基于線性和非線性混合預(yù)測的改進(jìn)連續(xù)潮流法

李 林，康積濤

(西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，四川成都 610031)

連續(xù)潮流法是一種基于負(fù)荷的變化和發(fā)電機(jī)的功率分配而追蹤電力系統(tǒng)靜態(tài)行為的一種有效的工具［1－4］。在電力系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定分析中，通常利用連續(xù)潮流法繪制PV曲線來反映負(fù)荷點(diǎn)的臨界電壓和極限功率。連續(xù)潮流法是通過引入負(fù)荷參數(shù)采用預(yù)估校正技術(shù)，在PV曲線的每一點(diǎn)反復(fù)迭代，計(jì)算出準(zhǔn)確的潮流解，它主要由4部分組成:參數(shù)化、預(yù)測、校正和步長控制。參數(shù)化是避免在功率極限處潮流方程的雅各比矩陣奇異，文獻(xiàn)［4］、［5］指出弧長參數(shù)化比局部參數(shù)化更具有魯棒性;預(yù)測是為了找到一個(gè)潮流解的近似值，為下一步校正時(shí)解潮流方程提供一個(gè)初始值，預(yù)測值與實(shí)際值越接近，校正過程的迭代次數(shù)就越少。文獻(xiàn)［6］通過對(duì)潮流方程的變換，擺脫了對(duì)負(fù)荷參數(shù)的依賴，改善了連續(xù)潮流法的收斂性，由于其預(yù)測環(huán)節(jié)仍要解線性方程組，降低了計(jì)算的效率;文獻(xiàn)［7］采用非線性拉格朗日插值法預(yù)測，在PV曲線功率極限處可以采取較大步長，減少計(jì)算時(shí)間，但是在PV曲線下半支部分其預(yù)測解與實(shí)際解的接近程度不太理想。

為了提高計(jì)算效率，提出了基于線性和非線性混合預(yù)測的改進(jìn)算法。該算法在PV曲線上半支和下半支的功率極限附近采用非線性預(yù)測，剩下部分采用割線預(yù)測。該方法在IEEE 39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中和其他方法作了比較，體現(xiàn)了其有效性和快速性。

1 連續(xù)潮流法說明

1.1 電力系統(tǒng)潮流方程

一般地，在靜態(tài)輸電計(jì)算中，極坐標(biāo)系統(tǒng)下的潮流方程可用式(1)表示為

式中，λ表示發(fā)電機(jī)和負(fù)荷的增長參數(shù)，即為負(fù)荷因子;nGi、nPLi分別表示發(fā)電機(jī)和負(fù)荷有功、無功增長的方向向量;PGi0、QGi0為節(jié)點(diǎn)的發(fā)電機(jī)出力;PLi0、QLi0為節(jié)點(diǎn) i的負(fù)荷;Pi(V，θ)、Qi(V，θ)分別表示節(jié)點(diǎn)的有功和無功，其具體表達(dá)式如下。

其中，Vi是節(jié)點(diǎn)的電壓幅值;θij是節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j的電壓相角差值;Gij、Bij為節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j之間的網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)納矩陣的實(shí)部和虛部。

1.2 非線性預(yù)測

非線性預(yù)測方法主要由一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)逼近PV曲線上已知解，當(dāng)多項(xiàng)式函數(shù)確定后，對(duì)于一個(gè)給定的步長，下一個(gè)解則可以利用外推技術(shù)來預(yù)測。如圖1所示，通過3個(gè)潮流實(shí)際解1、2、3，利用非線性預(yù)測得到預(yù)估解4。最常用的多項(xiàng)式逼近方法是拉格朗日插值法。

圖1 非線性預(yù)測示意圖

根據(jù)已知的實(shí)際潮流解，預(yù)估解就可以由拉格朗日多項(xiàng)式插值的多項(xiàng)式逼近獲得。拉格朗日多項(xiàng)式可以由式(3)給出。

其中，P(x)為拉格朗日插值多項(xiàng)式;xk為已知的潮流解;Lk(x)為拉格朗日插值系數(shù);n為多項(xiàng)式的階數(shù)。若已知n+1個(gè)點(diǎn)，則拉格朗日插值系數(shù)表示如下。

由于電力系統(tǒng)PV曲線近似二次函數(shù)，通常預(yù)估值通過拉格朗日二次插值多項(xiàng)式獲得［7］。

給定一個(gè)弧長sj+1，由式(3)能求出第j+1步的預(yù)估值。例如，圖1中已知3個(gè)潮流解(s1，x(s1))、(s2，x(s2))、(s3，x(s3))，可以通過拉格朗日二次插值多項(xiàng)式來估計(jì)第4個(gè)潮流解()。取一個(gè)適當(dāng)?shù)牟介L△s，則

1.3 已有的非線性預(yù)測算法說明

采用拉格朗日非線性方法預(yù)測，在PV曲線功率極限處可以采用較大的步長加快計(jì)算速率，然而研究表明非線性預(yù)測對(duì)于PV曲線的下半支部分并不是有效，因?yàn)榉蔷€性應(yīng)用的是弧長與狀態(tài)變量的關(guān)系。如圖2所示，可觀察出曲線是關(guān)于A點(diǎn)對(duì)稱的，而實(shí)際系統(tǒng)中很多節(jié)點(diǎn)的電壓幅值與PV曲線下半支弧長的關(guān)系不同于與上半支弧長的關(guān)系。

