談?wù)剮追N非常見(jiàn)物理圖像的應(yīng)用

王金聚

（浙江省溫州中學(xué)，浙江 溫州 325000）

圖像具有直觀、形象、簡(jiǎn)明的特點(diǎn)，它能直觀地描述物理過(guò)程、形象地表達(dá)物理規(guī)律、簡(jiǎn)潔地闡明各量之間的相互關(guān)系，是分析、研究問(wèn)題常用的方法之一.運(yùn)動(dòng)學(xué)中的v－t、x－t圖像、電學(xué)中的U－I、i－t、u－t圖像、磁學(xué)中的B－t、Φ－t圖像、熱學(xué)中的P－V、V－T、P－T 圖像等，都是我們?cè)谄綍r(shí)解題中經(jīng)常使用的圖像，但也有一些圖像雖不太常用，但用起來(lái)卻往往能“手到病除”、立竿見(jiàn)影，起到計(jì)算法所不能及的效果.現(xiàn)舉例如下：

1 v－t圖像，即速率時(shí)間圖像

對(duì)追及、相遇問(wèn)題，有時(shí)涉及多個(gè)物體、多次相遇，物理過(guò)程多、情景復(fù)雜，難以在頭腦中建構(gòu)清晰的運(yùn)動(dòng)圖景.這時(shí)候，恰當(dāng)?shù)乩脠D像，就能直觀地展示復(fù)雜物理情景，建構(gòu)清晰的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，幫助我們找到解題的切入點(diǎn).

例1.每顆子彈從槍口射出的速度大小都是30m／s，某人每隔1s豎直向上開(kāi)一槍，假定子彈在升降過(guò)程中都不相碰，不計(jì)空氣阻力，試求：

（1）空中最多能有幾顆子彈？

（2）設(shè)t＝0時(shí)將第一顆子彈射出，在什么時(shí)刻它和后面的子彈在空中相遇？

（3）每顆子彈分別能與幾顆子彈在空中相遇？

圖1

解析：以v表示速率，設(shè)子彈射出后經(jīng)t秒鐘到達(dá)最高點(diǎn)，由v0＝gt可得t＝3s，作出子彈在空中運(yùn)動(dòng)的速率－時(shí)間圖像，如圖1所示，圖中圖線① 、② 、③ …分別表示第1顆、第2顆、第3顆…子彈的速率－時(shí)間圖像.顯然，任意兩條圖像的交點(diǎn)都表示兩子彈速率相同且一升一降時(shí)的情況，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示相遇的時(shí)刻，交點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示相遇時(shí)的速率大小.

由圖可知，當(dāng)?shù)?顆子彈即將射出時(shí)，第1顆子彈即將落地，所以說(shuō)空中最多有6顆子彈.由于升、降圖線的斜率大小都表示重力加速度g，所以升、降圖線具有左右對(duì)稱性，由圖像可以直觀地看出第一顆子彈與其他子彈相遇時(shí)所對(duì)應(yīng)的是圖中的A1、A2、A3、A4、A5點(diǎn)，相遇的時(shí)刻分別是t＝3.5s，4s，4.5s，5s，5.5s.

由于圖線的交點(diǎn)都對(duì)應(yīng)相遇點(diǎn)，顯而易見(jiàn)，只要數(shù)一下每顆子彈的速率－時(shí)間圖線與其他子彈的圖線有幾個(gè)交點(diǎn)，就可以得出它與幾顆子彈在空中相遇.由圖像容易數(shù)出：第1顆會(huì)相遇5顆、第2顆相遇6顆、第3顆相遇7顆、第4顆相遇8顆、第5顆會(huì)相遇9顆，從第6顆開(kāi)始射出的子彈都會(huì)相遇10顆.

