磁流變拋光預(yù)補(bǔ)償交叉耦合輪廓控制算法

孫希威

（哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，哈爾濱 150001）

0 引言

超精密加工的輪廓精度控制直接影響到工件的加工精度[1]，就數(shù)控系統(tǒng)而言，其輪廓加工軌跡是多軸協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)的結(jié)果。因此，為提高伺服系統(tǒng)的輪廓控制精度，可采用兩種辦法：一是采用先進(jìn)的控制方法，提高每個(gè)單軸的跟蹤精度，從而達(dá)到改善輪廓精度的目的。這種控制方法對單軸的伺服控制而言是閉環(huán)控制，但對由各聯(lián)動(dòng)軸組成的輪廓控制系統(tǒng)來說則是開環(huán)控制的，這實(shí)際上很難保證超精密機(jī)床輪廓加工精度。二是以輪廓精度為控制目標(biāo)，將各個(gè)軸組成的輪廓控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)為輪廓閉環(huán)系統(tǒng)，這樣可以在不改變單軸控制精度的基礎(chǔ)上，大大的提高系統(tǒng)輪廓控制精度。本文主要以輪廓控制為目標(biāo)，討論預(yù)補(bǔ)償交叉耦合輪廓控制器的設(shè)計(jì)方法。

1 輪廓誤差模型

1.1 輪廓誤差模型

1.1.1 直線輪廓誤差模型

刀具的實(shí)際位置距離軌跡在法線方向上的偏差為輪廓誤差。對于不同形狀的軌跡，推導(dǎo)輪廓誤差模型如下：

直線輪廓誤差可以從圖1(a)的幾何關(guān)系中得到。

圖1 線性和圓輪廓誤差模型

式中，Ex和Ey分別為x軸和y軸的實(shí)際跟蹤誤差，θ為直線輪廓的傾角。定義直線輪廓的斜率為k，其中 k=tgθ，則有

1.1.2 圓弧輪廓誤差模型

圓弧輪廓的輪廓誤差定義為刀尖距離圓心的距離與半徑之差，如圖1(b)所示。圓弧輪廓誤差可以寫成：

式中，R是圓弧半徑，( x0, y0) 是圓心坐標(biāo)，( Px, Py)代表刀具的實(shí)際位置坐標(biāo)。其表達(dá)式如下：

將式(4)、式(5)代入式(3)得

將式(6)按Taylor公式展開，得到

假定輪廓誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于圓弧半徑，則上式中的高次項(xiàng)可以忽略不計(jì)，圓弧軌跡的輪廓誤差可簡化為

1.2 磁流變拋光輪廓誤差模型

1.2.1 工作臺(tái)輪廓誤差和工件輪廓誤差

一般情況下，車削加工中刀尖的輪廓誤差是工作臺(tái)合成運(yùn)動(dòng)形成的輪廓誤差的復(fù)映，與車削加工不同，由于磁流變拋光加工方式的特殊性，工件表面任一點(diǎn)的加工軌跡是由x軸和z軸的直動(dòng)及B軸的轉(zhuǎn)動(dòng)形成的。工件面形輪廓的獲得是由x軸、z軸和B軸聯(lián)合運(yùn)動(dòng)的結(jié)果。如圖2，A點(diǎn)為球面正對著拋光輪的加工點(diǎn)，O點(diǎn)為球面圓心，B點(diǎn)為轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)中心，在拋光一個(gè)半徑為R的球面工件的過程中，當(dāng)加工點(diǎn)為P點(diǎn)時(shí)，工作臺(tái)經(jīng)過x軸、z軸的平動(dòng)由B點(diǎn)移動(dòng)到B′點(diǎn)， B軸必須同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)θ角才能保證工件上P點(diǎn)經(jīng)過半徑為R的圓弧移動(dòng)至如圖所示A點(diǎn)位置，此時(shí)原來工件表面上A點(diǎn)移至A′點(diǎn)。當(dāng)工件表面是球面時(shí)，B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)點(diǎn)為圓心，l-R為半徑的圓弧，而工件表面上P點(diǎn)的軌跡是以O(shè)點(diǎn)為圓心，R為半徑的圓弧。為了研究方便，我們定義x軸、z軸和B軸聯(lián)動(dòng)引起的B′點(diǎn)的輪廓誤差為工作臺(tái)輪廓誤差，間接獲得的工件表面上A點(diǎn)的輪廓誤差為工件輪廓誤差。磁流變拋光輪廓控制的目的是最終減小工件輪廓誤差。

工作臺(tái)的運(yùn)動(dòng)我們是可以直接控制的，而工件表面上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑則需要通過工作臺(tái)間接控制。在圖2中，球面工件表面在XOZ平面上的投影是一個(gè)圓弧，我們將這條圓弧離散為若干個(gè)點(diǎn)，P點(diǎn)為其中任意一點(diǎn)，當(dāng)加工P點(diǎn)時(shí)，此時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)中心必須移至B′點(diǎn)方能保證P點(diǎn)移至正對著拋光輪的A點(diǎn)，則P點(diǎn)與B′點(diǎn)坐標(biāo)的換算關(guān)系可按下式計(jì)算