圖2 弧長和狀態(tài)變量的關(guān)系圖

2 改進(jìn)的連續(xù)潮流法

針對(duì)以前方法的不足做了如下改進(jìn):把PV曲線分為兩個(gè)區(qū)域，如圖3所示。區(qū)域Ⅰ為PV曲線上半支和下半支的功率極限附近，由于非線性預(yù)測具有較好的魯棒性和非線性，并且弧長與PV曲線的上半支有近似二次函數(shù)的關(guān)系，因此采用二階拉格朗日插值法預(yù)測具有較高的精度和速度。區(qū)域Ⅱ?yàn)镻V曲線剩下部分，利用割線法預(yù)估，避免了第2.3中說明的非線性預(yù)測的問題。區(qū)域Ⅰ向區(qū)域Ⅱ過渡時(shí)，由閾值β控制。當(dāng)在曲線下半支|△x/△λ|≤β時(shí)，區(qū)域Ⅰ向區(qū)域Ⅱ過渡。

圖3 PV曲線區(qū)域圖

步長控制是連續(xù)潮流法中的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，步長過小將造成預(yù)估校正步數(shù)太多，步長過大將使得校正過程收斂緩慢甚至發(fā)散。理想的情況下是，步長應(yīng)該隨著曲線的曲率大小進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié):潮流解曲線在曲率小的部分，即平坦部分采用較大的步長，在曲率大的部分采用較小的步長。這里利用曲線上緊挨著的兩點(diǎn)(xj，λj)和(xj－1，λj－1)來控制步長，其表達(dá)式為

式中，MAX=max(|Vj－Vj－1|)，其中 V 為狀態(tài)變量中x節(jié)點(diǎn)電壓的幅值;a、b是系數(shù)。從式(7)中可以看出，曲線在曲率小的部分，電壓幅值變化較大，此時(shí)步長取值較小;在曲率大的部分，電壓幅值變化較小，步長取值較大，這樣步長的大小就根據(jù)曲線曲率的大小自動(dòng)變化。

3 算例分析

用IEEE 39節(jié)點(diǎn)測試系統(tǒng)對(duì)改進(jìn)的連續(xù)潮流法進(jìn)行了效率評(píng)估。所有仿真沒有考慮發(fā)電機(jī)無功限制，所有的負(fù)荷和發(fā)電機(jī)的有功和無功按同一比例增長，負(fù)荷為恒功率模型，并且保持功率因數(shù)不變。

為了方便，把方法定義如下。

方法A:切線法;

方法B:非線性法;

方法C:改進(jìn)方法，步長控制采用式(7)，在區(qū)域Ⅰ中采用非線性拉格朗日插值法時(shí)，式中a、b分別取0.5和2.5;在區(qū)域Ⅱ中采用割線法時(shí)，式中a、b分別取0.4和3;區(qū)域Ⅰ向區(qū)域Ⅱ過渡時(shí)的閾值β取1.12。

圖4 IEEE 39節(jié)點(diǎn)母線12的PV曲線圖

圖4 顯示了IEEE 39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)在節(jié)點(diǎn)31的PV曲線，圖中(a)、(b)、(c)分別表示用方法 A、B、C 繪制的PV曲線。從圖中可以觀察出，在PV曲線的功率極限處C方法和D方法所得的預(yù)估點(diǎn)與相應(yīng)的校正點(diǎn)非常接近，說明利用非線性預(yù)測曲線曲率大的部分具有很好的魯棒性。

表1比較了A、B、C 3種方法CPU的計(jì)算時(shí)間，其中RA、RB分別表示了其他方法相對(duì)于A、B方法CPU計(jì)算時(shí)間的比率。從表中可以看出方法C相對(duì)于方法A、B分別減少了CPU時(shí)間的35.7%、6.5%。圖5顯示了繪制曲線每步所需要的迭代次數(shù)，從圖中可以看出A、B、C 3種方法繪制曲線的步數(shù)分別為22、21、20步;采用了非線性預(yù)測法的B、C方法在曲線極限功率處的迭代次數(shù)最多達(dá)3次，在曲線的下半支仍采用B方法導(dǎo)致迭代次數(shù)增加，達(dá)到了5次，這就是由于曲線在下半支的弧長與狀態(tài)變量的關(guān)系不同于上半支弧長與狀態(tài)變量的關(guān)系。

表1 IEEE 39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)CPU時(shí)間比較

圖5 繪制曲線步數(shù)和校正迭代次數(shù)關(guān)系圖

4 結(jié)論

對(duì)求解PV曲線的連續(xù)潮流法進(jìn)行了改進(jìn)。通過線性和非線性的混合預(yù)測，解決了常規(guī)非線性預(yù)測在PV曲線下半支的問題，有效地改善了連續(xù)潮流法的性能。采用自動(dòng)變步長提高了程序的效率。通過IEEE 39節(jié)點(diǎn)測試系統(tǒng)的算例分析，表明了該方法的正確性和有效性。

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