有關p－級數與交錯級數的和的研究*

梁雙鳳 劉 鵬 楊 勝

(1.楚雄師院學院數學系，云南 楚雄 675000;2.楚雄師院學院經濟管理及計算機應用系，云南 楚雄 675000)

1.兩個引理

(1)若m是偶數，則

(2)若m是奇數，則

證明 顯然

當m≥2時，

即得出遞推式

利用此遞推式，可以得出

(1)當m是偶數時，有

即

(2)當m是奇數時，同理可以證明

引理2 設f(x)是周期為2π的函數，它在一個周期［－π，π］上的表達式為f(x)=xp。若p是偶數，則函數f(x)的傅里葉級數中的系數bn，a0，an分別為

證明 由于f(x)=xp是R上的連續(xù)的偶函數，所以傅里葉級數中的系數bn，a0，an分別為［1］

由引理1知

顯然，當p=2時，函數y=x2在區(qū)間［－π，π］上展開的傅里葉級數為［1］

在(1)式中令x=π，則可得出

用同樣的方法，我們可以得出

2.兩類級數的和的遞推公式

2.1 當p是偶數時，p－級數的和的遞推公式

證明 當p是偶數時，根據引理2知道，偶函數f(x)=xp的傅里葉級數為

令x=π，則由上式得到

從而得到當p為偶數時求p－級數的和的遞推式(8)

2.2 當p為奇數時，交錯級數的和及其遞推式

當p為奇數時，我們有下面的結果:

證明由引理2知道，當p是偶數時，偶函數f(x)=xp的傅里葉級數為

對上式兩邊關于x求導得

在(10)中，當p=2時，可得到函數y=x在區(qū)間(－π，π)上展開的傅里葉級數為

用同樣的方法，我們可以求出

3.當p為奇數時，對級數的和的研究

當p(p＞1，p∈N)為奇數時，p－級數的和無法用準確公式表示出來.但我們可以借助MATLAB應用軟件，用數學實驗的方法得出其和的無窮近似值，或在滿足一定計算精確度要求的前提下，利用近似公式，求出其和的近似值。

首先用MATLAB應用軟件可求出

即

同樣，借助MATLAB軟件，我們可以得到

如果我們假設

現在可以確定的是:A是一個無理數，但它無法用準確值表示出來。

則當p為偶數時，X為有理數;當p為奇數時，X為無理數。

實際上，不僅僅當p為奇數時，p－級數的和無法用準確值表示出來，而且當p不是整數時，我們一般也很難求出其和的準確值。此時，我們可以考慮在滿足精確度要求的前提下，用近似值來表示其和。

或者我們借助求p－級數的和的近似公式［2］

其中

利用公式(12)，取m=10，則可得到

其中誤差|σm|＜ 9.88 ×10－5。

同樣可得到，

其中誤差 |σm|＜ 10－5。

［1］同濟大學數學系編.高等數學 (下)［M］.北京:高等教育出版社，2010:302—303.

［2］朱文輝，張亭.p－級數的和的近似公式 ［J］.大學數學，2005，6(3):114—115.