大純滯后對象多變量系統(tǒng)的改進ERGA配對方法

張雨飛 陳 霈 蘇志剛 賀華杰 呂劍虹

(東南大學(xué)能源熱轉(zhuǎn)換及其過程測控教育部重點實驗室，南京210096)

(東南大學(xué)能源與環(huán)境學(xué)院，南京210096)

大型復(fù)雜的工業(yè)過程通常是多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，MIMO系統(tǒng)由于各個輸入-輸出量間存在相互影響而十分復(fù)雜.解決多變量控制的方法有多種，其中分散策略在實際工業(yè)應(yīng)用中占有主要地位.分散策略是將MIMO系統(tǒng)分解成多個SISO回路，然后采用PID控制器對每個單回路進行控制，其中如何進行變量配對是處理多變量系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù).由于各變量之間存在關(guān)聯(lián)作用，如何評價輸入-輸出量之間的關(guān)聯(lián)程度，并以此獲得配對規(guī)則，達到最佳的控制效果，是分散策略設(shè)計的困難所在.

在多變量配對中，應(yīng)用最廣泛的配對規(guī)則是Bristol提出的靜態(tài)相對增益矩陣(RGA)［1］，只需要開環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)增益即可獲得相應(yīng)的配對規(guī)則，并且計算簡便.但是，RGA只利用了穩(wěn)態(tài)增益而沒考慮過程的動態(tài)特性，因此，有時所得到的配對是不合理的.在此基礎(chǔ)上，人們提出了不少改進的動態(tài)配對方法，如Witcher等［2］提出了動態(tài)相對增益矩陣(DRGA)，采用帶拉普拉斯算子的傳遞函數(shù)模型替代RGA計算中的穩(wěn)態(tài)模型;2003年Mc Avoy等［3］又對DRGA進行了新的定義，提出了比較完善的回路配對準(zhǔn)則;Gagnepain等［4］提出了平均相對增益矩陣(ARGA)的定義，采用基于開環(huán)階躍響應(yīng)所得到的某個時間段的平均動態(tài)增益，來替代RGA中的靜態(tài)增益進行計算，從而得到多回路系統(tǒng)的配對原則;Zhu［5］提出了相對關(guān)聯(lián)矩陣(RIA)的定義，將輸入量u對輸出量y的作用分為直接作用和在關(guān)聯(lián)存在的情況下其他輸入對y的影響兩類，并將兩者的相對值定義為相對關(guān)聯(lián)度，以此建立相對關(guān)聯(lián)矩陣進行計算;Kookos等［6］采用RGA和RIA對高維數(shù)系統(tǒng)的動態(tài)優(yōu)化進行了研究;葉凌箭等［7］提出將相對關(guān)聯(lián)陣列(RIA)與ARGA相結(jié)合形成平均相對增益矩陣(ARIA)，將被控量對受控制量的影響程度視為一種能量傳輸，以平均能量衡量關(guān)聯(lián)程度;Xiong等［8］提出了效能相對增益矩陣(ERGA)的定義，使用傳遞函數(shù)的帶寬矩陣對靜態(tài)增益矩陣進行修正，這樣可以綜合反映對象動態(tài)和靜態(tài)特性;Xiong等［9］又于2006年提出對于有純滯后的被控對象，在使用ERGA進行變量配對時，為了體現(xiàn)純滯后對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，采用截止頻率代替帶寬進行計算的ERGA配對方法.對于帶純滯后的對象，ERGA使用靜態(tài)增益和過程傳遞函數(shù)中的截止頻率，對回路的關(guān)聯(lián)進行了更全面的描述.但是，截止頻率的計算比較麻煩，尤其是大純滯后環(huán)節(jié)，使用波特圖計算截止頻率比較困難，并且不利于工程人員的理解.

本文在ERGA的基礎(chǔ)上，采用純滯后矩陣對帶寬矩陣進行加權(quán)以替代截止頻率陣，用加權(quán)后的矩陣進行配對計算，使ERGA規(guī)則能適用于帶純滯后的對象，得到了改進的ERGA配對方法.通過仿真實例與RGA，ERGA及其他動態(tài)配對法進行比較，證實了改進ERGA的有效性和合理性.