圖2 工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡

式中，x′、z′為工件表面 P 點(diǎn)坐標(biāo)， x、 z為工作臺(tái)B′點(diǎn)坐標(biāo)，l是轉(zhuǎn)臺(tái)中心與工件表面頂點(diǎn)的距離，即圖2中的線段BA。

1.2.2 磁流變拋光輪廓誤差模型

1）工作臺(tái)輪廓誤差模型

工作臺(tái)輪廓誤差計(jì)算和一般圓弧輪廓誤差計(jì)算類似，在拋光球面過程中，工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)以O(shè)點(diǎn)為圓心，半徑為( l-R )的圓弧，如圖3，當(dāng)x軸、z軸跟隨誤差分別Ex、Ez時(shí)，工作臺(tái)輪廓誤差可以按下式計(jì)算

2）工件輪廓誤差模型

圖3 磁流變拋光輪廓誤差模型

工件輪廓誤差不但受到x軸、z軸的影響，而且還受到B軸轉(zhuǎn)動(dòng)的影響。如圖3所示，B*點(diǎn)是工作臺(tái)理想位置，B點(diǎn)是工作臺(tái)實(shí)際位置，P*點(diǎn)是工件理想位置，P點(diǎn)是只有x、z軸跟隨誤差、無b軸跟隨誤差時(shí)B點(diǎn)形成的工件實(shí)際位置，此時(shí)工件實(shí)際位置在P點(diǎn)，x、z軸跟隨誤差分別Ex、Ez，為當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)有Δθ的跟隨誤差時(shí)，工件實(shí)際位置為P′點(diǎn)，此時(shí)P′點(diǎn)相對理想位置P點(diǎn)在x、z方向分別產(chǎn)生偏差 Eθx、Eθz，Eθx、Eθz可分別如下式計(jì)算。

則P′點(diǎn)與理想位置P點(diǎn)的輪廓誤差為ε，其x向誤差Ex′、z向誤差Ez′分別可表示為

在如圖3表示的坐標(biāo)系中，工作臺(tái)B點(diǎn)坐標(biāo)可記為 ( ( l-R ) sin θ , ( l-R ) cos θ ) ，工件表面 P′點(diǎn)坐標(biāo)可記為 (Px′, Pz′)，則有

工件軌跡圓弧半徑為R時(shí)，有

略去高階項(xiàng)ΔR2，則得到實(shí)際軌跡和理想軌跡間的誤差為

將轉(zhuǎn)臺(tái)跟隨誤差Δθ記為Eb，則圓弧軌跡的輪廓誤差可簡化為

將式（20）與工作臺(tái)輪廓誤差模型式（10）相比較，我們發(fā)現(xiàn)工件輪廓誤差的形成除了與x軸、z軸的跟隨誤差有關(guān)之外，還與轉(zhuǎn)臺(tái)b軸的跟隨誤差Eb、懸臂長度l、工件圓弧半徑及轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角θ有關(guān)，而由于軌跡圓弧半徑變化，交叉耦合增益Cx、Cz也相應(yīng)發(fā)生了變化。

2 三軸交叉耦合輪廓控制器的設(shè)計(jì)

采用PID控制算法的單軸位置控制，對于輪廓曲率的變化沒有相應(yīng)的抑制措施，只能控制單軸跟隨誤差，改善單軸跟隨精度，無法減小由于加工輪廓形狀引起的誤差[2]。耦合輪廓控制算法能夠減小輪廓形狀引起的輪廓加工誤差，能夠減小由于機(jī)床各軸動(dòng)態(tài)性能不一致引起的誤差。交叉耦合的概念是建立在這樣一個(gè)事實(shí)的基礎(chǔ)之上的，即即使存在較大的跟蹤誤差，仍然可以得到零輪廓誤差[3]。它要求建立實(shí)時(shí)的輪廓誤差模型，并用它來確定適當(dāng)?shù)目刂破鹘Y(jié)構(gòu)，以減小或消除輪廓誤差。從控制的角度看,通過耦合輪廓補(bǔ)償?shù)姆椒ǜ纳葡到y(tǒng)輪廓精度的實(shí)質(zhì)是：將系統(tǒng)開環(huán)的輪廓控制變?yōu)殚]環(huán)輪廓控制[4]。

對于不同的輪廓和同一輪廓上的不同位置，Cx、Cz需要根據(jù)每一個(gè)插補(bǔ)周期重新計(jì)算，具有不同的取值，既所謂的變增益。變增益交叉耦合控制思想是根據(jù)各軸的反饋信號和插補(bǔ)值，實(shí)時(shí)修正輪廓誤差模型的增益，以尋找最佳補(bǔ)償率，并將補(bǔ)償修正信息反饋給各軸，從而達(dá)到補(bǔ)償輪廓誤差的目的[5]。耦合輪廓控制器由于其是以減小機(jī)床輪廓誤差作為系統(tǒng)的控制目標(biāo)[6]，將系統(tǒng)多軸的開環(huán)輪廓軌跡控制轉(zhuǎn)化為閉環(huán)輪廓軌跡跟蹤控制，并通過實(shí)時(shí)誤差模型調(diào)整系統(tǒng)的控制信號，因此其對系統(tǒng)的參數(shù)變化和擾動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性[7]。交叉耦合控制器可以認(rèn)為是低層控制器與高層控制器的結(jié)合運(yùn)動(dòng)。