第（2）（3）問(wèn)屬于多顆子彈的相遇問(wèn)題，不難想象，若采用公式計(jì)算，將會(huì)比較復(fù)雜.若采用我們慣常使用的速度－時(shí)間圖像，則各子彈的圖線也不會(huì)相交，不能用交點(diǎn)來(lái)形象地刻畫(huà)相遇點(diǎn).但巧妙地選用速率－時(shí)間圖像，相遇點(diǎn)的情況在圖像中一目了然，相遇的時(shí)刻及速度大小都能在坐標(biāo)系中直接讀出，方法巧妙，效果明顯.

2 Ep－h(huán)、Ek－h(huán) 圖像

某些能量會(huì)隨距離呈線性變化，譬如重力勢(shì)能、電勢(shì)能、摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能等，都與距離有關(guān).在涉及到有關(guān)能量隨距離變化的問(wèn)題時(shí)，我們可以巧用圖像展示能量隨距離變化的動(dòng)態(tài)過(guò)程，往往從圖像上就能一目了然、直觀地得到結(jié)果，大大縮短了分析與推理的過(guò)程.

例2.在地面上以初速度v0豎直上拋一個(gè)足球，空氣阻力不能忽略.足球在空中能上升的最大高度為hm，足球在上升過(guò)程距拋出點(diǎn)距離為h1處，足球的動(dòng)能和重力勢(shì)能相等，下落過(guò)程中距拋出點(diǎn)距離為h2處，足球的動(dòng)能和重力勢(shì)能相等，則列說(shuō)法中正確的是

解析：本題涉及物體上升、下落兩運(yùn)動(dòng)過(guò)程，兩過(guò)程物體的動(dòng)能、重力勢(shì)能均隨h變化而變化，屬動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題，較為復(fù)雜.拋出點(diǎn)所在的平面作為重力勢(shì)能零勢(shì)能面，以f表示空氣阻力，h表示足球距拋出點(diǎn)的高度.在上升階段，根據(jù)動(dòng)能定理可得即

圖2

在下落階段，根據(jù)動(dòng)能定理可得mg（hm－h(huán)）－f（hm－h(huán)）＝即

重力勢(shì)能隨h變化的關(guān)系式為

定性畫(huà)出（1）（2）（3）式所對(duì)應(yīng)的 Ep－h(huán)、Ek－h(huán) 圖像，并在畫(huà)圖時(shí)注意：在上升階段Ek＋Ep隨h的增加而減小，在下降階段Ek＋Ep隨h的減小而減小，就可以分別畫(huà)出如圖2所示的圖像.用圖像可清晰展現(xiàn)動(dòng)能、勢(shì)能隨h的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，兩圖像交點(diǎn)表示兩種能量相等的情景.則由圖像不難直觀地看出上升過(guò)程在處兩種能量相等，下落過(guò)程在處兩種能量相等.正確選項(xiàng)為（A）.

在閉合電路中，各量之間滿足的關(guān)系是閉合電路的歐姆定律.對(duì)定律E＝U＋I(xiàn)r作一下數(shù)學(xué)形式的變換，會(huì)衍生出多種表達(dá)形式，如等.這些表達(dá)式在近幾年的高考試卷中屢有出現(xiàn)，尤其是在電學(xué)實(shí)驗(yàn)的考查中.如2009年北京理綜卷第21題考查了圖像，2009年廣東卷第16題考查了圖像（L系電阻絲的長(zhǎng)度），2010年上海卷的第29題考查了圖像，2010年江蘇卷的第10題考查了圖像，2011年江蘇卷第11題考查了U－R圖像，2011年山東理綜卷第23題則考查了更為常見(jiàn)的U－I圖像等.

例3.（2010年上海卷第29題）某同學(xué)利用DIS、定值電阻R0、電阻箱R1等實(shí)驗(yàn)器材測(cè)量電池a的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻，實(shí)驗(yàn)裝置如圖3所示.實(shí)驗(yàn)時(shí)多次改變電阻箱的阻值，記錄外電路的總電阻阻值R，用電壓傳感器測(cè)得端電壓U，并在計(jì)算機(jī)上顯示出如圖4所示的關(guān)系圖線a.重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)方法測(cè)量電池b的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻，得到圖4中的圖線b.

