基于鎖放干擾力矩作用的擺式陀螺儀動(dòng)力學(xué)建模

孫立江，常振軍，賈天龍

(1.第二炮兵工程大學(xué) 二系，西安 710025;2.解放軍邊防學(xué)院 司令部工作教研室，西安 710108)

目前，國(guó)內(nèi)陀螺尋北儀在整個(gè)尋北過程中，需多次鎖放陀螺，目前完成一次鎖放通常需要約1 min，而Gyromat 3000一次鎖放僅需十幾秒，速度很快，且陀螺靈敏部的穩(wěn)定性好［1-3］，因此，鎖放的快慢和陀螺靈敏部的穩(wěn)定性直接影響尋北時(shí)間，這就需要進(jìn)行擺式陀螺儀在鎖放干擾力矩作用下的動(dòng)力學(xué)建模。

1 擺式陀螺儀結(jié)構(gòu)與尋北原理

1.1 擺式陀螺儀結(jié)構(gòu)

擺式陀螺尋北儀如圖1 所示，由與外壁固連的金屬懸掛帶、陀螺房殼、陀螺轉(zhuǎn)子及配重等組成［4］。其中金屬懸掛帶一般由鎳鉻等合金材料構(gòu)成，具有較好的彈性特征和較高的抗拉強(qiáng)度;陀螺房殼中裝有陀螺轉(zhuǎn)子，房殼起到保護(hù)和屏蔽的作用，陀螺轉(zhuǎn)子裝在萬向支架上，具有3 個(gè)方向的自由度。配重使轉(zhuǎn)子缺少1 個(gè)方向上的自由度。在平時(shí)存放時(shí)，由下面支撐裝置將整個(gè)陀螺靈敏部托起;工作時(shí)靈敏部下放，由懸掛帶吊起，進(jìn)行尋北。

圖1 擺式陀螺儀結(jié)構(gòu)

1.2 擺式陀螺儀尋北原理

如圖2 所示，設(shè)初始位置陀螺靈敏部的重力P 通過懸掛帶與陀螺房連接點(diǎn)O 和重心位置G，此時(shí)重力不產(chǎn)生力矩，轉(zhuǎn)子也不發(fā)生進(jìn)動(dòng)。當(dāng)?shù)厍蜃赞D(zhuǎn)了β 角時(shí)，轉(zhuǎn)子軸相對(duì)水平面也抬高了β 角，這時(shí)陀螺儀的重力P 產(chǎn)生了力矩，l 為懸掛帶下懸掛點(diǎn)至重心的距離，稱為傾心高，由陀螺進(jìn)動(dòng)規(guī)律知，該力矩作用在陀螺轉(zhuǎn)子軸上，將產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)。而對(duì)于指定的陀螺儀，它的P、l 和動(dòng)量矩H 都是固定的，進(jìn)動(dòng)角速度ωP只由角度β 決定，而β 的變化卻是由地球自轉(zhuǎn)所造成的，也就是說，是由地球自轉(zhuǎn)和重力矩的綜合作用，使陀螺轉(zhuǎn)子軸發(fā)生進(jìn)動(dòng)。由于重力矩的方向指向北方，這樣總有一個(gè)指向真北的外力矩作用在陀螺靈敏部，使陀螺的動(dòng)量矩沿最短路徑向真北方向進(jìn)動(dòng)。

圖2 擺式陀螺尋北原理

2 基于動(dòng)靜法的擺式陀螺儀動(dòng)力學(xué)建模

依據(jù)力學(xué)中的達(dá)朗伯原理，將牛頓第二定律F =ma 變換為F+Q=0，Q= -ma 表示物體的慣性力，一般為相對(duì)慣性力、牽連慣性力和哥式慣性力三者的矢量和，如此可使動(dòng)力學(xué)問題轉(zhuǎn)變?yōu)殪o力學(xué)問題求解，從形式上把受力運(yùn)動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)為受力平衡狀態(tài)，這種處理問題的方法稱為動(dòng)靜法或慣性力法［5］。

圖3 動(dòng)坐標(biāo)系下陀螺儀運(yùn)動(dòng)

同時(shí)假設(shè)地理坐標(biāo)系相對(duì)慣性坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度(角速度)在地理坐標(biāo)系各軸上的投影分別為和(ωx、ωy和ωz)。由于陀螺儀具有繞Ox 軸和Oy 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix和Iy，當(dāng)陀螺儀繞這兩軸出現(xiàn)角加速度時(shí)，就有一般定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力矩。轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力矩的方向與角加速度方向相反，如圖4 所示。當(dāng)陀螺儀相對(duì)地理坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角α 和β 均為微量時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力矩為

