基于主成分分析的指標(biāo)權(quán)重確定方法

韓小孩，張耀輝，孫福軍，王少華

(1 裝甲兵工程學(xué)院 維修工程教研室，北京 100072;2 71602 部隊(duì)，山東 濰坊 261055)

主成分分析(principal component analysis，PCA)，也稱主分量分析或矩陣數(shù)據(jù)分析。它通過(guò)變量變換的方法把相關(guān)的變量變?yōu)槿舾刹幌嚓P(guān)的綜合指標(biāo)變量［1］，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)集的降維，使得問(wèn)題得以簡(jiǎn)化?，F(xiàn)行的關(guān)于主成分分析的應(yīng)用研究中大多集中于數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)化處理或綜合評(píng)價(jià)上［2-3］。文獻(xiàn)［4］中介紹主成分的在權(quán)重確定方面的研究，雖提出了權(quán)重確定的一般方法，但由于所需樣本數(shù)據(jù)較多，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)通用性不強(qiáng)。本文旨在研究一種權(quán)重確定方法，在無(wú)需指標(biāo)樣本數(shù)據(jù)的情況下利用主成分分析方法基本原理，解決權(quán)重確定問(wèn)題。

1 主成分方法

1.1 基本原理

主成分分析的原理可以簡(jiǎn)單的陳述如下:借助一個(gè)正交變換，將其分量相關(guān)的原隨機(jī)向量

轉(zhuǎn)化成其分量不相關(guān)的新隨機(jī)變量

使之指向樣本點(diǎn)散布最開(kāi)的p 個(gè)正交方向，然后對(duì)多維變量系統(tǒng)進(jìn)行降維處理，使之能以一個(gè)較高的精度轉(zhuǎn)換成低維變量系統(tǒng)［5-7］。

1.2 計(jì)算步驟

1)構(gòu)造樣本陣

其中，xij表示第i 組樣本數(shù)據(jù)中的第j 個(gè)變量的值。

3)對(duì)Y 做標(biāo)準(zhǔn)化變換得標(biāo)準(zhǔn)化陣

4)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化陣Z 的樣本相關(guān)系數(shù)陣

5)求特征值

解得p 個(gè)特征值λ1≥λ2≥…≥λp≥0。

6)確定m 值，使信息的利用率達(dá)到80%以上。確定方法為

對(duì)每個(gè)λj，j =1，2，…，m。解方程組Rb = λjb，得單位向量

得決策矩陣

其中，ui為第i 個(gè)變量的主成分向量。

1.3 建立權(quán)重模型

1)提出假設(shè)

假設(shè)需確定權(quán)重的指標(biāo)個(gè)數(shù)為h 個(gè)?，F(xiàn)分別咨詢L 位專家得出h 組權(quán)重評(píng)分值，其中每組評(píng)分值中均有L 個(gè)元素。具體形式可由表1 表示。

表1 專家打分

由于各位專家所研究方向不同，其打分也存在一定的偏向，從而給權(quán)重的確定帶來(lái)一定的模糊性。研究發(fā)現(xiàn)，專家人數(shù)越多，得到的權(quán)重越科學(xué)，與此同時(shí)權(quán)重的確定也就越模糊。在此基礎(chǔ)上提出以下假設(shè)，即在專家人數(shù)不變的情況下，利用各位專家評(píng)分間的線性關(guān)系對(duì)實(shí)際評(píng)分專家數(shù)進(jìn)行類似的簡(jiǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)權(quán)重評(píng)判的精確性。經(jīng)分析得，思路符合主成分分析的基本原理，故可嘗試用主成分分析方法來(lái)確定權(quán)重。

2)權(quán)重確定過(guò)程

根據(jù)上述條件可知，權(quán)重的確定過(guò)程其實(shí)就是主成分分析求綜合評(píng)價(jià)函數(shù)的過(guò)程。在此過(guò)程中，原評(píng)價(jià)系統(tǒng)中的指標(biāo)變?yōu)闃颖?現(xiàn)有指標(biāo)為各位專家。具體的權(quán)重確定流程可用圖1 表示。

