廣義Ito方程組的對稱和新的顯式解

張穎元，劉希強，王崗偉

(聊城大學數(shù)學科學學院，山東聊城252059)

0 前言

本文將利用修正的CK直接方法研究下述廣義Ito方程組［1］

方程組(1)是著名的Ito可積模型的推廣，把它稱作GIto。利用Hirota雙線性方法，文獻［2］找到了GIto方程組中p=0時的3孤子解和4孤子解。隨后，文獻［3］對其可積性進行了研究，發(fā)現(xiàn)它們都具有潘勒韋意義下的可積性。在文獻［4］中，利用改進的雅克比橢圓函數(shù)法得到了方程組(1)的雙周期解。文獻［5-6］中，找到了方程組(1)的許多行波解。為了求解方程組非線性模型的精確解，已經(jīng)提出了許多解決的方法。如Backlund變換法和Darboux變換法［7］，截斷潘勒韋分析方法［8］，擴展的Riccati方程方法［9］等。本文首先利用修正的CK直接方法，建立了方程組(1)的新、舊解之間的關系，推廣了文獻［4］中相應的結(jié)果，導出了對稱群理論。其次，得到了方程組(1)的相似約化和一些新的顯示解。最后，給出了相應的結(jié)論。

1 GIto方程組的新舊解之間的關系和對稱群

假設方程組(1)具有下述形式的對稱群

其中，αi、βi(i=1，2，3，4)、γ3、γ4、ξ和 τ 都是關于{x，t}的待定函數(shù)，并且在變換{x，t，u，v，w，p}→ {ξ，τ，U，V，W，P}下要求 U(ξ，τ)、V(ξ，τ)、W(ξ，τ)、P(ξ，τ)也滿足方程組(1)，即

把式(2)代入方程組(1)，并利用約束方程組(3)消去 Uτ、Vτ、Wτ、Pτ，令 U(ξ，τ)、V(ξ，τ)、W(ξ，τ)、P(ξ，τ)和它們的導數(shù)項的系數(shù)為0，得到下述超定方程組

解上述方程組，得到

其中，c1、c2、c3、c4和 c5是任意常數(shù)。

根據(jù)上述過程，對于GIto系統(tǒng)，有下述對稱群定理:

定理1 如果 U=U(ξ，τ)，V=V(ξ，τ)，W=W(ξ，τ)，P=P(ξ，τ)是方程組(1)的解，那么下列u、v、w和p也是方程組(1)的解，其中ξ和τ由式(4)決定。

利用定理1，可以推廣相應的已知解，從而建立了Ito方程組的新舊解之間的關系。通過文獻［4］中的解，可以得到以下橢圓函數(shù)解

其 中，a、b、c、a20、a30、a40、l 和 b32是 任 意 常 數(shù)和τ由式(4)決定。

根據(jù)定理1，可以限制c1=1+εc1;c2= εc2;c3= εc3;c4= εc4;c5= εc5，其中，ε 是無窮小參數(shù)，并且c1、c2、c3、c4和c5是任意常數(shù)，則可以通過以上變換得到方程組(1)的李點對稱群。

2 GIto方程組的相似約化和顯式解

為了求出方程組(1)的相似約化和精確解，根據(jù)對稱可得下述對應的特征方程組

選取下述情況討論:

情況1 c1=1，c2=c3=c4=c5=0。解相應的特征組可得函數(shù)

情況2 c1=c2=c4=0，c3=c5=1。解相應的特征方程組，則函數(shù)u、v、w和p可以表示為

其中，ξ=t;q1是任意常數(shù)。函數(shù)u，v，w和p可滿足下述約化方程

情況3 c1=c3=c4=c5=0，c2=1?？傻孟率鱿嗨谱兞亢秃瘮?shù)

把式(16)代入方程組(1)，可得方程(1)的約化方程為

情況4 c2=c5=1，c1=c3=c4=0?？傻孟率霾蛔兞?ξ和函數(shù) u、v、w、p，

把式(18)代入方程組(1)，則方程組(1)的約化方程可以表示為

其中，G=G(ξ)滿足二階線性常微分方程

其中，λ、μ 是任意常數(shù);ai、bi、di和 ni(i=0，1，2)是待定函數(shù)。

把式(20)和式(21)代入方程組(13)，并按(G')的次數(shù)合并同類項，令(G')的各次方的系數(shù)為零G

解代數(shù)方程組可得:當λ=0，μ=1時，

因此，變系數(shù)約化方程組(13)的解為

其中，C1、C2是任意常數(shù)更多形式的解見文獻［10］。

根據(jù)式(23)和式(24)就可以得到變系數(shù)方程組(13)的解，再聯(lián)合式(12)可得GIto方程組的解。同時，根據(jù)定理1可以得到更廣泛的顯式解。

為了求解方程(19)，通過齊次平衡，假設方程組(19)具有下述形式的解

其中，ai、bi、di和 ni(i=0，1，2，-1，-2)是待定常數(shù)。

利用輔助方程

其中k是參數(shù)。

把式(25)和式(26)代入方程組(19)，令φ(ξ)的系數(shù)為零，借助于maple軟件和吳消元法［11］，求解關于 ai、bi、di和 ni(i=0，1，2，-1，-2)的超定方程組，可得下述結(jié)果

從而可得

其中，φ(ξ)滿足廣義Riccati方程并具有下述廣義解

根據(jù)式(18)，式(27)和式(28)，可得到原方程組的顯式解。同時，將求得的解作為種子解再利用定理1，可以得到方程組(1)的更廣泛的顯式解。

3 結(jié)論

本文利用修正的CK直接方法得到了廣義Ito方程組的對稱群理論，建立了新、舊解之間的關系，根據(jù)定理1，推廣了文獻［4］中相應的結(jié)果。同時，根據(jù)對稱σ=0與原方程組的相容性，獲得了相應的約化方程，通過求解約化方程得到了一些新的顯式解。

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