圖4 慣性力矩之間的關(guān)系

根據(jù)動(dòng)靜法(或慣性力法)原理，在作用于物體的外力之外，另加上慣性力，即可是動(dòng)力學(xué)問題轉(zhuǎn)變?yōu)殪o力學(xué)問題求解。將式(1)和(2)相加，可以寫出陀螺儀繞內(nèi)環(huán)軸和外環(huán)軸的力矩平衡方程式

整理得

由圖5 將地球自轉(zhuǎn)角速度分解到地理坐標(biāo)系中，并結(jié)合圖3 各軸關(guān)系，得到

其中φ 為當(dāng)?shù)鼐暥?。地理坐?biāo)系的角加速度為零，將式(5)代入式(4)中得到

式(6)為利用動(dòng)靜法建立的擺式陀螺尋北運(yùn)動(dòng)方程。

圖5 地球自轉(zhuǎn)角速度分解

3 擺式陀螺儀在受鎖放干擾力矩影響下的動(dòng)力學(xué)模型的建立

在鎖放過程中，由于擺式陀螺儀的陀螺靈敏部整體的質(zhì)量由鎖緊機(jī)構(gòu)來進(jìn)行承受，陀螺靈敏部上端的吊帶所承受的陀螺靈敏部的質(zhì)量在下放過程中，隨著陀螺靈敏部的下放是從零逐漸增大直至整個(gè)承受陀螺靈敏部的質(zhì)量。由于鎖放力矩總是在t=0 時(shí)加到陀螺儀上的，這個(gè)力矩可看成是階躍的常值力矩，為了分析方便，假設(shè)只在陀螺儀的內(nèi)環(huán)軸上作用有該常值力矩Mx。而鎖放干擾力矩雖然是直接作用與陀螺房，但是，可認(rèn)為是瞬時(shí)對(duì)陀螺儀的干擾，故可近似認(rèn)為是脈沖力矩。又由于脈沖力矩的作用時(shí)間短，可認(rèn)為陀螺儀主軸的初始方位不發(fā)生改變，故該力矩作用以后陀螺儀上將不會(huì)有外力矩變化，但是會(huì)引起陀螺儀主軸初始角速度的變化［6］。下面就以下放過程為例來進(jìn)行分析擺式陀螺儀在干擾力矩作用下的動(dòng)力學(xué)模型。而陀螺靈敏部的鎖緊過程的分析方法與此相同。

3.1 吊帶不受力

在此情況下，根據(jù)前面動(dòng)靜法所建立的陀螺儀的動(dòng)力學(xué)模型公式可得到

3.2 吊帶開始受力，但未全部承受陀螺靈敏部的質(zhì)量

此時(shí)，雖然吊帶開始受力，但是，陀螺儀在吊帶和下放力矩的共同作用下處于力矩平衡狀態(tài)，因此，根據(jù)前面動(dòng)靜法所建立的陀螺儀的動(dòng)力學(xué)模型公式可得到

3.3 吊帶完成承受陀螺靈敏部的質(zhì)量

此時(shí)只受鎖放干擾力矩的影響。吊帶在x 軸方向的力矩為:MD=Tlsin(β-γ)。同樣，根據(jù)前面動(dòng)靜法所建立的陀螺儀的動(dòng)力學(xué)模型公式可得到

這樣所得到的式(7)、式(8)和式(9)就是在受鎖放干擾力矩影響的擺式陀螺儀的動(dòng)力學(xué)模型。

4 結(jié)束語

本文從擺式陀螺儀的結(jié)構(gòu)和尋北原理出發(fā)，利用動(dòng)靜法建立了擺式陀螺儀的動(dòng)力學(xué)模型，并以此為基礎(chǔ)，分析了在鎖放過程中擺式陀螺儀在受鎖放干擾力矩影響下的運(yùn)動(dòng)情況和受力情況，并建立了在此過程中的動(dòng)力學(xué)模型。

［1］DMT GmbH.Exploration＆Geosurvey［EB/OL］.［2009 -07-24］.http: // www.gyromat.de.

［2］萬朋，張海東.陀螺經(jīng)緯儀零位改正系數(shù)研究［J］.北京測(cè)繪，2005(2):48-49.

［3］劉勇，張志勇，馮偉利.陀螺經(jīng)緯儀校準(zhǔn)技術(shù)［J］.宇航計(jì)測(cè)技術(shù)，2007(4):6-10.

［4］姜春福.懸掛式二自由度陀螺經(jīng)緯儀運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究［D］.北京:北京工業(yè)大學(xué)，2000.

［5］劉延柱.陀螺力學(xué)［M］.2 版.北京:科學(xué)出版社，2009:67-69.

［6］許江寧，卡鴻巍，劉強(qiáng)，等.陀螺原理及應(yīng)用［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2009:46-49.