基于可能度優(yōu)勢關(guān)系的區(qū)間序粗糙集模型＊

徐智明 劉 宏 馬 琳 陳小衛(wèi)

（1.92819部隊 大連 116600）（2.海軍駐航天一院軍代室 北京 100076）（3.海軍軍訓(xùn)器材研究所 北京 100841）（4.海軍航空工程學(xué)院 煙臺 264001）

1 引言

粗糙集理論［1］是分析和處理各類信息的有效工具，已成當(dāng)前研究的熱點，被廣泛知識發(fā)現(xiàn)、數(shù)據(jù)挖掘、決策分析等領(lǐng)域中［2～4］。在多屬性決策中，屬性值往往具有偏好關(guān)系，基于等價關(guān)系的經(jīng)典粗糙集則難以滿足需要。于是，Greco等［5～7］對粗糙集理論進(jìn)行擴(kuò)充，利用優(yōu)勢關(guān)系來代替等價關(guān)系，提出了基于優(yōu)勢關(guān)系的粗糙集，為多屬性決策提供了一種新方法。

然而在多屬性決策過程中，屬性值往往難以用精確數(shù)來表達(dá)。區(qū)間型多屬性決策則是多屬性決策的一種特殊情況。在區(qū)間信息系統(tǒng)上基于優(yōu)勢關(guān)系的粗糙集方法已有研究。文獻(xiàn)［8］將屬性值具有偏好關(guān)系的區(qū)間值信息系統(tǒng)稱區(qū)間序信息系統(tǒng)，并定義了幾種優(yōu)勢關(guān)系；文獻(xiàn)［9］針對條件屬性和決策屬性都為區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題，定義了三種優(yōu)勢關(guān)系；文獻(xiàn)［10］研究了不完備區(qū)間信息上基于優(yōu)勢關(guān)系的粗糙集方法；文獻(xiàn)［11］針對前面定義的幾種優(yōu)勢關(guān)系的不足，假定各屬性都服從給定區(qū)間數(shù)上的均勻分布，提出了一種概率優(yōu)勢關(guān)系，但表達(dá)形式過于復(fù)雜，同時該假定也缺乏依據(jù)。考慮到區(qū)間數(shù)多屬性決策中，通過可能度［12～13］能較好的表達(dá)區(qū)間數(shù)比較的優(yōu)于程度，本文將可能度的概念引入到優(yōu)勢關(guān)系中，提出一種基于可能度的優(yōu)勢關(guān)系，通過對可能度α∈［0.5，1］的變化，來調(diào)節(jié)優(yōu)勢關(guān)系的“優(yōu)于”程度，能較好的克服當(dāng)前區(qū)間序信息系統(tǒng)上的幾種優(yōu)勢關(guān)系的不足。

2 問題提出

2.1 區(qū)間序信息系統(tǒng)

定義1［8］區(qū)間值信息系統(tǒng)是一個四元組S＝（U，A，V，f），其中，U＝ ｛x1，x2，…，xn｝為對象的非空有限集合，A為非空屬性集合；V＝∪a∈AVa，Va為屬性a的值域，f：U×A→V為一信息函數(shù)，表示對每一個a∈A，x∈U，f（x，a）∈Va，其中，Va是一個區(qū)間數(shù)，定義如下

f（x，a）＝［aL（x），aU（x）］＝｛p｜aL（x）≤p≤aU（x），aL（x），aU（x）∈R｝

表示在屬性a下對象x的區(qū)間值。特別的aL（x）＝aU（x）時，f（x，a）退化為一個實數(shù)。因此單值信息系統(tǒng)是區(qū)間值信息系統(tǒng)的特殊形式。

定義2［8］對區(qū)間值信息系統(tǒng)S＝（U，A，V，f），若所有屬性都具有優(yōu)勢關(guān)系，則稱之為區(qū)間序信息系統(tǒng)。