圖1 權(quán)重確定流程

3)權(quán)重模型

首先確定的初級(jí)權(quán)重模型即是主成分模型

式中，F(xiàn)1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m為分析后得到的m 個(gè)主成分;uij為決策矩陣中系數(shù)。需要指出的是，在用SPSS 軟件進(jìn)行主成分分析時(shí)，得到不是決策矩陣系數(shù)uij而是初始因子載荷fij。二者滿足如下關(guān)系

在此基礎(chǔ)上構(gòu)建綜合評(píng)價(jià)函數(shù):

式中，a1，a2，…aL即指標(biāo)w1，w2，…，wL在主成分中的綜合重要度。在此基礎(chǔ)上結(jié)合專家實(shí)際打分，可算出原有指標(biāo)得分綜合值。

可得各指標(biāo)權(quán)重為

由式(3)、式(4)、式(5)可得二級(jí)權(quán)重模型

因此可確定總的權(quán)重模型如圖2 所示。

圖2 指標(biāo)權(quán)重確定模型

2 示例分析

現(xiàn)有任務(wù)成功性評(píng)定指標(biāo)集:(任務(wù)強(qiáng)度，環(huán)境等級(jí)，壽命等級(jí)，人員素質(zhì)，技術(shù)狀態(tài))。

假定變量V=(v1，v2，…，v5)與指標(biāo)集中元素滿足如下對(duì)應(yīng)關(guān)系:v1-任務(wù)強(qiáng)度;v2-環(huán)境等級(jí);v3-壽命等級(jí);v4-人員素質(zhì);v5- 技術(shù)狀態(tài)。另有，w1- 專家1;w2- 專家2;w3-專家3;w4-專家4;w5-專家5;w6-專家6。

由6 位專家采取5 分制原則對(duì)5 個(gè)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)分得表2。

以原指標(biāo)項(xiàng)為樣本，專家項(xiàng)為指標(biāo)對(duì)評(píng)分表進(jìn)行主成分分析。經(jīng)SPSS 軟件分析得表3、表4。

表2 評(píng)價(jià)指標(biāo)得分表

表中:5 -非常重要;4 -比較重要;3 -一般重要;2 -不太重要;1 -不重要

表3 成分矩陣

表4 方差解釋表

成分 初始特征值合計(jì) 方差的% 累積%1 3.860 64.328 64.328 2 1.222 20.362 84.690 3 0.709 11.814 96.504 4 0.210 3.496 100.000 5 -6.417E-17 -1.070E-15 100.000 6 -2.059E-16 -3.432E-15 100.000

將表(3)結(jié)果經(jīng)式(2)轉(zhuǎn)換后代入初始權(quán)重模型即式(1)可得

再結(jié)合上述結(jié)果以及評(píng)分表和表(4)結(jié)果共同代入二級(jí)權(quán)重模型即式(6)可得

即指標(biāo)集(任務(wù)強(qiáng)度，環(huán)境等級(jí)，裝備壽命狀態(tài)等級(jí)，人員素質(zhì)等級(jí)，裝備技術(shù)狀態(tài)等級(jí))對(duì)應(yīng)的權(quán)重集為(0.207 5，0.145 6，0.241 2，0.163 6，0.242 1)。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)主成分分析方法缺少在指標(biāo)權(quán)重確定方面的應(yīng)用這一問(wèn)題，提出了一種無(wú)需多組樣本數(shù)據(jù)的基于主成分分析的權(quán)重確定方法。建立了基于主成分分析的權(quán)重確定模型，并結(jié)合例子進(jìn)行了分析。該模型通用性較強(qiáng)，可有效應(yīng)用于各種指標(biāo)權(quán)重確定問(wèn)題中，為各類評(píng)估問(wèn)題的進(jìn)行奠定了基礎(chǔ)。

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