1 RGA以及ERGA

控制回路的配對決定了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，最常用的回路配對方法是以 RGA［1］和 NI［10］為基礎(chǔ)的配對規(guī)則.

1.1 RGA 配對規(guī)則

Bristol［1］給出了RGA配對規(guī)則的計算方法.首先，定義相對增益為

式中，分子為除uj外其他輸入量u都保持恒定，即所有其他回路都開環(huán)時，uj對yi的增益;分母為除yi外其他輸出量y都保持恒定，即其他回路都閉合時，uj對yi的增益;C為常數(shù).

用這些相對增益組成n×n的相對增益矩陣，即

Λ矩陣可由開環(huán)增益直接計算得到，即

式中，運算符?是Hadamard乘積，即點對點相乘;G(0)為穩(wěn)態(tài)增益矩陣.

RGA的配對規(guī)則是:

1)配對的RGA元素盡量趨近于1.0;

2)所有配對的RGA元素都應(yīng)為正;

3)盡量避免很大的RGA元素.

此外，當(dāng)回路都閉合時，多回路系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以由NI值［10］的正負(fù)來進行判斷，即

1.2 ERGA 配對規(guī)則

Xiong 等［8-9，11］提出了 ERGA 的定義和計算方法，在RGA的基礎(chǔ)上引入臨界頻率對靜態(tài)增益進行修正，從而得到效能增益.

對于不帶純滯后的對象，臨界頻率等于帶寬，即在頻率特性曲線上輸出為時的頻率值，即

式中，ωB，ij為傳遞函數(shù)的帶寬;eij為效能增益;i，j=1，2，…，n.

對于帶純滯后的對象，應(yīng)用截止頻率ωu，ij代替 ωB，ij進行計算.截止頻率 ωu，ij是指傳遞函數(shù)的波特圖中，使得相位為－π時的頻率，即

當(dāng)對象無純滯后時，ωa，ij= ωB，ij;當(dāng)對象有純滯后時，ωa，ij= ωu，ij.因此可以得到臨界頻率矩陣 Ω和效能增益矩陣E為

當(dāng)回路yi－uj閉合時，由于對其他回路而言，eij是能量關(guān)聯(lián)尺度，因此其值越大，則該回路配對的優(yōu)勢也越大.用效能增益矩陣E代替穩(wěn)態(tài)增益矩陣G(0)，代入RGA規(guī)則中計算，得到反映輸出變量yi和輸入變量uj之間的效能相對增益φij為

類似于RGA，ERGA配對規(guī)則為:

1)配對的ERGA元素盡量趨近于1.0;

2)所有配對的ERGA元素都應(yīng)為正;

3)盡量避免很大的ERGA元素;

4)NI值為正.

1.3 RGA與ERGA的比較

由于RGA只利用了穩(wěn)態(tài)增益的信息，而不能反映系統(tǒng)的動態(tài)特性，使得在某些情況下RGA會給出錯誤的配對信息;ERGA由于引入了臨界頻率來反映系統(tǒng)的動態(tài)特性，因此具有比RGA更好的動態(tài)適用性.以下例子給出對比結(jié)果.

算例1RGA與ERGA配對結(jié)果比較

采用RGA規(guī)則計算得

因此，RGA的計算結(jié)果為對角匹配，即 u1→y1，u2→y2.

由此得到 φ12=φ21=0.952 4.所以 ERGA 的計算結(jié)果為非對角匹配，即 u1→y2，u2→y1.實際上，可以看出，非對角元素的時間常數(shù)遠小于對角元素的時間常數(shù)，所以在動態(tài)過程中非對角對象響應(yīng)速度明顯快于對角對象，因此，采用非對角匹配更加合理.

由算例1可以看出，由于穩(wěn)態(tài)相對增益陣列RGA只考慮了穩(wěn)態(tài)影響的大小，沒有考慮動態(tài)特性，得出的配對無法反映對象的動態(tài)特性，導(dǎo)致在動態(tài)響應(yīng)過程中不能達到最佳的效果.而效能相對增益陣列ERGA用臨界頻率矩陣對靜態(tài)增益矩陣進行加權(quán)，將對象的時間常數(shù)以臨界頻率的形式體現(xiàn)出來，在一定程度上反映了對象的動態(tài)特性，因此ERGA配對規(guī)則所得到的結(jié)果更好.