2.2 區(qū)間序優(yōu)勢關(guān)系

定義3設(shè)區(qū)間序系統(tǒng)S＝（U，A，V，f），B?A，幾種優(yōu)勢關(guān)系定義如下［8～11］：

1）上優(yōu)勢關(guān)系：

對定義3的幾種優(yōu)勢關(guān)系進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)這幾種優(yōu)勢關(guān)系存在入一定的缺陷，具體如下：

1）下上優(yōu)勢關(guān)系的定義則過于嚴(yán)格。如［4.9，100］和［2，5］，不滿足下上優(yōu)勢關(guān)系，但實際上可認(rèn)為［4.9，100］應(yīng)優(yōu)于［2，5］。

2）上下優(yōu)勢關(guān)系的定義過于寬松。根據(jù)上下優(yōu)勢關(guān)系，［2，3［2.999，100］，同時又有［2.999，100［2，3］，這也不合理，將會使得信息系統(tǒng)知識獲取中出現(xiàn)誤分類的問題。

3）上優(yōu)勢關(guān)系和下優(yōu)勢關(guān)系的定義則介于前兩者之間，但仍會產(chǎn)生不合理結(jié)果。如根據(jù)上優(yōu)勢關(guān)系，［1，3［2.98，2.99］，這不符合事實。同理，根據(jù)下優(yōu)勢關(guān)系，［2，［1.999，100］，這也不符合事實。

4）上上下下優(yōu)勢關(guān)系為同時滿足上優(yōu)勢和下優(yōu)勢關(guān)系的特例，但難以實現(xiàn)部分區(qū)間數(shù)的比較，從而導(dǎo)致分類的遺漏。如［1，2］和［0.9，10］無法比較，而［0.9，10］應(yīng)優(yōu)于［1，2］。

因此，有必要引入一種新的區(qū)間序信息系統(tǒng)的優(yōu)勢關(guān)系。

3 基于可能度的優(yōu)勢關(guān)系

3.1 可能度

為了比較區(qū)間數(shù)的大小，文獻(xiàn)［13］定義了可能度的概念。

定義4當(dāng)a，b同為區(qū)間數(shù)或有一個區(qū)間數(shù)時，設(shè)a＝［aL，aU］，b＝［bL，bU］，且記la＝aU－aL，lb＝bU－bL，則稱

為a≥b的可能度。

可能度反映了區(qū)間數(shù)a≥b的可能性。通過可能度，能夠?qū)崿F(xiàn)任何兩個區(qū)間數(shù)進(jìn)行比較。因此，可將其引入到區(qū)間序信息系統(tǒng)中去。

對區(qū)間信息系統(tǒng)S＝（U，A，V，f），對任意xi，xj∈U，a∈A，f（xi，a）＝［aL（xi），aU（xi）］，f（xj，a）＝［aL（xj），aU（xj）］，令＝aU（xi）－aL（xi），＝aU（xj）－aL（xj）。若f（xi，a）和f（xj，a）不同為實數(shù)，則

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若f（xi，a）和f（xj，a）同為實數(shù)，則

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1）若＝0，當(dāng)且僅當(dāng)aU（xj）≤aL（xi），即f（xj，a）≤f（xi，a）肯定成立。

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3）若0＜＜1，則f（xi，a）與f（xj，a）相交或包含。

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特別的，f（xi，a）＝f（xj，a）時＝0．5。即兩個區(qū)間數(shù)相等時，一個數(shù)優(yōu)于另外一個數(shù)的可能度為0．5。

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3．2 α－可能度優(yōu)勢關(guān)系

定義5設(shè)區(qū)間值信息系統(tǒng)S＝（U，A，V，f），B?A，給定可能度α∈（0，1］，則可定義α－可能度優(yōu)勢關(guān)系和α－優(yōu)勢類：

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在區(qū)間序信息系統(tǒng)中引入可能度α后，可以通過閾值α∈（0，1］的調(diào)節(jié)來改變滿足優(yōu)勢關(guān)系的可能程度，這樣就提高了信息處理的靈活性。