圖3

（1）由圖線a可知電池a的電動(dòng)勢(shì)Ea＝________V，內(nèi)阻ra＝________Ω.

（2）若用同一個(gè)電阻R先后與電池a及電池b連接，則兩電池的輸出功率Pa_______________Pb（填“大于”、“等于”或“小于”）.兩電池的效率ηa_______________ηb（填“大于”、“等于”或“小于”）.

圖4

有些物體的運(yùn)動(dòng)較為復(fù)雜，不是我們所熟悉的運(yùn)動(dòng)模型，無(wú)法用勻變速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律來(lái)求解，其v－t圖像也不呈直線.此時(shí)要解決問(wèn)題，往往需要我們對(duì)兩坐標(biāo)軸所代表的量作靈活變動(dòng)，目的是能把描述物體運(yùn)動(dòng)的圖像“化曲為直”——變成直線，使直線的斜率、與坐標(biāo)軸所圍的面積等對(duì)應(yīng)某些所求的物理量，用圖像法實(shí)現(xiàn)突破.

例4.一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度v的大小與距老鼠洞中心的距離s成反比，當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心距離s1＝1m的A點(diǎn)時(shí)，速度大小為v1＝20cm／s，求（1）當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心s2＝2m的B點(diǎn)時(shí)，其速度大小v2；（2）老鼠從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間t.

圖5

解析：因?yàn)槔鲜髲睦鲜蠖囱刂本€爬出，已知爬出的速度與通過(guò)的距離成反比，則不能通過(guò)勻速運(yùn)動(dòng)、勻變速運(yùn)動(dòng)公式直接求解，但可以通過(guò)圖像法求解.在圖像中，所圍面積即為所求的時(shí)間.以距離s為橫軸為縱軸建立直角坐標(biāo)系，則s與成正比，作圖像如圖5所示，由圖可得s＝2m時(shí)，老鼠的速度為10cm／s.在1m到2m之間圖像與橫軸包圍的面積即為所求的時(shí)間，所以老鼠從A到B爬行的時(shí)間為

5.F－l圖像

胡克定律的F－x圖像為一條直線，其中x是彈簧的形變量，若把彈簧的原長(zhǎng)記為l0，形變后的總長(zhǎng)度為l，則x＝l－l0，我們還可以畫(huà)出F－l圖像，你習(xí)慣用F－l圖像來(lái)解題嗎？

例5.有一半徑為3L且可以繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤(pán)，盤(pán)內(nèi)沿直徑方向開(kāi)有一條凹槽，凹槽內(nèi)有一根勁度系數(shù)為k、原長(zhǎng)為L(zhǎng)的彈簧，彈簧的一端固定在圓盤(pán)中心，另一端系有質(zhì)量為m的小球，今將彈簧拉長(zhǎng)至d（L＜d＜3L）后，使小球與圓盤(pán)一起以角速度ω做勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，已知小球與槽底的靜摩擦因數(shù)為μ，槽側(cè)面光滑，μ與k 的關(guān)系為：5μmg＝3kL，若小球被拉至位置d，不管d在L＜d＜3L范圍內(nèi)取何值，小球?qū)A盤(pán)均能保持相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)，求ω的取值.

圖6

解析：小球隨圓盤(pán)一起以角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的所需向心力為

圖7

小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力要由彈簧彈力與摩擦力的合力來(lái)提供.

顯然，F(xiàn)合為一定范圍，只要小球在l0～3l0范圍內(nèi)所需的向心力F需不超出F合的范圍，小球就能與圓盤(pán)保持相對(duì)靜止.下面我們用圖解法來(lái)解決該題.