2 改進ERGA配對規(guī)則

對象的動態(tài)特性不僅反映在時間常數(shù)上，也反映在純滯后時間τ上，對于不帶純滯后的環(huán)節(jié)，ERGA將帶寬矩陣和靜態(tài)增益矩陣相結(jié)合就能較好地反映靜、動態(tài)響應(yīng)效果;而對于帶純滯后的環(huán)節(jié)，ERGA則采用截止頻率來代替帶寬，這樣雖然在一定程度上體現(xiàn)了對象的純遲延特性，但是截止頻率體現(xiàn)的是對象純滯后時間絕對值的大小，對于滯后時間絕對值較小，但是與時間常數(shù)Tc的相對值較大的對象，特別是大純滯后對象(τ/Tc＞0.5)，用截止頻率來計算得到的結(jié)果可能是錯誤的.同時，在計算截止頻率時要使用波特圖，不利于計算和理解.

對于大純滯后對象過程，往往采用純滯后時間τ與時間常數(shù)Tc的相對值τ/Tc來反映滯后作用對動態(tài)過程的影響，因此，本文提出用τ/Tc作為參數(shù)，形成純滯后矩陣T，用T來修正帶寬矩陣Ω，從而得到修正后的矩陣Ω'，這樣就綜合考慮了對象的時延特性，能更加全面地衡量系統(tǒng)的動態(tài)特性.純滯后矩陣T的表達式為

式中，τij，Tc，ij，i，j=1，2，…，n 分別為純滯后時間和時間常數(shù).

當(dāng) τ=0 時，e－τ/Tc=1，Tij=1，即當(dāng)無純滯后時，對原 Ω 無影響;當(dāng) τ＞0 時，τ越大，e－τ/Tc越小，修正后使得原Ω的元素變小，即當(dāng)純滯后相對較大時，使得配對的可能性大大降低.

由于是采用相對值τ/Tc作為衡量純遲延的參數(shù)，即使τ值稍大，如果Tc值較大，則τ/Tc相對較小，e－τ/Tc≈1，使得原 Ω 的元素變化很小，此時由于對象的帶寬本身較小，而純滯后的影響不明顯，故用帶寬來反映對象的動態(tài)特性可以認(rèn)為是正確的.

當(dāng) τ較大，而 Tc較小時，e－τ/Tc較小，修正后使得Ω減小，此時由于純滯后相對較大，在配對時必須考慮純滯后的影響，所以應(yīng)該用e－τ/Tc來修正帶寬，才能正確地反映出對象的動態(tài)特性.

改進ERGA的計算步驟如下:

①計算過程的穩(wěn)態(tài)增益矩陣G(0).

②計算過程的帶寬矩陣Ω.

③ 使用τ/Tc計算出純滯后矩陣T.

④ 用Ω?T修正，得到帶寬矩陣Ω'.

⑤用Ω'?G(0)修正，得到改進效能增益矩陣E.

⑥ 用E?E－T修正，得到改進的相對效能矩陣Φ，并且用Φ來指導(dǎo)配對.

結(jié)合NI條件，使用改進ERGA進行配對的規(guī)則如下:

1)配對后的改進ERGA元素應(yīng)盡可能接近1;

2)所有配對的改進ERGA元素應(yīng)大于0;

3)盡量避免改進ERGA元素的配對;

4)NI＞0.

對改進ERGA和ERGA進行比較，來驗證改進ERGA的正確性和方便性.

算例2ERGA與改進ERGA配對比較

用ERGA進行計算時，由于主對角線上的對象有純滯后，而非對角的對象沒有，所以主對角的臨界頻率采用截止頻率，而非對角采用帶寬，有

因此，用ERGA配對的結(jié)果為對角匹配，即u1→y1，u2→y2.

用改進的ERGA進行計算:

由于主對角元素上含有純滯后，使用改進ERGA運算時，通過純滯后矩陣的修正作用，降低了帶純滯后元素配對的可能.所以，用改進ERGA計算的結(jié)果應(yīng)該是非對角匹配，即u1→y2，u2→y1.