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定理1給定區(qū)間序信息系統(tǒng)S＝（U，A，V，f），B?A，

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1）若α∈（0，0．5］，則是自反的，但不是傳遞的和對稱的；

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2）若α∈［0．5，1］，則是傳遞的，但不是自反的和對稱的。

自然災(zāi)害與氣象問題對橋梁工程施工有著直接影響，火災(zāi)與爆炸這些安全事故受到工程施工現(xiàn)場環(huán)境的影響。針對這些工程環(huán)境風(fēng)險，施工企業(yè)可以利用購買工程施工保險的方法轉(zhuǎn)移風(fēng)險。有意識地將風(fēng)險與施工企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益聯(lián)系在一起，在安全事故發(fā)生后，盡最大可能降低施工企業(yè)的損失。另外，要在施工過程中對一切安全因素進(jìn)行有效監(jiān)控，24小時監(jiān)控施工現(xiàn)場的火災(zāi)發(fā)生影響因素與爆炸影響因素。安排專人負(fù)責(zé)工程環(huán)境風(fēng)險管理，加強(qiáng)施工現(xiàn)場的監(jiān)督力度，用規(guī)范的施工操作，預(yù)防工程環(huán)境事故的發(fā)生。

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證明：（1）由α∈（0，0．5］，則＝0．5≥α，?a∈B，則（xi，xi）∈，故是自反的。同時可以驗證不滿足自反性和對稱性。

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（2）由可能度的定義可知，α≥0．5時，對xi，xj，xk∈U，a∈B，若≥α≥α，則≥α，則可證明是傳遞的。同時可以驗證不滿足自反性和對稱性。

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不失一般性，和有以下性質(zhì)：

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定理2給定區(qū)間序信息系統(tǒng)S＝（U，A，V，f），B?A，則

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證明：1）～3）可由優(yōu)勢關(guān)系和優(yōu)勢類的定義直接證明。

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4）由定義，＝｛（xi，xj）∈U×U≥α2，?a∈B｝，即對任意（xi，xj）∈，有≥α2，?a∈B。由題設(shè)條件α1≤α2，則≥α2≥α1，?a∈B，即（xi，xj）∈，由于（xi，xj）是任意的，則?。

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5）由4）和α－優(yōu)勢類的定義可直接得到。

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若在屬性a下對象xj優(yōu)于xi，則≥。有互補(bǔ)性知，≥0．5。由于α表示對象“優(yōu)于”的最小可能程度，為保證分類的合理性，應(yīng)取α∈［0.5，1］。

4 可能度優(yōu)勢關(guān)系下的粗糙近似

定義6設(shè)區(qū)間序信息系統(tǒng)S＝（U，A，V，f），對給定的α∈［0.5，1］，對任意B?A，X?U，上下近似定義如下：

由定義6，能得到如下性質(zhì)。

定理3區(qū)間序信息系統(tǒng)S＝（U，A，V，f），B?A，α∈［0.5，1］，則

證明：1）、2）、3）可由定義直接證明。

5 算例

設(shè)有區(qū)間序信息系統(tǒng)S＝（U，A，V，f），其中對象集U＝｛x1，x2，…，x8｝，屬性集A＝｛a1，a2，a3，a4，a5，a6｝，所有屬性均為效益型屬性。區(qū)間序信息表如表1所示。