在同一坐標(biāo)系中分別作出F需－l及F合－l圖像，如圖7所示，圖中過(guò)l0的直線①表示F＝k（l－l0）.由于F合＝k（l所以我們?cè)僭谥本€①的兩側(cè)作出與①平行且豎直相距皆為的兩條直線，如圖7所示，則圖中陰影區(qū)即為F合的范圍.

小球圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力F需＝mω2l.當(dāng)ω為某一定值而l為變量時(shí)，在F合－l坐標(biāo)系中F需＝mω2l圖像應(yīng)為過(guò)原點(diǎn)的直線.選定不同的角速度ω就可以畫(huà)出斜率不同的直線，其斜率隨ω的增大而增大.為滿足題目要求，即向心力F需不超出F合的范圍，也就是說(shuō)F需－l直線在l0＜l＜3l0時(shí)都應(yīng)位于圖7中的陰影內(nèi).由圖示可知，滿足上述關(guān)系的直線應(yīng)在圖中直線②和③之間.

直線②對(duì)應(yīng)的是角速度的最小值，令其為ω1，則

直線③對(duì)應(yīng)的是角速度的最大值ω2，令其為ω2，則

本題的物理情景頗為復(fù)雜，用常規(guī)方法將很繁雜.圖像法使問(wèn)題變得非常直觀，通過(guò)直線② 和③ 與陰影區(qū)域的交點(diǎn)B和A很容易求出ω1和ω2，使我們有醍醐灌頂、恍然大悟之感.

6 a－t圖像

若物理量A、B、C滿足關(guān)系A(chǔ)＝B·C，我們可以建立平面直角坐標(biāo)系，以縱坐標(biāo)表示B，橫坐標(biāo)表示C，描繪出B、C的關(guān)系圖像，則圖線與橫坐標(biāo)軸所圍的面積就可以表示物理量A.

例6.如圖8所示，一個(gè)質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q的物體處于場(chǎng)強(qiáng)按E＝kt規(guī)律（k為大于零的常數(shù)，取水平向左為正方向）變化的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，物體與絕緣豎直墻壁間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，當(dāng)t＝0時(shí)，物體由靜止釋放.若最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，且電場(chǎng)空間和墻面均足夠大，求：

圖8

（1）物體經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到最大；

（2）最大速度是多少？

解析：在開(kāi)始階段，分析物體的受力可得mg－μqkt＝ma，隨著時(shí)間的延續(xù)，物體的加速度越來(lái)越小，當(dāng)a＝0時(shí)，物體的速度達(dá)到最大，此后做減速運(yùn)動(dòng)直至停止.所以在速度最大時(shí)有mg－μqkt＝0，即經(jīng)過(guò)時(shí)間物體在豎直墻壁上的速度達(dá)到最大值.

圖9

該題利用圖像展示了復(fù)雜的動(dòng)態(tài)過(guò)程，雖然不是我們所熟悉的勻變速運(yùn)動(dòng)，但可以根據(jù)圖線與坐標(biāo)軸所圍面積的物理意義，簡(jiǎn)捷明快地得出了結(jié)果.簡(jiǎn)潔明了，令人耳目一新.

由此看來(lái)，圖像往往都蘊(yùn)含著豐富的信息，如圖線的截距、斜率、拐點(diǎn)、圖線所圍面積、兩圖線交點(diǎn)等，往往都有各自的物理意義.巧借圖像用之于解題，常常能化難為易、化繁為簡(jiǎn)，特別是有些運(yùn)用解析法無(wú)能為力的問(wèn)題，我們卻常能從圖像上觸發(fā)靈感，另辟蹊徑，使問(wèn)題變得迎刃而解，具有難以替代的作用.運(yùn)用圖像解題也是高考重點(diǎn)考查的能力之一.作為教師，在課堂教學(xué)中嘗試著滲透圖像法，把解析法與圖像法有機(jī)結(jié)合起來(lái)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖像法解題的思維與訓(xùn)練，是培養(yǎng)學(xué)生掌握?qǐng)D像法解題的關(guān)鍵所在.