本文根據(jù)已建立的磁流變拋光曲面輪廓誤差模型，設(shè)計(jì)了如圖4所示的三軸預(yù)補(bǔ)償交叉耦合控制器。在該耦合輪廓控制系統(tǒng)中，交叉耦合控制器的輸入變量是x、z軸的跟蹤誤差及轉(zhuǎn)臺(tái)跟蹤誤差在x、z軸方向分量的合成誤差，并由此構(gòu)成系統(tǒng)的實(shí)時(shí)誤差模型，PID控制器輸出通過交叉耦合系數(shù)Cx、Cz分解到x、z兩個(gè)軸軸上，從而達(dá)到二軸的協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)[8]。由于系統(tǒng)的最終控制信號是位置環(huán)的輸出與附加作用量之和，因此耦合輪廓控制器的輸出必須與位置環(huán)的輸出相匹配。耦合輪廓控制器設(shè)計(jì)依賴于系統(tǒng)位置環(huán)結(jié)構(gòu)和控制器參數(shù)。

輪廓誤差通過軸向誤差推導(dǎo)得到后，乘以一個(gè)比例系數(shù)，然后將補(bǔ)償量按相應(yīng)的比例加到原伺服回路中，同時(shí)控制器為比例＋積分＋微分控制器，這樣輪廓控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度都得到很大的改善。

預(yù)補(bǔ)償交叉耦合控制結(jié)合了預(yù)補(bǔ)償控制和交叉耦合控制二者的優(yōu)點(diǎn)，既在指令端加入了輪廓誤差在每個(gè)單軸上的誤差修正項(xiàng)，又在原伺服回路中按輪廓誤差修正的方向加入了誤差補(bǔ)償項(xiàng)，使得系統(tǒng)的輪廓精度有了進(jìn)一步的提高。

圖4 三軸預(yù)補(bǔ)償交叉耦合輪廓控制器

3 仿真及加工實(shí)驗(yàn)

仿真加工K9光學(xué)玻璃，R82.62mm，口徑25mm，則B軸跟蹤斜率為0.314rad/s的斜坡信號，x軸和z軸分別跟蹤幅值為74.68mm，角頻率為0.314rad/s的余弦和正弦信號。

在磁流變拋光過程中，工件軌跡是由x軸、z軸和B軸共同完成的，圖5(a)為無輪廓控制的工件輪廓跟隨誤差，穩(wěn)態(tài)輪廓誤差為0.045mm，由于B軸在跟蹤斜坡信號0.5秒的時(shí)候有較大的瞬態(tài)跟隨誤差，在0.04秒處產(chǎn)生0.99mm的最大瞬態(tài)輪廓誤差。采用預(yù)補(bǔ)償交叉耦合輪廓控制器后，最大瞬態(tài)輪廓誤差減小到0.015mm，穩(wěn)態(tài)輪廓跟隨誤差也減小到0.006mm，如圖5(b)所示。

仿真結(jié)果表明，交叉耦合控制時(shí)，系統(tǒng)的單軸跟蹤精度較PID控制時(shí)要差。由此可以看出：由于PID控制與耦合輪廓控制算法的控制目標(biāo)不同，前者是以提高系統(tǒng)軸跟蹤精度為控制目標(biāo)，通過單軸精度的改善來提高系統(tǒng)的輪廓精度；后者是以提高系統(tǒng)的輪廓精度為控制目標(biāo)，通過系統(tǒng)的實(shí)時(shí)輪廓誤差模型來調(diào)整系統(tǒng)的控制信號，而對于系統(tǒng)的單軸的跟蹤精度并不給予關(guān)注。此外，交叉耦合控制可以同時(shí)對兩軸誤差進(jìn)行校正，從而具有快速的響應(yīng)和良好的抗干擾特性。應(yīng)用該算法對K9光學(xué)玻璃進(jìn)行了球面磁流變拋光加工，圖6為該工件磁流變拋光后的面形剖面圖，RMS值為8.65nm，二十點(diǎn)P-V值為52.14nm。

圖5 系統(tǒng)的的輪廓誤差

圖6 磁流變拋光后球面面形剖面圖

4 結(jié)論

從以上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以得出以下結(jié)論：1）以輪廓指標(biāo)作為衡量標(biāo)準(zhǔn)，采用交叉耦合輪廓控制算法遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于普通的PID控制算法；2）采用PID控制算法，對于輪廓曲率的變化沒有相應(yīng)的抑制措施，因此，無法減小由于加工輪廓形狀引起的誤差。耦合輪廓控制算法能夠減小輪廓形狀引起的輪廓加工誤差；3）采用耦合輪廓控制算法能夠減小由于機(jī)床的各軸動(dòng)態(tài)性能不一致所引起的誤差。

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