表1 區(qū)間序信息表

利用2.2節(jié)中五種優(yōu)勢關(guān)系對表1數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。由分類結(jié)果可知，下上優(yōu)勢關(guān)系雖然得到的分類準(zhǔn)確性高，但過于嚴(yán)格，使得分類中含有的信息過少。如對象x1與x8，f（x1，a4）＝［6，12］，f（x8，a4）＝［11，12］，計算在a4下x8優(yōu)于x1的可能度＝0.857，即x8應(yīng)劃分到x1的優(yōu)勢類。但由下上優(yōu)勢關(guān)系，x8不能分到x1的優(yōu)勢類。而α－可能度優(yōu)勢關(guān)系而上下優(yōu)勢關(guān)系的定義過于寬松，雖然得到的分類信息量多，但容易引入不合理的信息。如對f（x1，a5）＝［7，10］，f（x2，a5）＝［9，12］，計算在a5下x2優(yōu)于x1的可能度＝0.833，即x2優(yōu)于x1的概率大。而利用上下優(yōu)勢關(guān)系x1優(yōu)于x2，這顯然不合理。上優(yōu)勢關(guān)系和下優(yōu)勢關(guān)系的定義則介于前兩者之間，但仍會產(chǎn)生不合理結(jié)果，同時也會遺漏部分有用信息。上上下下優(yōu)勢關(guān)系為同時滿足上優(yōu)勢和下優(yōu)勢關(guān)系的特例，但難以實現(xiàn)部分區(qū)間數(shù)的比較，從而導(dǎo)致遺漏的問題。如對象x2和x6，由于f（x2，a1）＝［6，14］，f（x6，a1）＝［12，13］，采用上上下下優(yōu)勢關(guān)系則無法比較。計算在a1下x6優(yōu)于x2的可能度＝0.778，即x6優(yōu)于x2的概率大。由α－可能度優(yōu)勢關(guān)系可知，x6優(yōu)于x2，即上上下下優(yōu)勢關(guān)系產(chǎn)生了漏分的問題。

從上面分析可以看出，以往的五種優(yōu)勢關(guān)系的缺點在于沒有對“優(yōu)于”的程度進(jìn)行合理的定義，從而造成分類中出現(xiàn)不合理或則遺漏信息的現(xiàn)象。下面采用本文提出的α－可能度優(yōu)勢關(guān)系進(jìn)行計算，分別令α＝0.5，0.6，計算結(jié)果如下

由計算結(jié)果可看出，α－可能度優(yōu)勢關(guān)系能夠通過對α的變化來調(diào)節(jié)“優(yōu)于”的寬松程度，這樣就可以避免分類過寬和過窄而帶來的不合理性。同時通過定義的α－可能度能夠?qū)崿F(xiàn)任意兩個區(qū)間數(shù)的比較，這也避免分類中遺漏的問題。

6 結(jié)語

基于優(yōu)勢關(guān)系的粗糙集方法為多屬性決策提供了一種新的思路。在現(xiàn)實世界中，由于決策問題的復(fù)雜性和不確定性，屬性值難以直接用精確數(shù)來描述，而往往采用區(qū)間數(shù)的形式來表示。區(qū)間序信息系統(tǒng)是單值信息系統(tǒng)的擴(kuò)展，針對區(qū)間序信息系統(tǒng)上的優(yōu)勢關(guān)系的研究對決策分析具有極其重要的意義。本文總結(jié)如下：

1）當(dāng)前區(qū)間序信息系統(tǒng)上的幾種優(yōu)勢關(guān)系存在著過寬或過窄的問題，從而導(dǎo)致分類出現(xiàn)不合理或遺漏的現(xiàn)象。針對這一問題，本文可能度的概念引入到優(yōu)勢關(guān)系中，提出了一種新的優(yōu)勢關(guān)系—α－可能度優(yōu)勢關(guān)系，進(jìn)而研究了α－可能度優(yōu)勢關(guān)系的基本性質(zhì)以及與其他優(yōu)勢關(guān)系的聯(lián)系，并定義了基于α－可能度優(yōu)勢關(guān)系的粗糙集模型。通過對可能度α∈［0.5，1］的變化，來調(diào)節(jié)優(yōu)勢關(guān)系的“優(yōu)于”程度，能較好的克服這些不足。

2）α表示一個對象優(yōu)于另一對象的最小可能程度，能夠反映決策者主觀愿望，因此，可由決策者直接給定。

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