等數(shù)學(xué)解決的物理問題，降解為能夠用初等數(shù)學(xué)進(jìn)行解釋或理解的問題.下面對題1提供幾種解法.

圖5

（2）Ⅰ.解法1：由圖1（乙）中間的直線可知，設(shè)粒子恰好沿x軸方向做勻速運(yùn)動，設(shè)速度大小為v1，則qv1B＝qE.又據(jù)題意可知，所有粒子具有相同的空間周期性，即在一個周期T內(nèi)沿x軸方向前進(jìn)的距離相同，即都等于恰好沿x軸方向勻速運(yùn)動的粒子在T時(shí)間內(nèi)前進(jìn)的距離即s＝v1T，式中，解得

Ⅱ.解法1：設(shè)粒子在y方向上的最大位移為ym［圖1（丙）曲線的最高點(diǎn)處］，對應(yīng)的粒子運(yùn)動速度大小為v2（方向沿x軸）.

對粒子，在y方向做簡諧運(yùn)動，振幅為A.

在y＝0處，qv0B－qE＝kA；

在y＝y(tǒng)m處，qE－qv0B＝kA.所以

從y＝0到y(tǒng)＝y(tǒng)m處過程中，由動能定理有

解法2：該帶電粒子的擺線運(yùn)動可以看作兩個運(yùn)動的合成，一個是沿x方向的速度為的勻速直線運(yùn)動，另一個是速率為的勻速圓周運(yùn)動振幅A＝R.寫出y－t的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝R－代入初始條件t＝0時(shí)，y＝0，得φ＝0，故y

總之，帶電粒子在正交的的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動是中學(xué)物理教學(xué)的一個難點(diǎn)，是各省高考、高校自主招生、物理競賽命題的一個焦點(diǎn).深入理解帶電粒子的擺線運(yùn)動對中學(xué)教師的教學(xué)和中學(xué)生的學(xué)習(xí)都有裨益.

1 佘守憲，唐瑩.淺析物理學(xué)中的擺線（擺線）.大學(xué)物理，2001（6）.

2 朗道.場論.北京：人民教育出版社，1959.

3 葉兵.帶電粒子在正交電磁場中運(yùn)動問題的初步研究.物理教學(xué)探討，2007（11）.

4 朱國強(qiáng).高中物理培優(yōu)基礎(chǔ)教程.杭州：浙江大學(xué)出版社，2010.301

5 胡建新.帶電粒子在正交恒定電磁場中運(yùn)動狀態(tài)的分析.大學(xué)物理，2004（4）.