實際上，由于對角對象有純滯后，ERGA的配對結(jié)果不合理，而非對角配對更合理.對兩者進行仿真驗證，結(jié)果如圖1所示.

由圖1中可以看出，采用對角匹配和非對角匹配都可以得到較好的控制效果，但是與對角匹配相比，非對角匹配的過渡過程時間明顯短于對角匹配，這說明采用非對角匹配，控制量對被控對象的控制作用更及時，并且采用非對角匹配所得到的響應(yīng)曲線的超調(diào)量總體上優(yōu)于對角匹配，用非對角匹配的控制結(jié)果更佳.因此，采用純滯后矩陣T和帶寬矩陣Ω相結(jié)合的改進ERGA規(guī)則更能反映出對象的動態(tài)特性，得到的配對結(jié)果也更合理.

圖1 y1，y2響應(yīng)輸出曲線

算例33×3精餾塔的改進ERGA配對計算［7，12-13］

式中，T為塔板溫度;P為塔壓;L為回流釜液位;QB為再沸器熱載荷;D為塔頂餾出量;R為回流比.

根據(jù)改進ERGA規(guī)則計算得到

由計算結(jié)果可看出，可選的配對方案有2個:u1→y1，u2→y3，u3→y2，或者 u1→y1，u2→y2，u3→y3.即 QB→T，D→L，R→P，或者 QB→T，D→P，R→L.采用第1種配對的效果會更好，這與文獻［7，12］得到的結(jié)論相同.

根據(jù)ERGA規(guī)則進行計算得

因此得到的配對結(jié)果為 u1→y1，u2→y2，u3→y3，即QB→T，D→P，R→L，所得到的結(jié)果與文獻［7，12］不一致.

通過算例2和算例3可以看出，對于大純滯后對象，改進ERGA使用純滯后矩陣T對帶寬矩陣進行修正，能更全面地反映對象的動態(tài)特性，所得到的配對結(jié)果也更加合理.

算例4300 MW流化床鍋爐燃燒對象的改進ERGA 配對計算［14］

式中，Tb為床溫;Pb為床壓，P0為主蒸汽壓力;μv為回料閥開度;F1為一次風(fēng)量;B為燃料量.

根據(jù)ERGA規(guī)則進行計算得

因此配對的結(jié)果為 u1→y1，u2→y2，u3→y3，即 μv→Tb，F(xiàn)1→Pb，B→P0.

按改進ERGA規(guī)則進行計算，由于

因此

可以看出，采用改進ERGA規(guī)則的配對結(jié)果與 ERGA 的結(jié)果相同，即 μv→Tb，F(xiàn)1→Pb，B→P0.但是ERGA要使用波特圖計算每一個截止頻率，而采用改進的ERGA計算時則方便得多，并且容易使工程人員理解和應(yīng)用.

用Matlab進行仿真，仿真系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及響應(yīng)曲線如圖2所示.從仿真曲線可以看出，除床溫Pb由于其本身慣性很大，響應(yīng)曲線變化較緩慢外，另外2個被控對象都能很好地受到控制.實際上，在電廠的運行中也使用同樣的控制方案，即用冷渣器轉(zhuǎn)速μv控制床溫Tb，一次風(fēng)量F1控制床壓Pb，給煤量B控制主蒸汽壓力P0.所以，采用改進ERGA得到的配對信息是正確的.

圖2 床溫、床壓和主蒸汽壓給定值階躍擾動輸出曲線

3 結(jié)語

通過4個算例和仿真驗證可以看出，采用改進ERGA規(guī)則對多輸入多輸出的工業(yè)過程進行配對，能結(jié)合穩(wěn)態(tài)增益和對象動態(tài)特性，得到最好的配對方案.特別是對于大純滯后對象，能全面考慮對象的動態(tài)特性，防止用ERGA配對時由于動態(tài)特性反映不全面，而得到錯誤的配對結(jié)果.改進ERGA配對規(guī)則在帶純滯后對象的MIMO系統(tǒng)(如電廠)的變量配對領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景.

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